清大附中三维设计2014年高考数学二轮复习立体几何.doc

清大附中三维设计2014年高考数学二轮复习：立体几何本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1如图，平面四边形中，将其沿对角线 折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )A B C D 【答案】A2已知三棱锥SABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球的半径为( )A36B6C3D9【答案】C3一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为的三条线段，则的最大值为( )ABCD3【答案】C4三个不重合的平面可把空间分成n部分,则n的所有可能取值为( )A4B 4或6C4或6或8D 4或6或7或8【答案】D5如果内接于球的一个长方体的长、宽、高分别为2、1、1，则该球的体积为( )ABCD【答案】D6如图一个封闭的立方体，它6个表面各标出1、2、3、4、5、6这6个数字，现放成下面3个不同的位置，则数字l、2、3对面的数字是( )A4、5、6B6、4、5C5、4、6D5、6、4【答案】C7一个几何体的三视图如图所示，它们都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的体积等于( )ABC2D【答案】D8已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能是( )【答案】B9一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为，则球的表面积是( )ABCD【答案】D10如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是( )【答案】C11在半径为的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是( )ABCD【答案】B12，为不同的平面，m，n，l为不同的直线，则m的一个充分条件是( )ABCD【答案】A第卷(非选择题共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13若正三棱锥的正视图与俯视图如右图所示，则它的侧视图的面积为 【答案】14在正三棱锥中，过A作三棱锥的截面,则截面三角形的 周长的最小值为 .【答案】15如图，在正三棱锥ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EFDE，且BC1，则正三棱锥ABCD的体积是 .【答案】16设球O的半径为R，A、B、C为球面上三点，A与B、A与C的球面距离都为，B与C的球面距离为，则球O在二面角B-OA-C内的那一部分的体积是 【答案】三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17如图,直角梯形ABCD中,AB=BC且ABC的面积等于ADC面积的梯形ABCD所在平面外有一点P,满足PA平面ABCD,(1）求证:平面PCD平面；(2）侧棱上是否存在点E,使得平面PCD? 若存在,指出点E的位置并证明;若不存在,请说明理由(3）求二面角的余弦值【答案】设,，(1），令同理，可求得平面PAC的一个法向量，平面PCD平面(2）假设存在满足条件的点，使则可设点，由（1）知，(3）由（1）知设二面角A-PD-C的平面角为，则18如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，与平面所成角的正切值依次是和，依次是的中点.(）求证：；(）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）与平面所成角的正切值依次是和,平面,底面是矩形平面 是的中点 (2）解法一：平面，又,平面，取中点，中点，联结，则且，是平行四边形，即为直线与平面所成的角. 在中， 直线与平面所成角的正弦值为. 解法二：分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，依题意，则各点坐标分别是，,又平面，平面的法向量为， 设直线与平面所成的角为，则, 直线与平面所成角的正弦值为.19已知正方体ABCDA1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点。求证：（1) (2)C1O面AB1D1；【答案】（1） 由ABCDA1B1C1D1 是正方体，所以 又,所以 又 由有(2）.连接,由ABCDA1B1C1D1 是正方体，所以即四边形所以又20如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过点A1，B，M三点的平面A1BMN交C1D1于点N. (）求证：EM平面A1B1C1D1；(）求二面角BA1NB1的正切值.【答案】解法一：(）证明：取A1B1的中点F，连EF，C1FE为A1B中点EF BB1 又M为CC1中点 EF C1M四边形EFC1M为平行四边形 EMFC1 而EM 平面A1B1C1D1 . FC1平面A1B1C1D1 .EM平面A1B1C1D1 (）由（）EM平面A1B1C1D1 EM平面A1BMN平面A1BMN平面A1B1C1D1=A1N A1N/ EM/ FC1 N为C1D1 中点过B1作B1HA1N于H，连BH，根据三垂线定理 BHA1NBHB1即为二面角BA1NB1的平面角 设AA1=a， 则AB=2a， A1B1C1D1为正方形A1H= 又A1B1HNA1D1B1H= 在RtBB1H中，tanBHB1= 即二面角BA1NB1的正切值为 解法二:(）建立如图所示空间直角坐标系，设AB=2a,AA1=a(a0)，则A1（2a，0，a），B（2a, 2a , 0）, C（0，2a，0），C1（0，2a，a）E为A1B的中点，M为CC1的中点 E（2a , a , ），M（0，2a, ）EM/ A1B1C1D1 (）设平面A1BM的法向量为=（x, y , z ）又=（0，2a , a ） 由，得 而平面A1B1C1D1的法向量为.设二面角为，则又：二面角为锐二面角 ，从而 21如图，为空间四点在中，等边三角形以为轴运动 (）当平面平面时，求；(）当转动时，是否总有？证明你的结论【答案】（）取的中点，连结，因为是等边三角形，所以当平面平面时，因为平面平面，所以平面，可知由已知可得，在中，(）当以为轴转动时，总有证明如下：当在平面内时，因为，所以都在线段的垂直平分线上，即当不在平面内时，由（）知又因，所以又为相交直线，所以平面，由平面，得综上所述，总有22如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为2，底面ABC是等腰直角三角形，且ACB=90，AC=2，D是A A1的中点 (）求异面直线AB和C1D所成的角（用反三角函数表示）； (）若E为AB上一点，试确定点E在AB上的位置，使得A1EC1D； (）在（）的条件下，求点D到平面B1C1E的距离【答案】（）法一：取CC1的中点F，连接AF，BF，则AFC1DBAF为异面直线AB与C1D所成的角或其补角ABC为等腰直角三角形，AC=2，AB=又CC1=2，AF=BF=cosBAF=，BAF=， 即异面直线AB与C1D所成的角为法二：以C为坐标原点，CB，CA，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，2，0），B（2，0，0），C1（0，0，2），D（0，2，1），=（2，2，0），=（0，2，1）由于异面直线AB与C1D所成的角为向量与的夹角或其补角设与的夹角为，则cos=，=，即异面直线AB与C1D所成的角为 (）法一：过C1作C1MA1B1，垂足为M，则M为A1B1的中点，且C1M平面AA1B1B连接DM.DM即为C1D在平面AA1B1B上的射影要使得A1EC1D，由三垂线定理知，只要A1EDMAA1=2，AB=2，由计算知，E为AB的中点法二：过E作ENAC，垂足为N，则EN平面AA1C1C.连接A1N.A1N即为A1E在平面AA1C1C上的射影要使得A1EC1D，由三垂线定理知，只要A1NC1D四边形AA1C1C为正方形，N为AC的中点，E点为AB的中点法三：以C为坐标原点，CB，CA，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A1（0，2，2），B（2，0，0），C1（0，0，2）， D（0，2，1），设E点的坐标为（x，y，0）,要使得A1EC1D，只要=0，=（x，y2，2），=（0，2，1），y=1又点E在AB上，x=1E点为AB的中点(）法一：取AC中点N，连接EN，C1N，则ENB1C1 B1C1平面AA1C1C， 面B1C1NE平面AA1C1C 过点D作DHC1N，垂足为H，则DH平面B1C1NE，DH的长度即为点D到平面B1C1E的距离在