高一数学1.2.1任意角的三角函数一学案新人教A必修4

1.2.1任意角的三角函数(一)4用心 爱心 专心 自主探究1任意角三角函数的定义(1)在平面直角坐标系中，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：y叫做的正弦，记作sin_，即sin y；x叫做的余弦，记作cos_，即cos x；叫做的正切，记作，即tan (x0)对于确定的角，上述三个值都是唯一确定的故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数(2)设角终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sin ，cos ，tan .2正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号3诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，即：sin(k2)sin_，cos(k2)cos_，tan(k2)tan_，其中kZ.利用任意角三角函数的定义推导特殊角的三角函数值.角0sin 0101cos 1010tan 01无10无解以为例，其余略设P(x，y)为上一点，易知点P(x，y)在y轴负半轴上x0，y0.sin 1；cos 0；tan ，无意义 名师点拨1对三角函数定义的理解(1)三角函数也是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从一个角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应，并且对任意一个角，在比值集合中都有唯一确定的象与之对应，三角函数的自变量是角，比值是角的函数(2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围如在求正切时，若点P的横坐标x等于0，则tan 无意义(3)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角的终边位置确定即三角函数值的大小只与角有关(4)符号sin 、cos 、tan 是一个整体，离开“”，“sin”、“cos”、“tan”不表示任何意义，更不能把“sin ”当成“sin”与“”的乘积2诱导公式一的理解及其应用(1)公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等(2)公式一的结构特征：左、右为同一三角函数；公式左边的角为k2，右边的角为.(3)公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求02(或0360)角的三角函数值 典例剖析一、利用定义求任意角的三角函数值例1已知角的终边上一点P(15a,8a) (aR且a0)，求的各三角函数值解x15a，y8a.r17|a| (a0)(1)若a0，则r17a，于是sin ，cos ，tan .(2)若a0，则r17a，于是sin ，cos ，tan .点拨已知角终边一点求三角函数值，关键在确定该点的坐标，根据三角函数定义求解，同时应注意一些字母符号二、判断三角函数值的符号例2若为第一象限角，则能确定为正值的是()Asin Bcos Ctan Dcos 2答案C解析为第一象限角，2k2k，kZ.kk，kZ.当k2n (nZ)时，2n0，cos 0，tan 0.当k2n1 (nZ)时，2n2n (nZ)为第三象限角，sin 0，cos 0，从而tan 0，而4k24k，kZ，cos 2有可能取负值点拨根据三角函数值的符号判断角所在的象限时，可以利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来记忆三、诱导公式一的应用例3求下列各式的值(1)cos tan；(2)sin(1 320)cos 1 110cos(1 020)sin 750tan 495.解(1)原式cos tancostancos tan 1.(2)原式sin(4360120)cos(336030)cos(336060)sin(236030)tan(360135)sin 120cos 30cos 60sin 30tan 13510.点拨利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2间的三角函数，也可把大于2的角的三角函数化为0到2间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”同时要熟记特殊角的三角函数值 变式训练1已知角终边上一点P(，y)，且sin y，求cos 和tan 的值解sin y.当y0时，sin 0，cos 1，tan 0.当y0时，由，解得：y.当y时，P，r.cos ，tan .当y时，cos ，tan .2若sin 0，则是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角 D第四象限角答案C解析sin 0，是第一、三象限角，故是第三象限角3求下列各式的值(1)costan ；(2)sin 630tan 1 125tan 765cos 540.解(1)原式costancos tan 1.(2)原式sin(360270)tan(336045)tan(236045)cos(360180)sin 270tan 45tan 45cos 18011110.一、选择题1sin 210等于()A. B C. D答案D2若cos 0且sin 20，则角的终边所在象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案D3点A(x，y)是300角终边上异于原点的一点，则的值为()A. B C. D答案B4角的终边经过点P(b,4)且cos ，则b的值为()A3 B3 C3 D5答案A解析r，cos .b3.二、填空题5代数式：sin 2cos 3tan 4的符号是_答案负号解析20，3，cos 30，40.sin 2cos 3tan 40，cos 0，则a的取值范围为_答案20，cos 0，位于第二象限或y轴正半轴上，3a90，a20，20时，r10|t|10t.sin ，cos ，sin cos .当t0时，r10|t|10t.sin ，cos ，sin cos .8若角的终边与直线y3x重合且sin 0，又P(m，n)是终边上一点，且|OP|，则mn_.答案2解析y3x，sin 0，点P(m，n)位于y3x在第三象限的图象上，且m0，n0，是第一或第二象限角，当为第一象限角时，sin ，tan 3；当为第二象限角时，sin ，