浙江省绍兴市2016届高三(上)期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2015年浙江省绍兴市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1集合 P=x R|x| 3， Q=y|y=2x 1， x R，则 P Q=（ ） A（ ， 3 （ 1， +） B（ ， 3 （ 1， +） C（ ， 1） 3， +）D（ ， 1） 3， +） 2命题 “ x R， 1”的否定是（ ） A x R， 1 B x R， 1 C R， 1 D R， 1 3已知等比数列 前 n 项和为 下列不可能成立的（ ） A =0 B =0 C（ =0 D（ =0 4已知单位向量 和 满足 | |= | |，则 与 的夹角的余弦值为（ ） A B C D 5设 l， m， n 是三条不同的直线， ， 是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ） A ， l， nl n B l n， l n C l ， l D ， ll 6不等式组 ，表示的平面区域绕着原点旋转一周所得到的平面图形的面积为（ ） A B C 3 D 7过双曲线 =1（ a， b 0）的右焦点 F 作一条渐近线的垂线，垂足为 P，线段 y 轴于点 Q（其中 O 为坐标原点）若 面积是 面积的 4倍，则该双曲线的离心率为（ ） A B C 2 D 8对于函数 f（ x），若存在 Z，满足 |f（ | ，则称 函数 f（ x）的一个 “近零点 ”已知函数 f（ x） =bx+c（ a 0）有四个不同的 “近零点 ”，则 a 的最大值为（ ） A 2 B 1 C D 二、填空题（本大题共 7 小题，第 9,10,11,12 每空 3 分，第 13,14,15 题每空 4 分，共 36 分） 9函数 f（ x） =24x+ ） 1 的最小正周期为 ， f（ ） = 10已知数列 ， ， =，则 a2+ ， 第 2 页（共 18 页） 11一个空间几何体的三视图（单位： 图所示，则侧视图的面积为 几何体的体积为 12已知正数 x， y 满足 x+y=1，则 x y 的取值范围为 ， 的最小值为 13设 f（ x） = ，若 f（ x） 3，则 ）的最大值为 14正 边长为 1， =x +y ，且 0 x， y 1， x+y ，则动点 P 所形成的平面区域的面积为 15已知函数 y=|1|的图象与函数 y= k+2） x+2 的图象恰有 2 个不同的公共点，则实数 k 的取值范围为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算过程） 16 ，内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，已知 （ 1）求 的值： （ 2）若 a= c，且 面积为 4，求 c 的值 17如图所示的几何体中，四边形 梯形， 平面 知 （ ）证明： 平面 （ ）若二面角 A B 的大小为 30，求 长度 第 3 页（共 18 页） 18已知函 数 f（ x） =4（ a R）的两个零点为 （ 1）当 a 0 时，证明： 2 0； （ 2）若函数 g（ x） =|f（ x） |在区间（ ， 2）和（ 2， +）上均单调递增，求 19已知椭圆 C 的方程是 + =1（ a b 0），其右焦点 F 到椭圆 C 的其中三个顶点的距离按一定顺序构成以 为公差的等差数列，且 该数列的三项之和等于 6 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）若直线 椭圆 C 交于点 A， B（ A 在第一象限），满足 2 + = ，当 0积最大时，求直线 方程 20数列 ，已知 ， = （ 1）证明： ； （ 2）证明：当 n 2 时，（ ） 2 第 4 页（共 18 页） 2015年浙江省绍兴市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1集合 P=x R|x| 3， Q=y|y=2x 1， x R，则 P Q=（ ） A（ ， 3 （ 1， +） B（ ， 3 （ 1， +） C（ ， 1） 3， +）D（ ， 1） 3， +） 【考点】 并集及其运算 【分析】 根据集合的基本运算进行求解即可 【解答】 解： P=x R|x| 3=x|x 3 或 x 3， Q=y|y=2x 1， x R=y|y 1 P Q=（ ， 3 （ 1， +）， 故选： B 2命题 “ x R， 1”的否定是（ ） A x R， 1 B x R， 1 C R， 1 D R， 1 【考点】 全称命题；命题的否定 【分析】 通过全称命题的否定是特称命题写出结果即可 【解答】 解： 全称命题 否定是特称命题， 命题 “ x R， 1”的否定是： R， 1 故选： C 3已知等比数列 前 n 项和为 下列不可能成立的（ ） A =0 B =0 C（ =0 D（ =0 【考点】 等比数列的前 n 项和 【分析】 根据等比数列中的项不等于 0 的性质进行判断 【解答】 解： 等比数列， 2016 0， 0； 当 公比为 1 时， ， =0； 当 公比为 1 时， （ =0；（ =0 故选 A 4已知单位向量 和 满足 | |= | |，则 与 的夹角的余弦值为（ ） A B C D 【考点】 平面向量数量积的运算 第 5 页（共 18 页） 【分析】 对条件式子两边平方求出 ，代入夹角公式即可 【解答】 解： 和 是单位向量， =1 | |= | |， 2+2 =2（ 2 2 ），解得 = = = 故选： C 5设 l， m， n 是三条不同的直线， ， 是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ） A ， l， nl n B l n， l n C l ， l D ， ll 【考点】 平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 运用面面平行、线面垂直的判定定理和性 质定理对选项逐个分析判断 【解答】 解：对于 A， ， l， nl n 或者异面，故 A 错误； 对于 B， l n， l n 或相交，故 B 错误； 对于 C，由 l 得到过直线 l 的平面与平面 交于直线 a，则 l a，由 l ，所以 a ， ，故 C 正确； 对于 D， ， ll 或者 l 或者斜交，故 D 错误； 故选： C 6不等式组 ，表示的平面区域绕着原点旋转一周所得到的平面图形的面积为（ ） A B C 3 D 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出可行域，旋转所得图形为圆环，求面积可得 【解答】 解：作出不等式组 表示的平面区域（如图 区域内的点 B（ 2， 0）到原点的距离最大为 2，区域内的点 D 到原点的距离最小， 由点到直线的距离公式可得最小值为 = ， 着原点旋转一周所得到的平面图形为圆环，且内外圆半径分别为 和 2， 故所求面积 S= 22 （ ） 2= ， 故选： D 第 6 页（共 18 页） 7过双曲线 =1（ a， b 0）的右焦点 F 作一条渐近线的垂线，垂足为 P，线段 y 轴于点 Q（其中 O 为坐标原点）若 面积是 面积的 4倍，则该双曲线的离心率为（ ） A B C 2 D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求出双曲线的渐近线方程，运用两直线垂直的条件：斜率之积为 1，可得 方程，联立渐近线方程，解得交点 P 的坐标，运用中点坐标公式可得 垂直平分线方程，可得 Q 的坐标，运用三角形的面积公式，结合离心率公式，即可得到所求值 【解答】 解：双曲线 =1 的一条渐近线方程为 y= x， 右焦点 F（ c， 0）， 由题意可得直线 方程为 y= （ x c）， 联立渐近线方 程 y= x，可得 P（ ， ）， 可得 垂直平分线方程为 y = （ x ）， 令 x=0，可得 y= ，即 Q（ 0， ）， 又 | =b， | = =a， 由 面积是 面积的 4 倍， 可得 c =4 ， 即有 得 c2=a2+ e= = ， 故选： B 第 7 页（共 18 页） 8对于函数 f（ x），若存在 Z，满足 |f（ | ，则称 函数 f（ x）的一个 “近零点 ”已知函数 f（ x） =bx+c（ a 0）有四个不同的 “近零点 ”，则 a 的最大值为（ ） A 2 B 1 C D 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 易知 a 不变时，函数 f（ x）的图象的形状不变，且四个不同的 “近零点 ”的最小间距为 3，对称轴在区间中间时可取到 a 的最大值，从而解得 【解答】 解： a 不变时，函数 f（ x）的图象的形状不变； 记 f（ x） =a（ x k） 2+h， 四个不同的 “近零点 ”的最小间距为 3， 故易知对称轴在区间中间时可取到 a 的最大值， 故不妨记 f（ x） =a（ x ） 2+h， 故 f（ 1） f（ 0） 2， 即 a+h（ a+h） ， 故 a ， 故选 D 二、填空题（本大题共 7 小题，第 9,10,11,12 每空 3 分，第 13,14,15 题 每空 4 分，共 36 分） 9函数 f（ x） =24x+ ） 1 的最小正周期为 ， f（ ） = 0 【考点】 余弦函数的图象 【分析】 根据周期的定义和函数的值的求法即可求出 【解答】 解：函数 f（ x） =24x+ ） 1 的最小正周期 T= = ， f（ ） =24 + ） 1=2 1=0， 故答案为： ， 0 10已知数列 ， ， =，则 a2+6 ， 2n 3 【考点】 数列递推式 【分析】 由数列 ， ， =，可得数列 等差数列，公差为 2，利用等差数列的通项公式及其性质即可得出 【解答】 解： 数列 ， ， =， 数列 等差数列，公差为 2， an=（ n 3） =3+2（ n 3） =2n 6 a2+ 故答案分别为： 6； 2n 3 第 8 页（共 18 页） 11一个空间几何体的三视图（单位： 图所示，则侧视图的面积为 1 几何体的体积为 + 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据三视图，得出该几何体是半圆锥与直三棱锥的组合体，侧视图是底边长为 2，高为 1 的等腰三角形，求出它的面积，再求出几何体的体积 【解答】 解：根据几何体的三视图，得； 该几何体的左边是半圆锥，右边是直三棱锥的组合体，如图所示； 且该几何体侧视图是底边长为 2，高为 1 的等腰三角形，面积为 2 1=1 该几何体的体积为 V 半圆锥 +V 三棱锥 = 12 1+ 2 1 1= + 故答案为： 1， + 12已知正数 x， y 满足 x+y=1，则 x y 的取值范围为 （ 1， 1） ， 的最小值为 3 【考点】 基本不等式 【分析】 根据题意，求出 x y 的表达式，利用 0 x 1 即可求出 x y 的取值范围； 把 1=x+y 代人 ，利用基本不等式即可求出它 的最小值 【解答】 解： 正数 x， y 满足 x+y=1， y=1 x， y= 1+x， 第 9 页（共 18 页） x y=2x 1； 又 0 x 1， 0 2x 2， 1 2x 1 1， 即 x y 的取值范围为（ 1， 1）； = + =1+ + 1+2 =1+2=3， 当且仅当 x=y= 时取 “=”； 的最小值为 3 故答案为：（ 1， 1）， 3 13设 f（ x） = ，若 x 满足 f（ x） 3，则 ）的最大值为 【考点】 对数函数的图象与性质；分段函数的应用 【分析】 先求出满足 f（ x） 3 的 x 的范围，再求出 t= 的范围，结合对数函数的图象和性质，可得答案 【解答】 解：当 x 0 时，由 2 x 1 3 得： x 2， 当 x 0 时，由 3 得： x 9， 故 t= =1+ ， 1） （ 1， ， 故 ）的最大值为 故答案为： 14正 边长为 1， =x +y ，且 0 x， y 1， x+y ，则动点 P 所形成的平面区域的面积为 【考点】 平面向量的基本定理及其意义 【分析】 可分别以边 在的直线为 x， y 轴，建立坐标系，从而可以得出 P 点坐标为（ x， y），然后过 B， C 分别作 平行线并交于点 D，这样根据条件便可 找到点 P 所在的平面区域，根据图形便可求出该平面区域的面积，即得出动点 P 所形成的平面区域的面积 【解答】 解：分别以边 在的直线为 x 轴， y 轴建立如图所示坐标系：分别以边在的直线为 x 轴， y 轴建立如图所示坐标系： 第 10 页（共 18 页） 以向量 为一组基底，则 P 点坐标为 P（ x， y）； 分别过 B， C 作 平行线并交于点 D； 0 x， y 1； 点 P 所在的平面区域为平行四边形 部； 又 ； P 点所在区域在图中阴影部分； 动点 P 所形成平面区域面积为 故答案为： 15已知函数 y=|1|的图象与函数 y= k+2） x+2 的图象恰有 2 个不同的公共点，则实数 k 的取值范围为 k 0 或 k=1 或 k 4 【考点】 二次函数的性质 【分析】 函数 y= k+2） x+2=（ 2）（ x 1）的图象与函数 y=|1|的图象有 1个交点（ 1， 0），分类讨论，即可得出结论 【解答】 解：函数 y= k+2） x+2=（ 2）（ x 1）的图象与函数 y=|1|的图象有1 个交点（ 1， 0） 当 k 0， ，函数 y=|1|的图象与函数 y= k+2） x+2 的图象有另外 1 个不同于（ 1， 0）的交点； 由 1 x2= k+2） x+2，（ x 1） （ k+1） x 1=0， x=1 时， k=0，方程有唯一的根 1， 满足函数 y=|1|的图象与函数 y= k+2） x+2 的图象 恰有 2 个不同的公共点； k 0 时，由图象可得 k=1 或 k 4 满足题意， 综上所述， k 0 或 k=1 或 k 4 故答案为： k 0 或 k=1 或 k 4 第 11 页（共 18 页） 三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算过程） 16 ，内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，已知 （ 1）求 的值： （ 2）若 a= c，且 面积为 4，求 c 的值 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ 1）利用 据正、余弦定理，即可求 的值： （ 2）若 a= c，求出 b， 用 面积为 4，求 c 的值 【解答】 解：（ 1） ， a2+ =3； （ 2） a= c， a2+ b= c， = ， ， 面积为 4， c c =4， c=4 第 12 页（共 18 页） 17如图所示的几何体中，四边形 梯形， 平面 知 （ ）证明： 平面 （ ）若二面角 A B 的大小为 30，求 长度 【考点】 二面角的平面角及求法 ；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ ）推导出 而 平面 而 勾股定理得 此能证明 平面 （ ）以 B 为原点，在平面 过 B 作 垂线为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出 【解答】 证明：（ ） 平面 又 C=B， 平面 面 由题意知在梯形 ，有 C= ， 又 D=C， 平面 解：（ ）如图，以 B 为原点，在平面 过 B 作 垂线为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 设 =a 0，则 B（ 0， 0， 0）， E（ a， 2， 0）， A（ 0， 0， 1）， C（ 0， 2， 0）， D（ 0， 1，1）， =（ 0， 1， 0）， =（ a， 1， 1）， 设面 法向量为 =（ x， y， z）， 则 ，令 x=1，得 =（ 1， 0， a）， 设面 法向量为 =（ 则 ，令 ，得 =（ 2， a， a）， 二面角 A B 的大小为 30， = = ，解得 a=1（ a= 1，舍）， 第 13 页（共 18 页） 18已知函数 f（ x） =4（ a R）的两个零点为 （ 1）当 a 0 时，证明： 2 0； （ 2）若函数 g（ x） =|f（ x） |在区间（ ， 2）和（ 2， +）上均单调递增，求 【考点】 二次函数的性质 【分析】 （ 1）使用求根公式解出 用 a 的范围和不等式的性质得出； （ 2）求出 g（ x），令 g（ x） 0，结合函数图象讨论 a 的范围， 【解答】 解：（ 1）令 f（ x） =0 解得 ， =a， 0 a 0， =a+4， = 2 2 0 （ 2） g（ x） =|4|， g（ x） =2x |2x a|， g（ x）在区间（ ， 2）和（ 2， +）上均单调递增， g（ x） 0， 即 2x |2x a|，（ x 2） 当 a=0 时，显然不成立， 若 a 0，作出 y=2x 和 y=|2x a|的函数图象如图： 第 14 页（共 18 页） 0 ，解得 0 a 8 若 a 0，作出 y=2x 和 y=|2x a|的函数图象如图： 有图象可知 2x |2x a|，故 g（ x） 0 不成立，不符合题意 综上， a 的取值范围是（ 0， 8 19已知椭圆 C 的方程是 + =1（ a b 0），其右焦点 F 到椭圆 C 的其中三个顶点的距离按一定顺序构成以 为公差的等差数列，且该数列的三项之和等于 6 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）若直线 椭圆 C 交于点 A， B（ A 在第一象限），满足 2 + = ，当 0积最大时，求直线 方程 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）由于右焦点 F 到椭圆 C 的其中三个顶点的距离按一定顺序构成以 为公差的等差数列，可得此三项分别为： a c， a， a+c，且 a=a c+ ， 可得： c，又该数列的