4.1.2圆的一般方程(轨迹问题)PPT幻灯片课件

高一数学必修2第四章圆与方程 4 4 1轨迹问题 1 答 线段AB的垂直平分线 复习引入 思考1 平面内到一定点A的距离等于定长的点M的轨迹是什么 思考2 平面内与两定点A B距离相等的点M的轨迹是什么 r M MA r MA MB 答 以定点A为圆心 定长r为半径的圆 2 例1 已知线段AB的端点B的坐标是 4 3 端点A在圆 x 1 2 y2 4上运动 求线段AB的中点M的轨迹方程 y x o A B M 典型例题 分析 设M x y 因为M是AB的中点 4 3 x y x0 y0 所以 解得 又因为点A在圆 x 1 2 y2 4上 所以 2x 4 1 2 2y 3 2 4 A x0 y0 相关点法 3 例1 已知线段AB的端点B的坐标是 4 3 端点A在圆 x 1 2 y2 4上运动 求线段AB的中点M的轨迹方程 y x o A B M 小结 这种求轨迹方程的方法叫相关点法 分析 设M x y 因为M是AB的中点 B 4 3 4 3 x y 所以点A的坐标为 又因为点A在圆 x 1 2 y2 4上 所以 2x 4 1 2 2y 3 2 4 2x 4 2y 3 2x 4 2y 3 也叫动点转移法 或叫代入法 注意 求轨迹方程 第一步往往设所求动点坐标为 x y 4 练习 已知线段AB的端点B的坐标是 4 0 端点A在圆x2 y2 4上运动 求线段AB的中点M的轨迹方程 y x o A B M 典型例题 x 2 2 y2 1 x y 2x 4 2y 5 例1 已知线段AB的端点B的坐标是 4 3 端点A在圆 x 1 2 y2 4上运动 求线段AB的中点M的轨迹方程 y x o A B M C 典型例题 D M的轨迹是以D为圆心 1为半径的圆 分析2 反思 定义法 相当漂亮 6 变式 过点P 4 0 作直线与圆x2 y2 4相交于不同两点A B 求线段AB的中点M的轨迹方程 并说明轨迹的形状 y x o A B M 典型例题 P 7 P y x o A B M 典型例题 变式 过点P 4 0 作直线与圆x2 y2 4相交于不同两点A B 求线段AB的中点M的轨迹方程 并说明轨迹的形状 8 P y x o A B M 典型例题 变式 过点P 4 0 作直线与圆x2 y2 4相交于不同两点A B 求线段AB的中点M的轨迹方程 并说明轨迹的形状 x 2 2 y2 4 0 x 1 9 P y x o A B M 典型例题 变式 过点P 4 0 作直线与圆x2 y2 4相交于不同两点A B 求线段AB的中点M的轨迹方程 并说明轨迹的形状 x 2 2 y2 4 0 x 1 轨迹是圆 x 2 2 y2 4夹在圆x2 y2 4内的圆弧 C 反思 与垂直有关的问题 可考虑勾股定理或斜率关系 或利用 直角三角形斜边上的中线等于斜边一半 这个性质 注意讨论特殊情形 10 典型例题 例2 已知动点M与两定点P 8 0 Q 2 0 距离之比为2 求点M的轨迹方程 分析 设M x y 由 MP 2 MQ 得 化简得 直译法 11 变式 已知两定点A B间距离为6 动点M与A B距离之比为2 求点M的轨迹方程 典型例题 注意 建系不同 答案不同 因此建系要恰当 考虑对称 尽量多落在标轴上 12 拓展 已知两定点A B间距离为6 动点M与A B距离之比为2 则 MAB面积的最大值为 典型例题 反思 坐标法思想 秒 12 13 小结 1 求轨迹方程时 一般应数形结合 即充分运用几何图形的性质将形的直观与数的严谨有机结合起来 2 求轨迹方程时 一要区分 轨迹 与 轨迹方程 二要注意检验 去掉不合题设条件的点或线等 3 求轨迹方程的步骤 建系设点 x y 列式代入 化简检验 14 P124 B1 等腰三角形的顶点是A 4 2 底边的一个端点是B 3 5 求另一个端点C的轨迹方程 并说明它的轨迹是什么 解 设另一端点C的坐标为 x y 依题意 得 AC AB 由两点间距离公式得 平方整理得 x 4 2 y 2 2 10 这是以点A 4 2 为圆心 以为半径的圆 但A B C为三角形的顶点 A B C三点不共线 当B与C重合时 C 3 5 当BC为直径时 C 5 1 15 端点C的轨迹方程是 x 4 2 y 2 2 10 故端点C的轨迹是以A 4 2 为圆心 为半径的圆 但要除去 3 5 和 5 1 两点 如下图所示 16 规律技巧 在求轨迹方程时 必须考虑C点是三角形的一个顶点 故A B C不能共线 这一点容易造成失误 应引起高度重视 17 解 在给定的坐标系里 设点M x y 是曲线上的任意一点 也就是点M属于集合 由两点间的距离公式 得 化简得x2 y2 2x 3 0 这就是所求的曲线方程 把方程 的左边配方 得 x 1 2 y2 4 所以方程 的曲线是以C 1 0 为圆心 2为半径的圆 x y M A O 直译法 P124 B3 已知一曲线是与定点O 0 0 A 3 0 距离的比是的点的轨迹 求此曲线的轨迹方程 并画出曲线 18 B A M 2 定义法 轨迹的常用求法 1 直译法 19 课堂练习 1 已知Rt ABC中 A 1 0 B 3 0 1 求直角顶点C的轨迹方程 2 直角边BC的中点M的轨迹方程 x2 y2 2x 3 0 y 0 x 2 2 y2 1 y 0 20 知识探究二 圆的直径方程 思考1 已知点A 1 3 和B 5 5 如何求以线段AB为直径的圆方程 思考2 一般地 已知点A x1 y1 B x2 y2 则以线段AB为直径的圆方程如何 21 例5 已知 一个圆的直径的两端点是A x1 y1 B x2 y2 证明