用导数研究函数的恒成立与存在性问题答案.doc

用导数研究函数的恒成立与存在问题1已知函数，其中为常数（1）若，求函数的单调区间； （2）若函数在区间上为单调函数，求的取值范围2已知函数，是的导函数。（1）当时，对于任意的，求的最小值；（2）若存在，使0，求的取值范围。3已知函数 .（1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间；（3）设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围. 4（2016届惠州二模）已知函数（）求函数的最大值；（）若函数与有相同极值点求实数的值；对(为自然对数的底数)，不等式恒成立，求实数的取值范围5已知函数（1）当时，使不等式，求实数的取值范围；（2）若在区间，函数的图象恒在直线的下方，求实数的取值范围用导数研究函数的恒成立与存在问题 答案1解：(1)若a1，则f(x)3x2x2ln x，定义域为(0，)，f(x)4x3(x0)当x(0,1)时，f(x)0，函数f(x)3x2x2ln x单调递增当x(1，)时，f(x)0，函数f(x)3x2x2ln x单调递减，即f(x)的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1，)(2)f(x)4x.若函数f(x)在区间1,2上为单调函数，即在1,2上，f(x)4x0或f(x)4x0，即4x0或4x0在1,2上恒成立即4x或4x.令h(x)4x，因为函数h(x)在1,2上单调递增，所以h(2)或h(1)，即或3，解得a0或0a或a1.故a的取值范围是(，0)(0，1，)2. 解：（1）由题意知令 当在-1，1上变化时，随的变化情况如下表：x-1（-1，0）0（0，1）1-7-0+1-1-4-3的最小值为 的对称轴为，且抛物线开口向下, 的最小值为 的最小值为-11. （2）.若, 上单调递减，又 若当从而上单调递增，在上单调递减， ，则综上，的取值范围是 (或由,用两种方法可解)3 解：（1）由已知， ， 故曲线在处切线的斜率为而，所以切点为，在点处的切线方程为 （2）当时，由于，故，所以，的单调递增区间为. 当时，由，得. 在区间上，在区间上，所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）由已知，问题等价于为. 其中 由(2)知，当时，在上单调递增，值域为R，故不符合题意.(或者举出反例：存在，故不符合题意.) 当时，在上单调递增，在上单调递减，故的极大值即为最大值， 所以，解得. 4 解（），1分 由得；由得. 在上为增函数，在上为减函数. 2分 函数的最大值为.3分（）.由（1）知，是函数的极值点，又函数与有相同极值点， 是函数的极值点，解得.4分经验证，当时，函数在时取到极小值，符合题意. 5分，易知，即. 7分由知，当时，；当时，.故在上为减函数，在上为增函数.，而. 9分当，即时，对于，不等式恒成立.，. 10分当，即时，对于，不等式恒成立.，. 11分综上，所求实数的取值范围为.12分5【解】：(1)当a1时，f(x)x2ln x(x0)，f(x)x，由x1，e，f(x)0得函数f(x)在区间1，e为增函数，则当x1，e时，f(x).故要使x01，e使不等式f(x0)m成立，只需m即可.(2)在区间(1，)上，函数f(x)的图象恒在直线y2ax的下方等价于对x(1，)，f(x)2ax，即(a)x2ln x2ax0恒成立设g(x)(a)x22axln x(x1，)，则g(x)(2a1)x2a(x1)(2a1)当x(1，)时，x10,01.若2a10，即a，g(x)0，函数g(x)在区间1，)上为减函数， 则当x(1，)时g(x)g(1)a2aa，只需a0，即当a时，g(x)(a)x2ln x2ax0恒成立若02a11，即a1时，令g(x)(x1)(2a1)0得x1，函数g(x)在区间为减函数，为增函数，则g(x)，不合题意若2a11，即当a1时g(x)0，函数g(x)在区间1，)