1[1].2.1排列(2)

一 概念复习 1 排列的定义 理解排列定义需要注意的几点问题 从n个不同元素中 任取m m n 个元素 这里的被取元素各不相同 按照一定的顺序排成一列 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 2 排列数的定义 排列数的计算公式 排列应用题 一 无限制条件的排列问题 1 某年全国足球甲级 A组 联赛共有14个队参加 每队要与其余各队在主 客场分别比赛一次 求总共要进行多少场比赛 解法一 对排列方法分步思考 0是 特殊元素 特殊元素要特殊 优先 处理 例1用0到9这十个数字 可以组成多少个没有重复数字的三位数 二 有限制条件的排列问题 一 特殊元素 特殊位置问题 法2 解法三 间接法 求总数 从0到9这十个数字中任取三个数字的排列数为 所求的三位数的个数是 求以0为排头的排列数为 从总数中去掉不合条件的排列的种数 变式1 用0到9这十个数字 可以组成多少个没有重复数字的三位数偶数 变式2 用0到9这十个数字 可以组成多少个没有重复数字的三位数奇数 总结一 对于 在 与 不在 等有特殊元素或特殊位置的排列问题 通常是先排特殊元素或特殊位置 称为优先处理特殊元素 位置 法 优限法 优限法 例2 7位同学站成一排 共有多少种不同的排法 解 问题可以看作 7个元素的全排列A77 5040 7位同学站成一排 其中甲站在中间的位置 共有多少种不同的排法 解 问题可以看作 余下的6个元素的全排列A66 720 7位同学站成一排 其中甲不站在首位 共有多少种不同的排法 解一 甲站其余六个位置之一有A61种 其余6人全排列有A66种 共有A61A66 4320 解二 从其他6人中先选出一人站首位 有A61 剩下6人 含甲 全排列 有A66 共有A61A66 4320 解三 7人全排列有A77 甲在首位的有A66 所以共有A77 A66 7A66 A66 4320 4 7位同学站成一排 甲 乙只能站在两端的排法共有多少种 解 根据分步计数原理 第一步甲 乙站在两端有A22种 第二步余下的5名同学进行全排列有A55种则共有A22A55 240种排列方法 A55 A55 A22 A22 5 7位同学站成一排 甲 乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种 解 第一步从 除去甲 乙 其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有A52种方法 第二步从余下的5位同学中选5位进行排列 全排列 有A55种方法 所以一共有A52A55 2400种排列方法 6 若甲不在排头 乙不在排尾 有多少种不同的排法 解法一 直接法 以甲作为分类标准 分为两类 第一类 先安排甲在中间 再安排乙 有 第二类 先安排甲在排尾 再安排其他人 有 共有 3720种方法 解法二 间接法 所有排法中除去不符合的 共有 3720种方法 所有排法 甲在排头 乙在排尾 甲在排头 乙在排尾 B 例3 七个家庭一起外出旅游 若其中四家是男孩 三家是女孩 现将这七个小孩站成一排照相留念 1 若其中的A小孩必须站在B小孩的左边 有多少种不同的排法 B A A 例4 七个家庭一起外出旅游 若其中四家是男孩 三家是女孩 现将这七个小孩站成一排照相留念 1 若其中的A小孩必须站在B小孩的左边 有多少种不同的排法 B A 对应思想 例5七个家庭一起外出旅游 若其中四家是一个男孩 三家是一个女孩 现将这七个小孩站成一排照相留念 1 若三个女孩要站在一起 有多少种不同的排法 解 将三个女孩看作一人与四个男孩排队 有种排法 而三个女孩之间有种排法 所以不同的排法共有 种 捆绑法 二 相邻问题 变式 七个家庭一起外出旅游 若其中四家是男孩 三家是女孩 现将这七个小孩站成一排照相留念 若三个女孩要站在一起 四个男孩也要站在一起 有多少种不同的排法 总结二 对于相邻问题 常用 捆绑法 先捆后松 捆绑法 例6 七个家庭一起外出旅游 若其中四家是男孩 三家是女孩 现将这七个小孩站成一排照相留念 若三个女孩互不相邻 有多少种不同的排法 解 先把四个男孩排成一排有种排法 在每一排列中有五个空档 包括两端 再把三个女孩插入空档中有种方法 所以共有 种 排法 三 不邻问题 七个家庭一起外出旅游 若其中四家是男孩 三家是女孩 现将这七个小孩站成一排照相留念 若三个女孩互不相邻 有多少种不同的排法 插空法 总结三 对于不相邻问题 常用 插空法 特殊元素后考虑 插空法 变式 七个家庭一起外出旅游 若其中四家是男孩 三家是女孩 现将这七个小孩站成一排照相留念 若三个女孩互不相邻 四个男孩也互不相邻 有多少种不同的排法 相间问题 1 七个家庭一起外出旅游 若其中四家是男孩 三家是女孩 现将这七个小孩站成两排照相留念 2 若前排站三人 后排站四人 其中的A B两小孩必须站前排且相邻 有多少种不同的排法 A B 解 A B两小孩的站法有 种 其余人的站法有 种 所以共有 种 排法 引申练习 解 连续命中的3枪和命中的另一枪被未命中的4枪所隔开 如图 表示没有命中 命中的三枪看作一个元素和另外命中的一枪共两个元素插到五个空档中有A25 5 4 20种排法 2 某人射击8枪 命中4枪 4枪命种恰好3枪连在一起的不同种数有多少 3 一排8个座位 3人去坐 每人两边至少有一个空座的坐法有多少种 4 一排长椅上共有10个座位 现有4人就座 恰有五个连续空位的坐法种数为 用数字作答 480 解法二 可以画一个树状图 知满足要求的拿法有9种 四 其他问题 同室4名学生各写一张贺卡 放在一起 然后各人从中各拿一张 但均不能拿自己写的那张 共有多少种拿法 解法一 第一步第一个同学从中拿一张贺卡 满足要求的拿法有3种 第二步考虑被第一个同学拿走贺卡的那个同学也有3种拿法 第三步 第四步各有一种拿法 由乘法原理共有3 3 1 1 9 1 四位男生 三位女生排队照相 根据下列要求 各有多少不同的排法 七个人排一列 三个女生任何两个都不能相邻排在一起 七个人排一列 四个男生必须连排在一起 男女生相间排列 巩固练习 男女男女男女男共有A44A35 144 插空法 先排四个男生共有A44种排法 X X X X 在五个空挡中选出三个空档插进去三个女生有A35种排法由乘法原理解共有A44A35 1440 捆绑法 四个男生看作一个元素和三个女生共四个元素有A44种排法 四个男生全排列有A44种排法由乘法原理共有A44A44 576 2 7人排成一排 1 甲 乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种 解 将甲 乙两同学 捆绑 在一起看成一个元素 此时一共有6个元素 因为丙不能站在排头和排尾 所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾 有A52种方法 将剩下的4个元素进行全排列有A44种方法 最后将甲 乙两个同学 松绑 进行排列有A22种方法 所以这样的排法一共有A52A44A22 960种方法 2 甲 乙两同学必须相邻 而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种 一共有A55A33 720种 3 三名女生和五名男生排成一排 如果女生全排在一起 有多少种不同排法 如果女生全分开 有多少种不同排法 如果两端都不能排女生 有多少种不同排法 如果两端不能都排女生 有多少种不同排法 A66A33 4320 A55A63 14400 A52A66 14400 A52A66 2A31A51A66 36000或A88 A32A66 36000 某些元素不能在或必须排列在某一位置 某些元素要求连排 即必须相邻 某些元素要求分离 即不能相邻 某些元素要求必须相邻时 可以先将这些元素看作一个元素 与其他元素排列后 再考虑相邻元素的内部排列 这种方法称为 捆绑法 某些元素不相邻排列时 可以先排其他元素 再将这些不相邻元素插入空挡 这种方法