不等式的证法.doc

高中数学知识专项系列讲座不等式的证法不等式的证明方法灵活多变，它可以和很多内容结合，在高考解答题中常常渗透不等式证明的内容，历来是高中数学的一个难点，着重培养考生和数学式的变形能力、逻辑思念能力以及分析问题和解决问题的能力，下面我们介绍一些常见请法。一、比较法（证明不等式的最基本方法为比较法，它分为作差比较与作商比较，当不等式两边为乘积形式或幂指数形式时，常采用作商法，但要注意两边是否大于0）例1.已知，证明：.证明：当且仅当时，取“=”故原不等式成立.例2.已知，求证：.证明：不妨设，则，.二、综合法（综合法的思路是“由因导果”即利用已知条件和已知不等式作基础，再运用不等式的性质推导出所要证明的不等式）例3. 已知，且，求证：.证明：又，则有（）而，又得，则，综上所述三、分析法（分析法的证题思路是“执果索因”即寻求结论成立的充分条件，最终与已知相符）例4.若且，求证：.证明：，且，原不等式成立，得证另证：又得例5.在某两个正数间，若插入一个数，可使成等差数列，若插入两个数，可使成等比数列，求证：.证明：已知得，消去，得（）又故只须证：即证：显然成立所证不等式成立四、导数法（导数法是利用导数知识，将不等式的证明转化为求导数的最值或极值，它体现了导数的具性作用）例6.设，证明：.证明：设，则由，得在上是增函数，例7.设，求证：.证明：令当时，有，在上是增函数由，知再令，则是上的减函数，所证不等式成立，得证五、放缩法：（放缩法就是把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明，放缩时常采用的方法有：舍去一些正项或负项，在和或积中换大或换小某些项，扩大或缩小分式中分子或分母，技巧性强，应用广泛。）常见的放缩法有：，（），例8.求证：（）.证明：当时，显然有原不等式成立，得证例9.设，求证：对任意正数且，都有.证明：得证六、数学归纳法（与自然数有关的不等式，如果用其它方法证明比较困难，通常考虑用数学归纳法）例10.已知且，求证：.证明：记1当时，故命题成立2假设（）时，命题成立，即那么时，共有个时，命题也成立根据1、2，可知命题对均成立例11.已知，试比较与的大小.解：，假设（）时，有那么时，当时也有综上所述，时，；时，例12.已知数列中，求证：当时，.证明：1当时，原不等式成立2假设时，不等式成立，即有，那么时， 而，即时，不等式也成立根据1、2可知当时，不等式恒成立.七、三角换元（转化为三角知识是常见的换元法之一，要注意新“元”的范围变化与原“元”是否一致）例13.设，求证：对，有.证明：令（），得证例14.已知，且，求证：证明：令（），得得证.例15.已知，求证：.证明：，令，（）同理可令， （）得证.例16.已知，且，求证：.证明：，可设（为参数，为常数）得证.八、换元法（换元法是一种重要的数学思想，它可达到以简驭繁的效果）例17.ABC中，证明：.B x y CAx y z z 证明：如图，可令（）则原不等式变为又，故原不等式成立，得证.例18.设，不等式恒成立，求的取值范围.解：原不等式化为：令，易知且故上述不等式可变为，上式对恒成立又（当时，取“=”）为所求.九、公式法（利用不等式定理、柯西不等式、排序不等式或凹凸不等式，证明不等式在竞赛数学中常见）例19.已知正整数满足，求证：.证明：，得证.例20.已知，且，求证：证明：易知以上三式相加得：得证十、反证法（反证法在不等式上的证明中有广泛应用，正难则反是数学证题的行之有效的策略）例21.已知，求证：，三式中至少有一个不大于.证明：假设三式中全部都大于，则有又三式相加得： ，与式矛盾原命题成立，得证例22.当时，绝对值不等式，是否存在解？证明：假设不存在解使不等式成立，则对恒成立（结合，对称轴）对恒成立，即，得，矛盾一定存在解使不等式成立.十一、函数法（函数法就是根据所给不等式的特征构造函数，利用函数性质来证明不等式）例23.ABC中，求证：.证明：设，则是增函数，又ABC中有，即又原不等式成立，得证例24.证明：.证明：令1若，则，符合题意2若，则由，得结合12可知对任意均有另解：易知，例25.已知，方程表示的曲线经过点，是曲线上任意一点，求证：.证明：由点在曲线上得令，则原方程化为：将代入上式得： ，由，得，即又即原不等式成立，得证十二、综合应用例26，若（）求证：证法一：（分析法）原不等式即要证：若显然成立，若则只需证：上式显然成立，得证。证法二：（综合法）（易知：）证法三：（三角换元法）令，则原不等式转化为证明即显然成立，得证。证法四：（数形结合法）不等式化为曲线（）表示双曲线上支，易知曲线上任两点连续斜率满足，故，得证。证法五：（数形结合法）设点由知证法六、利用向量（略）例27、若，求证：证法一：（分析法）