因动点产生的面积问题.doc

因动点产生的面积问题1.如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB于点E（1）记ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由图12. 如图1，已知直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OAAB2，OC3，过点B作BDBC，交OA于点D将DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F（1）求经过点A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）连结EF，设BEF与BFC的面积之差为S，问当CF为何值时S最小，并求出最小值 图1 3.如图1，在ABC中，C90，AC3，BC4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与ABC的直角边相交于点F，设AEx，AEF的面积为y（1）求线段AD的长；（2）若EFAB，当点E在斜边AB上移动时，求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；当x取何值时，y有最大值？并求出最大值（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由 图1 备用图4. 如图1，已知：抛物线yx2bx3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，并且OA = OC（1）求这条抛物线的解析式；（2）过点C作CE / x轴，交抛物线于点E，设抛物线的顶点为点D，试判断CDE的形状，并说明理由；（3）设点M在抛物线的对称轴l上，且MCD的面积等于CDE的面积，请写出点M的坐标（无需写出解题步骤）图15.如图1，在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，CBOA，OC4，BC3，OA5，点D在边OC上，CD3，过点D作DB的垂线DE，交x轴于点E （1）求点E的坐标；（2）二次函数yx2bxc的图像经过点B和点E求二次函数的解析式和它的对称轴；如果点M在它的对称轴上且位于x轴上方，满足SCEM2SABM，求点M的坐标图16.如图1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线(x0)交于点B(2，1)过点(p1)作x轴的平行线分别交曲线(x0)和(x0)于M、N两点（1）求m的值及直线l的解析式；（2）若点P在直线y2上，求证：PMBPNA；（3）是否存在实数p，使得SAMN4SAMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由图1因动点产生的面积问题1.（2010年广州市中考第25题）如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB于点E（1）记ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由图1思路点拨1数形结合，用b表示线段OE、CD、AE、BE的长2求ODE的面积，要分两种情况当E在OA上时，OE边对应的高等于OC；当E在AB边上时，要利用割补法求ODE的面积3第（2）题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形4图形翻折、旋转等运动中，计算菱形的边长一般用勾股定理满分解答(1)如图2，当E在OA上时，由可知，点E的坐标为(2b,0)，OE2b此时SSODE如图3，当E在AB上时，把y1代入可知，点D的坐标为(2b2,1)，CD2b2，BD52b把x3代入可知，点E的坐标为，AE，BE此时SS矩形OABCSOAE SBDE SOCD (2)如图4，因为四边形O1A1B1C1与矩形OABC关于直线DE对称，因此DMDN，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN是菱形作DHOA，垂足为H由于CD2b2，OE2b，所以EH2设菱形DMEN的边长为m在RtDNH中，DH1，NH2m，DNm，所以12(2m)2m2解得所以重叠部分菱形DMEN的面积为 图2 图3 图4考点伸展把本题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为，如图7所示 图5 图6 图72. 2010年湖州市中考第24题如图1，已知直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OAAB2，OC3，过点B作BDBC，交OA于点D将DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F（1）求经过点A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）连结EF，设BEF与BFC的面积之差为S，问当CF为何值时S最小，并求出最小值 图1 图2思路点拨1过点B向坐标轴作垂线，图形中就构造出丰富的余角，从而构造出相似三角形本题中因为点B的坐标特殊，因此构造出全等三角形2用CF表示BEF与BFC的面积之差，首先要判断BEF是等腰直角三角形，这样BEF的面积就转化为求BF2的问题满分解答(1)根据题意可得A(0,2)，B(2,2)，C(3,0)设抛物线的解析式为yax2bxc，那么 解得，所以抛物线的解析式为(2)由，得抛物线的顶点G的坐标为（）如图2，过点B作x轴的垂线，垂足为M，过点E作y轴的垂线，交BM于N因为BEN与FBM都是EBN的余角，所以BENFBM又因为BMEN2，所以BMFENB因此BEBF，BNFM当BE经过抛物线的顶点G时，此时(3)设CF的长为a在RtBFM中，因为BEF是等腰直角三角形，所以因此所以当CF2时，S取得最小值，最小值为考点伸展：图2是一个典型图，在这个图形中，BMCBAD，BFCBED，BFMBEAENB，BEF与BDC、BAM都是等腰直角三角形如果把本题中的条件“角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F”改为“角的两边分别交y轴、x轴于E和F”，那么上述结论依然成立（如图3，图4） 图3 图43. 如图1，在ABC中，C90，AC3，BC4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与ABC的直角边相交于点F，设AEx，AEF的面积为y（1）求线段AD的长；（2）若EFAB，当点E在斜边AB上移动时，求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；当x取何值时，y有最大值？并求出最大值（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由 图1 备用图思路点拨1第（1）题求得的AD的长，就是第（2）题分类讨论x的临界点2第（2）题要按照点F的位置分两种情况讨论3第（3）题的一般策略是：先假定平分周长，再列关于面积的方程，根据方程的解的情况作出判断满分解答(1) 在RtABC中， AC3，BC4，所以AB5在RtACD中，(2) 如图2，当F在AC上时，在RtAEF中，所以如图3，当F在BC上时，在RtBEF中，所以当时，的最大值为；当时，的最大值为因此，当时，y的最大值为 图2 图3 图4(3)ABC的周长等于12，面积等于6先假设EF平分ABC的周长，那么AEx，AF6x，x的变化范围为3x5因此解方程，得因为在3x5范围内（如图4），因此存在直线EF将ABC的周长和面积同时平分考点伸展如果把第（3）题的条件“点F在直角边AC上”改为“点F在直角边BC上”，那么就不存在直线EF将ABC的周长和面积同时平分先假设EF平分ABC的周长，那么AEx，BE5x，BFx1因此解方程整理，得此方程无实数根4.如图1，已知：抛物线yx2bx3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，并且OA = OC（1）求这条抛物线的解析式；（2）过点C作CE / x轴，交抛物线于点E，设抛物线的顶点为点D，试判断CDE的形状，并说明理由；（3）设点M在抛物线的对称轴l上，且MCD的面积等于CDE的面积，请写出点M的坐标（无需写出解题步骤）思路点拨1求抛物线的解析式，关键是求点A的坐标，根据已知条件，数形结合2判断CDE的形状是等腰直角三角形，可以方便第（3）求解点M的坐标满分解答（1）因为抛物线yx2bx3与y轴交于点C(0，3)，OAOC，所以点A的坐标为(3，0)将A (3，0)代入yx2bx3，解得b2因此抛物线的解析式为yx22x3（2）由yx22x3(x1) 24，得顶点D的坐标为(1，4) 因为CE / x轴所以点C与点E关于抛物线的对称轴对称因此CE2，DEDC由两点间的距离公式，求得DC于是可得DE2DC2CE2所以CDE是等腰直角三角形（3）M1（1，2），M2（1，6）考点伸展第（3）题的解题思路是这样的：如图2，如图3，因为MCD与CDE是同底的两个三角形，如果面积相等，那么过点E作CD的平行线，与抛物线的对称轴的交点就是要探求的点M再根据对称性，另一个符合条件的点M在点D的下方，这两个点M关于点D对称还有更简单的几何说理方法：因为CDE是等腰直角三角形，对于点D上方的点M，四边形CDEM是正方形，容易得到点M的坐标为（1，2）再根据对称性，得到另一个点M的坐标为（1，6）图2 图35.如图1，在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，CBOA，OC4，BC3，OA5，点D在边OC上，CD3，过点D作DB的垂线DE，交x轴于点E（1）求点E的坐标；（2）二次函数yx2bxc的图像经过点B和点E求二次函数的解析式和它的对称轴；如果点M在它的对称轴上且位于x轴上方，满足SCEM2SABM，求点M的坐标图1思路点拨1这三道题目步步为赢，错一道题目，就要影响下一道的计算2点M在抛物线的对称轴上且位于x轴上方，要分两种情况讨论，分别为点M在线段FB和FB的延长线上因为用点M的纵坐标表示ABM的底边长，因点M的位置不同而不同满分解答（1）因为BCOA，所以BCCD因为CDCB3，所以BCD是等腰直角三角形因此BCD45又因为BCCD，所以ODE45所以ODE是等腰直角三角形，OEOD1所以点E的坐标是（1，0）（2）因为抛物线yx2bxc经过点B（3，4）和点E（1，0），所以 解得所以二次函数的解析式为yx26x5，抛物线的对称轴为直线x3如图2，如图3，设抛物线的对称轴与x轴交于点F，点M的坐标为（3，t）（）如图2，当点M位于线段BF上时，解方程，得此时点M的坐标为（3，）（）如图3，当点M位于线段FB延长线上时，解方程，得此时点M的坐标为（3，8）图2 图3考点伸展对于图2，还有几个典型结论：此时，C、M、A三点在同一条直线上；CEM的周长最小可以求得直线AC的解析式为，当x3时，因此点M（3，）在直线AC上因为点A、E关于抛物线的对称轴对称，所以MEMCMAMC当A、M、C三点共线时，MEMC最小，CEM的周长最小6.如图1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线(x0)交于点B(2，1)过点(p1)作x轴的平行线分别交曲线(x0)和(x0)于M、N两点（1）求m的值及直线l的解析式；（2）若点P在直线y2上，求证：PMBPNA；（3）是否存在实数p，使得SAMN4SAMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由思路点拨1第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中2第（3）题把SAMN4SAMP转化为MN4MP，按照点M与线段NP的位置关系分两种情况讨论满分解答（1）因为点B(2，1)在双曲线上，所以m2设直线l的解析式为，代入点A(1，0)和点B(2，1)，得 解得 所以直线l的解析式为（2）由点(p1)的坐标可知，点P在直线上x轴的上方如图2，当y2时，点P的坐标为(3，2)此时点M的坐标为(1，2)，点N的坐标为(1，2)由P(3，2)、M(1，2)、B(2，1)三点的位置关系，可知PMB为等腰直角三角形由P(3，2)、N(1，2)、A(1，0)三点的位置关系，可知PNA为等腰直角三