数学人教版九年级上册二次函数中面积计算问题.doc

专题 二次函数中的面积计算问题例1. 解答下列问题：如图1，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B.（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）求CAB的铅垂高CD及SCAB ；（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使SPABSCAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.xCOyABD11图1BC铅垂高水平宽ha图2A思路分析此题是二次函数中常见的面积问题，方法不唯一，可以用割补法，但有些繁琐，如图2我们可得出一种计算三角形面积的新方法：即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.掌握这个公式后，思路直接，过程较为简单，计算量相对也少许多，答案:（1）由已知，可设抛物线的解析式为y1a(x1)24(a0)把A(3，0)代入解析式求得a1，抛物线的解析式为y1(x1)24，即y1x 22x3设直线AB的解析式为y2kxb，由y1x 22x3求得B点的坐标为(0，3)把A(3，0)，B(0，3)代入y2kxb，解得k1，b3直线AB的解析式为y2x3 （2）C(1，4)，当x1时，y14，y22CAB的铅垂高CD422 SCAB323(平方单位) （3）解：存在 xCOyABD11图2P设P点的横坐标为x，PAB的铅垂高为h则hy1y2(x 22x3)(x3)x 23x由SPABSCAB得：3(x 23x)3整理得4x 212x90，解得x把x代入y1x 22x3，得y1P点的坐标为(，) 例2. （贵州省遵义市）如图，在平面直角坐标系中，RtAOB的顶点坐标分别为A（0，2），O（0，0），B（4，0），把AOB绕点O逆时针方向旋转90得到COD（点A转到点C的位置），抛物线yax 2bxc(a0)经过C、D、B三点（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为P，求PAB的面积；-3BAxyO2-1-112345-21345（3）抛物线上是否存在点M，使MBC的面积等于PAB的面积？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由思路分析:根据题目所给信息，函数关系式和PAB的面积很容易求出。第（3）问是二次函数中常见的动点问题，由于点M是抛物线上的一个不确定点，点M可以处于不同的位置，是由于点的不确定性而导致图形的形状发生特征上的变化，故而用分类讨论的思想解决问题。答案:（1）由题意知C（2，0），D（0，4）抛物线经过B（4，0），C（2，0）可设抛物线的解析式为ya(x2)(x4)-3BAxyO2-1-112345-21345PE将D（0，4）代入上式，解得a该抛物线的解析式为y(x2)(x4)即yx 2x4（2）yx 2x4(x1)2抛物线的顶点P的坐标为（1，）过点P作PE轴于点E，如图则SPABS四边形PEOB SAOB SPEA(14)42(2)16（3）假设存在这样的点M，其坐标为M（x，y）则SMBC | y |6SPAB6即| y |66，y2当y2时，(x1)22，解得x； 当y2