2012湖南大学数学竞赛(数学专业组)试题及解答

湖南大学湖南大学 2012 年数学竞赛试卷 数学专业类 及参考答案年数学竞赛试卷 数学专业类 及参考答案 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 2 1 0 0 0 00 0 0 T TTTT sT s AB A BA B A IAPA P P A BPIPBPPIPBPPBP I B bb BTT BT Ddiag bb 设实对称 实反对称 证明 正定 证 只要对的情形证明即可 事实上 由于正定 则存在可逆使得 显然反对称 对于 由于反对称 则存在正交阵使得 12 11 2 0 0 11 1 1 1 0 1 1 2 s sT i is TTT bb I BTI D TI Ddiagb bb BBBA BA B BAB B 则 由于反对称 则 则 其中是正定的 是半正定的 则它们的和是正定的 0 32 0 12012s 1 s 1 1 122 2 ker 1 dim dim dim 2 dim dim2dim dim sst t WnVWW WWWVVV WW W Wkkk 设是维线性空间的子空间 为其上的线性变换 令 求证 证明 设为一组基 则他们可以扩充为的一组基 下面我们来证明为的一组基 对 有 1 s 1 1 122 1 s 1 1s 1 s 1 1s 1 1 s 1 1 s 1012 0 ker ssstt sssttstt t sttstt stt kk kkkkkkk llll llWW 则 则可由表出 再证它们线性无关 设有线性组合 则且 故 则它能被 1 122 1 s 112s 1 1s 1 s 1 0 12 0 dim dim dim dim 2 s sssttst stt t n lllllW ll W W t t s tWW V 表出 有 由于为的基 所以只能有所以线性无关 综上为的一组基 则 取的一组基 则在此基下 3232 32 32 2 dim dim2dim 000 0 00 0 A A A Frobeniusr AAAr AAr AA r Ar Ar Ar A VVV Frobenius ABABCABC BBCBBCB ABAB r ABr BCrr BCBBC 对应的矩阵分别为 由不等式有 即 等价的有 注 不等式 因为 则 0 0 ABC r B r ABCr ABr BC r B 即 12 1212 2222 11 2212 12 1 1 3 0 0y 0 1111 1 2 2 1 0 0 0 0 0 0 c 0 yzx z llabcbca c x lllld dabc lub cPb lvacPPPb c u v PP 已知直线其中 求证 异面设 的距离为 求证 证明方向向量过点 方向向量过点并且知道 考察混合积 12 12 2222 222 0 0 20 0 2 0 0 21111 2 bc acabcll bc ijk uvnacbc ac ab bc u v PP abc d ndabc bcacab 所以 异面 考察 的公垂向量 则 整理显然有 12 1 12 4 inf inf inf inf nn p nn Np xEx xxp xE xNn Nxx Ex xxpxE 设为一正无穷大数列 试证存在正整数 使得 证明 由于为正无穷大数列 则存在使得若 则 则 而右边是一个有限集 必可取的使得 22 222 2 2 0 000 0 5 0 xx txtxt tx ee Idx x Idtedxedtedt Idxedt 设求 解 则 由于右侧收敛 则交换积分号有 0 1 1 0 1 1 00 0 0 6 0 0 1 lim max max 0 0 1 lim max n nn n n i n n n nx i jij fMffM nnn i fMf x n 所以这时 所以 由任意性知 1 1 1 1 1 1 1 1 012 7 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 n nn i ni ii i nn i iiii ii n f xCffkk k xxk f x k kMpppfff xC M fncccc 设01 为正数 求证存在互不相同的 01 使得 证明 记 则0考虑到 01 则由的介值性可以确定个的分点 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n iii iiiiiiiii nnnn iii iiiii iiii iii c f cf cp lagrangexccpf cf cf xc c ppk c cc ck f xf xf x 同时满足 由定理知道 存在 使得 即 则整理既得 2 3 23 23 8 1 224 2 2 2222 23 2 b a t a fC a bca b a b f x dxb a ffc b a F tf x dxfC a bFC a b a b Taylor a b f a ba ba ba bfa b F tFfttt t a b 设求证存在使得 证明 设 由于 则 在处做展开 即有 分别令 则有 23 1 23 2 3 12 2 2 2222 23 2 2 2222 23 2 1 2242 a b f a ba ba ba bfa b F aFf a b f a ba bb ab afb a F bFf a bff F bfb ab a fC a bfC a b 下式减上式有 这里由于 所以 12 minmax 12 2 2 ff ff ff ca bfc 由于 所以存在使得 所以原式成立 sup sup sup 1 1 1 1 x y R x y R x y R k fRRf xyf xf y af xax Mf xyf xf y xR m nNf xyf xf yM f nxfnxf xM f nxnf xf kxfkxf xnM 9设连续函数满足 证明 存在是常数满足满足 令 则 有 归纳可得 则 2 2 11 1 n nM nf mxmf nxnf mxf mnxf mnxmf nxnm M f mxf nx M mnnm f nx CauchyRg xg x n f n xyf nxf nyM nnnn g xy