状态空间描述法ppt课件

第九章状态空间描述法 9 1线性系统的状态空间描述 9 2状态方程求解 9 3可控性与可观测性 9 4状态反馈与状态观测器 End 9 1线性系统的状态空间描述法 1 控制系统的两种基本描述方法 输入 输出描述法 经典控制理论状态空间描述法 现代控制理论2 经典控制理论的特点 1 优点 对单入 单出系统的分析和综合特别有效 2 缺点 内部的信息无法描述 仅适于单入 单出系统 3 现代控制理论 1 适应控制工程的高性能发展需要 于60年代提出 2 可处理时变 非线性 多输入 多输出问题 3 应用方面的理论分支 最优控制 系统辩识 自适应控制 9 2 9 3 9 4 一 问题的提出 1 先看一个例子 例9 1试建立图示电路的数学模型 二 状态和状态空间 2 状态与状态变量的定义 在已知ur t 的情况下 只要知道uc t 和i t 的变化特性 则其他变量的变化均可知道 故uc t 和i t 称为 状态变量 记 控制系统的状态为完全描述系统的一个最小变量组 该组中的每个变量称为状态变量 如上例中 为系统的状态 为状态变量 3 状态向量 4 状态空间 定义 所有状态构成的一个实数域上的 线性 向量空间称为状态空间 5 方程 状态变量的一阶导数与状态变量 输入量的关系表达式称为状态方程 见上例 系统输出量y t 与状态变量 输入量的关系的表达式称为输出方程 三 状态变量的选取 1 状态变量的选取是非唯一的 2 选取方法 1 可选取初始条件对应的变量或与其相关的变量作为系统的状态变量 2 可选取独立储能 或储信息 元件的特征变量或与其相关的变量作为控制系统的状态变量 如电感电流i 电容电压uc 质量m的速度v等 例9 2图示弹簧 质量 阻尼器系统 外作用力u t 为该系统的输入量 质量的位移y t 为输出量 试列写该系统的状态方程和输出方程 例9 3已知系统微分方程组为 其中 ur为输入 uc为输出 R1 C1 R2 C2为常数 试列写系统状态方程和输出方程 解 选 写成向量 矩阵形式 四 状态空间表达式 1 单输入单输出线性定常连续系统 2 一般线性系统状态空间表达式 p输入q输出 3 线性定常系统状态空间表达式 五 线性定常系统状态空间表达式的建立 1 方法 机理分析法 实验法2 线性定常单变量系统 单输入 单输出系统 1 由微分方程建立 在输入量中不含有导数项时 例9 4已知系统微分方程为 列写系统的状态空间表达式 写成向量 矩阵形式 或系统动态结构图 解 选 输入量中含有导数项时 可控规范型实现 2 由传递函数建立 即实现 B bn 0 例9 5已知系统的传递函数为 试求其能控规范型实现 并画出系统状态图 解 由bn b3 0 对照标准型 可得实现为 例9 6已知系统的传递函数为 试求其能控规范型实现 并画出系统状态图 解 由bn b3 0 对照标准型 例9 7已知系统的传递函数为 试求其能观测规范型实现 并画出系统状态图 与能控规范型关系 A AT B CT C BT 能观测规范型实现 对角线规范实现 结构图 的对角线规范型实现 并画出系统状态图 例9 8求 解 则对角线规范型实现为 约当规范型实现 特征方程有重根时 当G s 有重极点时 设 pi中有k重极点 例9 9 3 状态空间表达式的线性变换 思路 变换前后系数矩阵关系 代入原状态方程 有 变换为对角线规范型 例9 10试将状态方程 解 求特征值 求特征向量和变换矩阵P 1对应的p1 3 线性定常多输入 多输出系统 1 传递函数矩阵与状态系数矩阵间的关系 2 开环与闭环传递矩阵 3 传递矩阵的对角化 4 传递矩阵的实现 1 单输入 多输出时的实现 可控规范型 例9 11试求下列单输入 双输出系统传递函数矩阵的可控标准形实现 解 2 多输入 单输出时的实现 解题思路 求对应的单入多出系统GT s 的实现 利用对偶关系求G s 的实现 例9 12线性定常系统传递函数矩阵如下 求系统的可控标准形实现 解 1 先求对应的单输入 双输出系统的实现 2 再转换为双输入 单输出系统的实现 故原系统的实现为 方法的验证 对比原题所给传递函数 可见结果一致 本节作业 刘豹 P481 41 5 1 1 7 9 2状态方程求解 线性定常连续系统 1 齐次状态方程的解 1 幂级数法设解为 9 3 9 4 9 1 拉氏变换法 由两边取拉氏变换 得SX s X 0 AX s SI A X s X 0 X s SI A 1 X 0 两边取拉氏反变换x t L 1 X s L 1 SI A 1X 0 L 1 SI A 1 X 0 比较前式 有eAt L 1 SI A 1 状态转移矩阵的运算性质 t eAt I At 1 2 A2t2 1 k Aktk 0 I 初始状态 2 t1 t2 t1 t2 t2 t1 线性关系 1 t t 1 t t 可逆性 x t t t0 x t0 x t0 t0 x 0 则x t t x 0 t 1 t0 x t0 t t0 x t0 t t0 x t0 6 t2 t0 t2 t1 t1 t0 e t2 t1 Ae t1 t0 A 可分阶段转移 t k kt e A B t eAt eBt eBt eAt AB BA e A B t eAt eBt eBt eAt AB BA 引入非奇异变换后 两种常见的状态转移矩阵 例9 13设有一控制系统 其状态方程为 在t0 0时 状态变量的初值为 x1 0 x2 0 x3 0 试求该方程的解 试求A及 t 例9 14设系统状态方程为 解方程组得 11 t 2e t e 2t 12 t 2e t 2e 2t 21 t e t e 2t 22 t e t 2e 2t 例9 15设系统运动方程为 式中a b c均为实数 试求 求系统状态空间表达式 求系统状态转移矩阵 2 非齐次状态方程的解 直接法 积分法 2 拉氏变换法 sx s x 0 Ax s Bu s sI A x s x 0 Bu s x s sI A 1x 0 sI A 1Bu s 则x t 1 sI A 1x 0 1 sI A 1Bu s 由eAt 1 sI A 1 可得 例9 16在上例中 当输入函数u t 1 t 时 求系统状态方程的解 例9 17设有一电液位置伺服系统 已知系统方块图如下 所示 试用状态空间法对系统进行分析 解 由图 本节作业 刘豹 P772 32 5 3 2 6 一 可控与可观测的概念 意义 9 3可控性与可观测性 9 2 9 4 9 1 设线性定常连续系统的状态空间表达式为 如果存在一个控制u t 能在有限时间间隔 to tf 内 使系统从其一初态x to 转移到任意指定的终态x tf 则称此状态x to 是完全可控的 简称系统可 能 控 只要有一个状态变量不可控 则系统不可控 二 定义 1 可控性定义 三 可控性与可观测性判据 系统在稳定输入u t 作用下 对任意初始时刻to 若能在有限时间间隔 to tf 之内 根据从to到tf对系统输出y t 的观测值和输入u t 唯一地确定系统在to时刻的状态x to 则称系统是状态完全可观测的 简称系统可 能 观测 只要有一个状态变量不能 可 观测 则系统不可观测 2 可观测性定义 可控规范型 1 可控性判据 线性定常连续系统状态完全可控的充要条件是可控性判别阵 必须满秩 即 n为系统维数 判据一 试判别其状态的可控性 解 例9 18设系统状态方程为 系统可控 设线性定常系统具有互异的特征值 则系统可控的充要条件是 系统经非奇异变换后的对角线规范型方程 中 阵不包含元素全为零的行 判据二 例9 19已知三阶二输入系统状态方程 试判别其状态的可控性 解 不可控 例9 20试确定如下几个经非奇异变换后的对角线规范型系统的可控性 例9 21试判断下列已经非奇异变换成约当规范型的系统的可控性 中 与每个约当小块的最后一行相对应的阵中的所有那些行 其元素不全为零 若两个约当块有相同特征值 此结论不成立 约当规范型 判据三 判据一 线性定常连续系统状态完全能观测的充分必要条件为可观测性矩阵 2 可观测性判据 必须满秩 即rankQo n n为系统维数 可观测规范型 例9 22已知系统的A C阵如下 试判断其可观性 例9 23试判别如下系统的可观测性 解 解 的矩阵中不包含元素全为零的列 设线性定常连续系统具有不相等的特征值 则其状态可观测的充要条件是系统经非奇异变换后的对角线规范型 例9 24试判别以下系统的状态可观测性 判据二 中 与每个约当块首行相对应的矩阵中的那些列 其元素不全为零 如果两个约当块有相同的特征值 此结论不成立 约当规范型 判据三 例9 25试判别下列系统的状态可观测性 1 可控可观测的充要条件 由动态方程导出的传递函数不存在零极点对消 即传递函数可约 2 可控的充要条件 SI A 1b不存在零极点对消 3 可观测的充要条件 c SI A 1不存在零极点对消 四 能控能观性与传递函数的关系 例9 26判断以下系统的状态可控性与可观测性 1 单输入单输出系统 例9 27系统传递函数如下 判断其可控性与可观测性 2 多输入多输出系统 1 可控的充要条件 SI A 1B的n行线性无关 2 可观测的充要条件 C SI A 1的n列线性无关 例9 28用两种方法验证 系统 1 的状态可控性 系统 2 的状态可观测性 例9 29 五 对偶原理 设系统S1 A1 B1 C1 与系统S2 A2 B2 C2 互为对偶系统 则 若系统S1 A1 B1 C1 可控 则系统S2 A2 B2 C2 可观测 若系统S1 A1 B1 C1 可观测 则系统S2 A2 B2 C2 可控 证明 六 线性系统的规范分解 例9 30判断以下系统及其的状态可控性与可观测性 线性系统可分解为四种系统 能控能观测1 2 3 4 1 能控性规范分解 定理n阶系统 A B C rankQc k n 则通过非奇异变换 可导出原系统按能控性规范分解的新系统 Ac Bc Cc 有 为能控子系统 5 3 Tc的求法 i 从QC中任选k rankQC k 个线性无关的列向量 它为Tc的前k列 V1 V2 Vk ii 在Rn中再选n k个列向量 记为Vk 1 Vn 需使得 为非奇异 设线性定常系统如下 判断其能控性 若不完全能控 试将该系统按能控性进行分解 例9 31 解系统能控性判别阵 rankQc 2 n 3 所以系统是不完全能控的 其中Tc3是任意的 只要能保证Tc非奇异即可 变换后的系统的状态空间表达式 即 能控子系统为 为能观测子系统 可将原系统变换为按能观测规范分解的新系统 Ao Bo Co 有 5 4 定理n阶系统 A B C rankQo r n 通过非奇异变换 xo为r维能观测状态分量 是 n r 维不能观测的状态分量 2 能观测性规范分解 To 1的求法 i 从Qo中任选r rankWo r 个线性无关的行向量 作为To 1的前r个行向量 ii 在Rn中再选 n r 个行向量 构成To 1 并使To 1为非奇异 例9 32设线性定常系统如下 判断其能观测性 若不完全能观测 试将该系统按能观测性进行分解 解系统能观测性判别阵 rankQo 2 n 所以系统是不完全能观测的 即 变换后的系统的状态空间表达式 能观测子系统为 3 线性系统的规范分解 引理系统 A B C 完全能控且完全能观测的充要条件是 证明能控的充要条件 rankQc n能观的充要条件 rankQo n又由Sylvester不等式 其中 因此 系统完全能控且完全能观测 则必有 定理不完全能控 不完全能观测的n阶系统 A B C 则可通过非奇异变换 将原系统 A B C 变换为按能控性和能观测性规范分解的系统 Aco Bco Cco 有 能控 能观测 为能控且能观测子系统 5 5 按能控性和能观测性进行规范分解的步骤 是状态不完全能控和不完全能观测的 试将该系统按能控性和能观测性进行结构分解 可只须经过一次变换对系统同时按能控性和能观测性进行结构分解 但变换阵的构造需要涉及较多的线性空间概念 下面介绍一种逐步分解的方法 1 先将系统按能控性分解 2 将不能控的子系统按能观测性分解 3 将能控的子系统按能观测性分解 4 综合以上三次变换 导出系统同时按能控性和能观测性进行结构分解的表达式 例9 33已知系统 解前例已将该系统按能控性分解 不能控子空间是能观测的 无需再进行分解 将能控子空间按能观测性进行分解 即 综合以上两次变换结果 系统按能控性和能观测性分解为 本节作业 刘豹 P1383 1 1 3 23 3 1 一 用状态反馈配置系统的极点 定理 用状态反馈任意配置系统极点的充要条件是 受控系统可控 9 4状态反馈与状态观测器 9 2 9 3 9 1 状态反馈系统结构图 结论 状态反馈不改变系统的能控性 例9 35设受控系统的传递函数为 试用状态反馈使闭环极点配置在 2 1 j 画出状态反馈系统结构图 设受控系统状态空间表达式 判断系统能否用状态反馈使闭环极点配置在 2 j 若能 求出状态反馈阵并画出状态反馈系统结构图 例9 34 解该单输入 单输出系统传递函数无零极点对消 故可控 其可控标准形实现为 1 3 状态反馈阵为k k0k1k2 期望极点对应的特征方程为 k k0k1k2 441 比较两特征方程 得 状态反馈系统特征方程为 二 输出反馈与极点配置 三 状态观测器及其设计 定理 若受控系统可观测 则其状态可用形如的全维观测器给出估值 矩阵H按任意配置极点的要求来选择 以决定状态误差衰减的速率 试设计全维观测器 将极点配置在 10 10 画出全维观测器及受控对象的状态变量图 例9 36设受控系统的状态空间表达式为 解 因为 四 降维状态观测器 所以 全维状态观测器为 画法1 画观测器与原系统一样 画法2 观测器用其方程画 课后自画 本节作业 刘豹 P2065 15 35 10 9 5线性系统的稳定性 9 5 1向量和矩阵的范数 9 5 1 1向量的范数 其范数 x 为一实数 具有性质 1 若x 0则 x 0 当x 0 则 x 0 2 x x 为任意标量 3 对于两个向量x y有 x y x y 三角不等式 几种常见的向量范数 n维空间上的点到原点的距离 9 5 1 2矩阵的范数 x的 范数也定义 矩阵A aij n m 其范数 A 满足 1 当A 0时 A 0 当A 0时 A 0 2 A A 为任意向量 3 A B A B 4 AB A B 几种常见的矩阵范数 2 范数 1 范数 9 5 2平衡状态和稳定性 9 5 2 1平衡状态 平衡点 xe xe 一个状态变量 一旦系统到达此状态 则以后在无外力及扰动的情况下 总处于此状态 任意状态x t 可表达为 x t t t0 x t0 u t 平衡状态xe 零输入状态下的不变状态 有xe t t0 xe 0 常量对于线性定常连续系统 xe为平衡状态 线性定常离散系统 x k 1 Gx k 2 9 5 2 2几个稳定性概念 可见 由线性定常连续系统 1 离散系统 2 xe 0 线性定常系统 xe 0是唯一的渐近稳定的平衡状态 1 李亚普若夫意义下的稳定性 SisL Stabilityinthesenseoflyapunov或i s L稳定 xe 平衡状态 x0 初始状态 t0时刻 当且仅当对于任一实数 0 对应地存在一个实数 0 使 x0 xe 时 从任一初始状态x0出发的零输入响应 t t0 x0 0 都满足 t t0 x0 0 xe t t0 则称xe为lyapunov意义下稳定的 SisL 球域s 半径为 球域s 半径为 s 内的状态的自由运动总在s 内 若 与t0无关 则称此平衡态xe是i s L一致稳定的 如下图 一般 t0 即与 和t0有关 状态空间 以xe为原点 对给定正实数 以xe为球心 为半径构造一个超球体 球域记为s 几何解释 2 渐近稳定 AS asymptoticstability 称平衡态xe是渐近稳定 AS 的 如果满足 xe是i s L稳定的 对于 t0 和任意给定的实数 0 对应地存在实数T t0 0使得满足 的任一初态x0出发的零输入响应都满足 t t0 x0 0 xe t t0 T t0 而且 如果从任一初态x0的受扰运动均为渐近稳定的 线性系统 渐近稳定 大范围渐近稳定 记 Sisl 一致Sisl AS 一致AS 大范围AS 大范围一致AS 几种稳定定义的包含关系 线性系统 则称平衡状态是大范围渐近稳定的 大范围渐近稳定也称为全局渐近稳定 小范围渐近稳定也称为局部渐近稳定 xe为大范围渐近稳定 9 5 3李亚普若夫第一法 9 5 3 1线性定常连续系统的渐近稳定性 线性定常连续系统 若u t 0 t 0 对任意x 0 有 称为系统是渐近稳定的 定理4 1 特征值判据 线性定常连续系统为渐近稳定的充要条件是 系统矩阵A的全部特征值都具有负实部 即 i A的特征值 几个判据 1 必要条件判据 若线性定常系统为AS 则特征多项式 的系数 i i 0 1 n 1 必全为正 系统为AS i 0 i 0 1 n 1 有缺项或有负的 系统不是AS 2 Hurwitz行列式判据 线性定常系统为AS的充要条件判据 3 Lienard chipart判据 只需要计算一半Hurwitz行列式 例9 37 例9 38 9 5 3 2线性定常离散系统的渐近稳定性 若对于任意x 0 有 定理4 2 特征值判据 线性定常离散系统渐近稳定的充要条件为 G的所有特征值的幅值均小于1 即 即G的特征值 i均位于Z平面的单位内 9 5 4李亚普若夫第二法 基本思路 从能量观点进行稳定性分析 1 如果一个系统被激励后 其储存的能量随时间的推移逐渐衰减 到达平衡状态时 能量将达最小值 则这个平衡状态是渐近稳定的 2 反之 如果系统不断地从外界吸收能量 储能越来越大 则这个平衡状态是不稳定的 3 如果系统的储能既不增加 也不消耗 则这个平衡状态就是Lyapunov意义下的稳定 由于实际系统的复杂性和多样性 往往不能直观地找到一个能量函数来描述系统的能量关系 于是Lyapunov定义了一个正定的标量函数 作为虚构的广义能量函数 用其一阶微分的符号特征来判断系统的稳定性 9 5 4 1 实 二次型 一般的一个实二次型是指n个变量的二次齐次多项式 可写成 其中qij qji 其系数确定了一个n阶实对称矩阵 Q称为二次型 2 的矩阵 设x x1 x2 xn T 则实二次型 2 可记为 f x1 x2 xn xTQx 定义 实 二次型是x Rn的标量函数f x1 x2 xn xTQx式中 Q为一实对称n n矩阵 称为二次型f的矩阵 并将Q的秩称为二次型f的秩 x 0 若xTQx 0 则称二次型f为正定的 Q称为正定矩阵 记为Q 0 x 0 若xTQx 0 则称二次型f为半正定的 Q称为半正定矩阵 记为为Q 0 若xTQx 0 0 称f为负定的 半负定的 Q称为负定 半负定 矩阵 记为Q 0 0 若f既不是半正定又不是半负定 则称为不定的 二次型函数的定号性判别准则 Sylvester 希尔维斯特 判据 二次型f x1 x2 xn xTQx为正定的充要条件是Q的行列式以及它的多阶顺序主子式均为正 即 9 5 4 2Lyapunov稳定性定理 引例如图所示 外力F0 0 得齐次方程 则 平衡状态 给定系统 找Lyapunov函数V x 对于线性定常系统 可选Lyapunov函数V x 1 V x xTQx Q 0 V x 为正定二次型 V x 称为二次型Lyapunov函数 定理4 3设系统的状态方程为 试确定系统平衡状态的稳定性 例9 39设系统的状态方程为 解