13概率的古典定义

有限性 每次试验中 每一种可能结果的发生的可能性相同 即若设 则 1 3古典概型 每次试验中 所有可能发生的结果只有有限个 即样本空间S是个有限集 等可能性 一 古典概型 若随机试验满足如下两条件 则称其为古典概型 或等可能概型 设试验的样本空间S共有n个等可能的样本点 1 2 n 而随机事件 包含其S中的k个基本事件 则随机事件A的概率可以定义为 概率的古典定义 确定试验的样本空间所包含的基本事件数 样本点数 确定事件A包含的基本事件数 样本点数 计算步骤 一个袋子中装有10个大小相同的球 其中3 个黑球 7个白球 求以下概率 1 从袋子中任取两球 2 从袋子中任取两球 两个都是黑球 刚好一个白球一个黑球 解 1 10个球中任取两球的取法有 种 其中 种取法 记 为 好取到一个白球一个黑球 事件 刚 则 一个袋子中装有10个大小相同的球 其中3 个黑球 7个白球 求以下概率 解 2 10个球中任取两球的取法有 种 两个球均是黑球的取法有 种 则 事件 两个球均为黑球 2 从袋子中任取两球 两个都是黑球 求下列各事件的概率 1 3 4 2 各球自左至右或自右至左 顺序 解 基本事件总数为24 别为 即 随意地排成一行 分 2 1 中有两种排法 故有 中有 种排法 故有 3 先将第1 2号球排在一起看成一个球 再与其他两个球排队 共有 种排法 故 1 3 4 2 各球自左至右或自右至左 顺序 解 4 第1号球排在第2号球的右边的每一种排法 换第1号球和第2号球的位置便对应于第1号球排在 交 第2号球的左边的一种排法 反之亦然 因而第1号 球排在第2号球的右边与第1号球排在第2号球的左 边的排法种数相同 各占总排法数的 故有 将3个球随即放入4个杯子中 问杯子中 的概率各是多少 解 我们认为球是可以区分的 于是 球过程的所有可能结果数为 1 所含的基本事件数 即是从4个杯子中任选 3个杯子 每个杯子放入一个球 杯子的选法有 种 球的放法有3 种 故 放 球 杯子中的最多球数分别为 2 所含的基本事件数 由于杯子中的最多球 数是3 即3个球放在同一个杯子中 故 法 共有4种放 3 由于三个球放在4个杯子中 为 显然 故 的各种可能放法 事件 在1 2000的整数中随机地取一个数 到的整数既不能被6整除 问取 又不能被8整除的概 率是多少 解 为 件 取到的数能被8整除 则所求概率为 由于 故得 由于 故得 事件 取到的数能被6整除 事 又由于一个数同时能被6与8整除 就相当于能 因此 由 被24整除 于是所求概率为 解 个白球 随意地每次从中取出一球 不放回 各事件的概率 因为所考虑的事件涉及到取球的次序 事件也应考察顺序 1 定其中一个后 求下列 所以基本 次取球的总取法为 记 1 2 中的事件分别为 个黑球中任意一个 选 意选取 解 个白球 随意地每次从中取出一球 不放回 各事件的概率 1 定其中一个后 求下列 个黑球中任意一个 选 意选取 故 解 个白球 随意地每次从中取出一球 不放回 各事件的概率 求下列 2 一个 故 个黑球中的任意 有 种取法 几何概型 古典概型只考虑了有限等可能结果的随机试验模型 下面我们进一步研究样本空间为一线段 平面区 域或空间立体等的 何概型 1 设样本空间S是平面上 某个区域 它的面积记 2 向区域S上随机投掷一 点 这里 随机投掷一 等可能随机试验的概率模型 几 几何概型 点 的含义是指 只与这区域面积成比例 而与这部分区域的位置和 形状无关 3 设事件A是S的某个区域 它的面积为 则向 区域S上随机投掷一点 该点落在区域A的概率为 几何概率 注 若样本空间S为一线段或一空间立体 则向S 投 为长度或体积 该点落入S内任何部分区域内的可能性 例7 解 某人午觉醒来 他打开收音机 想听电台报时 发觉表停了 设电台每正点时报时一次 她 等待时间短于10分钟的概率 求他 以分钟为单位 下一 次报时时刻为60 于是 必在 则有 于是 这个人打开收音机的时间 会面问题 间在某地会面 先到者等候另一人20分钟 如果每个人 过时 试计算二人能够会面的概率 解 记7点为计算时刻的0时 以分钟单位 分别记甲