实际问题与一元一次方程教法探索 - 副本.doc

“实际问题与一元一次方程”的教法探索文章背景实际问题与一元一次方程这部分内容是七年级上册学习的重点，也是难点，说它是重点，因其所承载的任务多、任务重，首先它是初中阶段利用数学知识首次大规模解决实际问题楷模，通过对它的学习，不仅让学生感受到数学知识的巨大威力，还要向学生传达利用数学知识解决实际问题的一般规律，提高学生分析问题解决问题的能力；其次这部分知识是培养利用方程的思想学生建立数学模型的有力工具，是用建模思想应用的典范；同时它是后继学习的基础，这部分内容若学不好，就直接影响到后面用方程组解决实际问题，用不等式解决实际问题，用二元一次方程解决实际问题的学习。这部分知识也是学习的难点，首先真正用方程解决实际问题是学生首次接触，由于当前大多数学生接触社会生产较少，阅读能力也不是很好，对于实际问题题意的理解不到位，对于相等关系的寻找不够敏锐，分析问题的能力不强，使得对于大多数学生来说列方程解应用题是件让人很头疼的事，也是很没有把握的事。其次由于实际问题的类型多样，在某些问题中数量关系不明显，使得以方程为模型表示问题中的数量关系以及列出符合题意的方程成为难点。另外当前不少学生的意志品质欠缺，克服困难的勇气不足，在困难面前选择放弃，也是学好这部分内容的一个障碍。当前使用的教材，在实际问题中引出方程的概念，通过在不同实际问题中列出由简到繁的一系列方程，探讨方程的解法，归纳解方程的步骤。虽然把对实际问题的讨论作为贯穿于全章前后的一条主线，对一元一次方程解法的讨论始终是结合解决实际问题进行的，即先列方程，然后讨论如何解方程。这看上去显得教学内容编排的自然流畅，但其致命缺点是把许多典型的实际问题分散开来，不利于老师讲透，学生吃透。在这一教学过程中，虽然学生掌握了一元一次方程的解法，却对如何利用方程解应用题还是一头雾水。正是鉴于这一原因，新版数学教材增加了“实际问题与一元一次方程”这一章节，虽然起到了一定的弥补作用，但若是仅限教材的内容去讲，仍然难以弥补更好地利用一元一次方程解决实际问题的不足，仍然难以处理练习册中的习题。正因如此，对不同类型的诸多实际问题进行归纳整理，从中提炼出不同类型的实际问题的解题规律，使学生在解决实际问题时有章可循、有法可依，就成立势在必行的事。本人经过的教材、练习册和历年来多地单元测试题中出现的实际问题认真分析、整理，“实际问题与一元一次方程”教法探索一文，旨在借此提高学生分析问题，解决问题的能力，以便更好地利用方程解决实际问题。文中不妥之处望各位同仁给予批评指正。文章思路通过对本学期已经出现和将要出现的实际问题进行收集整理，把能用一元一次方程解决的诸多实际问题分成若干大类，每一大类分成若干小类，每一小类精选出典型的实际问题，通过对每一问题分析，归纳整理，提炼出其中蕴含的相等关系，建立方程模型的一般思路，解决该类问题的一般规律。然后进行合理变式，让学生进一步熟悉解题思想，解题规律，通过配以适量的练习题，巩固所学知识，达到融会贯通、举一反三的目的。然后开展课堂教学实验，做好课堂实录，随时进行反思小结，根据反思调整、修改教学方法。一、行程问题例题1、甲、乙两站相距480km，一列慢车从甲站出发，每小时行90km，一列快车从乙站出发每小时行140km，另有一架直升飞机速度为每小时300km。试解决下列问题（1）慢车先开出1小时，快车再开，两车相向而行，问快车开出去多长时间后两车相遇？（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600km？（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600km？（4）两车同时开出，同向而行，快车在慢车的后面，多少小时快车追上慢车？（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车开出多少小时后追上慢车？（6）两车同时开出，同向而行，快车在慢车的后面,直升飞机和快车同时同站出发追赶慢车，当追上慢车时就折返向回飞，碰到快车再折返向慢车飞，如此往返在两车之间，直到快车追上慢车时为止，问：飞机共飞了多少路程？（7）两车同时从甲乙两站开出，相向而行，何时两车相距100km解：（1）设快车开出去小时后两车相遇根据两车行驶的路程之和等于甲乙两站的距离，可列方程 （根据部分之和等于整体）解得：.（2）设相背而行小时后两车相距600km根据两车行驶的路程之和加上甲乙两地的距离等于600km，可列方程. （根据部分之和等于整体）解得：.（3）设小时后两车相距600km根据：快车的行程慢车的行程甲乙两地的距离=600可列方程：也可根据：慢车的行程+600=快车的行程+480列方程解得：（4）设小时后快车追上慢车根据：快车行驶的路程慢车行驶的路程=480可列方程：解得：.（5）设快车开出去小时后可以追上慢车根据：快车行驶的路程慢车行驶的路程=480可列方程：解得：.（6）设快车开出去小时后可以追上慢车，则直升飞机飞行的路程为千米根据：设快车开出去小时后可以追上慢车解得：.（7）情形一：设相遇前经过小时两车相距100km，根据：两车行驶的路程之和=480-100可列方程：解得：.情形二：设经过小时，两车相遇后相距100km根据：两车行驶的路程之和=480+100可列方程： 解得：.2、甲、乙二人在长为400米的圆形跑道上跑步，已知甲每秒钟跑9米，乙每秒钟跑7米(1)当两人同时同地背向而行时，经过几秒钟两人首次相遇？(2)两人同时同地同向而行时，经过几秒钟两人首次相遇又经过几秒再次相遇？解：（1）设两人同时同地背向而行时，经过秒钟两人首次相遇根据：两人的路程之和等于一圈跑道的长可列方程：，解得：.（2）设两人同时同地同向而行时，经过秒钟两人首次相遇根据：两人的路程之差等于一圈跑道的长可列方程：，解得：两人相遇后，又是同时同地同向而行，因此再经过200秒两人还会相遇3、甲骑自行车从A地到B地，乙骑自行车从B地到A地，两人都匀速前进已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米求A、B两地间的路程分析：由于两人都匀速前进故两人的速度之和不变。解：设A、B两地间的路程为km解得：答：A、B两地间的路程为108km4、一架飞机，最多能在空中连续飞行6小时，它无风时的速度为750km/h，风速为50km/h，这架飞机最远飞出多少千米就应返回？解法一：设这架飞机最远能飞出去km根据去、回的时间之和为6小时可列方程：解得：答：这架飞机最远能飞出去2240km解法二：设飞出去的时间为小时，则飞回来的时间为小时1）若飞出去时为顺风飞行，则：解得：从而可知最远能飞出去2.8（750+50）=2240km2）若飞出去为逆风飞行，则解得：从而可知最远能飞出去3.2（75050）=2240km答：最远能飞出去2240km练习：1、甲、乙两人骑自行车。同时从相距65km的两地相向而行，甲的速度为17.5km/h，乙的速度是15km/h，问经过几小时，甲乙两人相遇？解：设经过小时，甲乙两人相遇解得：答：经过2小时，甲乙两人相遇变式1：甲、乙两人骑自行车。同时从的两地相向而行，甲的速度为17.5km/h，乙的速度是15km/h，经过2小时，甲乙两人相遇，问两地相距多远？解：设两地相距km解得：答：变式2：甲、乙两人骑自行车。同时从相距65km的两地相向而行，甲的速度是乙的速度的2倍少12.5km/h，若经过2小时，甲乙两人相遇，问甲、乙的速度各是多少？解：设乙的速度为km/h，则甲的速度为km/h变式3：甲、乙两人骑自行车。同时从相距65km的两地相向而行，甲的速度为17.5km/h，乙的速度是15km/h，丙驾驶小汽车以60km/h的速度和甲同时同地同向出发，碰到乙时丙又往甲这边走，碰到甲时丙再往乙那边走，如此往返行驶，问丙在甲乙两人相遇时一共走了多少千米？ 分析：因为小汽车行驶的时间和两人相遇的时间一样，因此只要求出相遇的时间问题就可解决。解：设经过小时，甲乙两人相遇解得：从而可得小汽车一共行驶：km变式4：甲、乙两人骑自行车。同时从相距65km的两地相向而行，甲的速度为17.5km/h，乙的速度是15km/h，问经过几小时，甲乙两人相距32.5km？解：（1）设两人相遇前经过小时相距32.5km解得：（2）设两人相遇后又经过小时相距32.5km解得：答：从出发开始算起，经过1小时两人第一次相距32.5km，经过3小时第二次相距32.5km。变式5、甲、乙两人骑自行车。从相距65km的两地相向而行，甲的速度为17.5km/h，乙的速度是15km/h，若乙出发半小时后，甲再出发，问甲经过几小时能和乙相遇？解：设甲经过小时和乙相遇变式6：甲、乙两人骑自行车。从相距65km的两地相向而行，甲的速度为17.5km/h，乙的速度是15km/h，问乙要先行多长时间后甲再出发，才能刚好在两地的中点相遇？解：设乙要先行小时后甲再出发，两人能刚好在两地的中点相遇依题意可知甲出发到与乙相遇所用时间为：小时根据乙与甲相遇时共走了32.5km，可列方程：变式7：甲、乙两人骑自行车。同时从相距65km的两地相向而行，甲的速度为17.5km/h，乙的速度是15km/h，甲、乙两人到达终点后立即返回，问第一次相遇后经过几小时，甲乙两人再次相遇？解：设两人第一次相遇时经过小时则：解得：设从两人开始出发到两人第二次相遇时共用小时解得：所以第一次相遇后又经过6-2=4小时甲乙两人再次相遇2、王马虎同学在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业题只看到：甲、乙两地相距160km，摩托车的速度为45km/h，运货汽车的速度是35km/h， ？请将这道作业题补充完整并列方程解答。补充方法：方法一：两车同时从两地相向而行，问两车何时相遇？方法二：两车同时从两地相向而行，问两车何时相距40km？方法三：两车都从甲地去乙地，运货汽车先行，1小时后摩托车开始出发，问：经过多长时间摩托车可以追上运货汽车？方法四：两车分别从甲乙两地同时同向出发，运货汽车在前，摩托车在后，问：摩托车经过多长时间可以追上运货汽车？3、小明每天早上要赶到距家1000米的实验初中上学一天，小明以80米/分的速度从家里出发,5分钟后,小明的爸爸发现他忘了带语文书，于是,爸爸立即骑摩托车以180米/分的速度去追小明，爸爸能在途中追上了他吗? 解：设小明爸爸用时分钟追上小明解得：此时：10001804=280米答：小明的爸爸可以在距学校还有280米处追上小明4、某人骑车从A地到B地，以12km/h的速度在预定的时间里还差3km才能到达，若以15km/h的速度可以提前24分钟到达，问预定是几小时到达？A、B两地相距多远？解：设预定是小时到达根据从A地到B地路程的两种表示方法可列方程：解得：从而可得：答：预定3小时到达，A、B两地相距39km5、甲、乙两地火车路比汽车路长40千米，汽车从甲地先开出，速度为60km/h，开出半小时后火车从甲地开出，速度为80km/h，结果汽车反而比火车晚1小时到达乙地。求甲、乙两地的火车路、汽车路各有多少千米？解：设汽车路长千米，则火车路长千米根据汽车用时比火车用时长1.5小时，可列方程解得：从而：答：甲乙两地的火车路长200km，汽车路长160km6、李伟从家里骑摩托车到火车站，若每小时行30km，那么比火车开车时间早15min到达；若每小时行18km，则比火车开车时间迟15min到达，现在李伟打算在火车开车前10min到达火车站，求李伟此时骑摩托车的速度应该是多少？解：设现在距火车开车时间还有小时根据李伟家距车站路程的不同表示方法可列方程：解得：从而可知李伟家距车站：km所以若打算在火车开车前10min到达火车站，李伟此时骑摩托车的速度应该是km/h。7、跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？解：设快马天可以追上慢马解得：8、非洲猎豹的速度是100km/h，快速的奔跑会导致体温的迅速升高，猎豹以这一速度奔跑15s后就要停下来休息，负责就要生命的危险，斑羚以80km/h的速度可以奔跑很久，猎豹要想抓住斑羚，至少要潜伏距斑羚多少米时才能成功实施抓捕？解：设猎豹潜伏距斑羚米时，刚好经过15s可以抓到斑羚解得：答：猎豹要想抓住斑羚，至少要潜伏距斑羚83米时才能成功实施抓捕9、一艘轮船从甲地顺流而行9小时到达乙地，按原路返回需要11小时才能到达甲地，已知水流的速度2km/h，求轮船在静水中的速度？解：设轮船在静水中的速度为km/h 解得：10、一架飞机在两城之间飞行，风速为24km/h，顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时，求无风时飞机的航速和两城之间的航程。解：设无风时飞机的航速km/h 解得： 从而可知两城之间的距离为：km11、一条轮船航行于两个码头之间，顺水航行7小时驶完全程，逆水航行要比顺水航行多用2小时，若水流的速度是3千米/小时，求船在静水中的速度。解：设船在静水中的速度km/h 解得：12、小明从家到学校，如果每分钟走100米，就会迟到3分钟，如果每分钟走150米，就会早到3分钟，请问小明每分钟走多少米才能按时到校？解法一：设小明家距学校米解得：小明从家出门时距上课时间还有：分钟小明要在15分钟恰好到校每分钟需走米解法二：设小明从家出门时距上课还有分钟解得：小明要在15分钟恰好到校每分钟需走米解法三：设小明每分钟走米才能按时到校解得：13、八位退休教师分别乘坐两辆小汽车从山区赶往飞机场,可真不巧,其中一辆小汽车在距离飞机场15千米的地方出了故障,不能行驶,此时离飞机停止检票时间只剩下42分钟(停止检票后即不让乘客上飞机).这时,惟一可以利用的交通工具只剩下一辆小汽车,连同司机在内一次限乘5人,这辆小汽车的平均速度为60千米/ 时.（1）这辆小汽车要分两批送这8人,如果第二批人在原地等待,那么这8 人都能及时到达机场吗?请说明理由. （2）如果在小汽车送第一批人的同时,第二批人先步行; 小汽车把第一批人送到机场后立即返回接送在步行中的第二批人, 若这些人的步行速度为5千米/时,问:这8人都能及时到达机场吗?请说明理由. 解：（1）这8 人不能都及时到达机场，理由如下：如果第二批人在原地等待，则小汽车往返行驶的距离是45千米，共用时4560=0.75小时=45分钟超过了飞机停止检票的时间42分钟，因此这8 人不能都及时到达机场。（2）这8 人都能及时到达机场，理由如下：设步行的人经过小时和返回的小汽车相遇解得：此时距离机场还有：千米，小汽车再次到达机场用时：按照此方案共用时分钟42分钟因此该方案可使这8 人都能及时到达机场行程问题的解题规律：1、画出准确的行程图打开思路的钥匙2、设出恰当的未知数拨开解题的迷雾3、用公式表示未知量是列方程的基石4、寻找表达相等关系是列方程的根本二、盈不足问题例题1、有一群鸽子和一些鸽笼，如果每个鸽笼住6只鸽子，则剩余3只鸽子无鸽笼可住；如果再飞来5只鸽子，连同原来的鸽子，每个鸽笼刚好住8只鸽子，问原有多少只鸽子和多少个鸽笼？解：设原来有只鸽子根据：鸽笼的两种表示方法可列方程：.若设有只鸽笼根据：原有鸽子数量的两种表示方法可列方程：解得： 从而可知有鸽子27只.练习：1、把一些图书分给阅读，如果每人分3本，则剩余20本，如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生解：设这个班有名学生根据图书的总数 解得：2、7-3班课外乒乓球小组买了两副乒乓球拍，如果每人付9元，那么多了5元，如果每人付8元，那么还缺2元，请你根据以上情境提出问题，并列方程求解。解：所提问题：乒乓球兴趣小组有多少人？每副乒乓球拍的单价是多少钱？设乒乓球兴趣小组有人，根据两副乒乓球拍的总价钱可列方程：解得：从而可知每副乒乓球拍的单价是：元3、用化肥若干千克给麦田追肥，每公顷6千克还差17千克，每公顷5千克还剩余3千克，问麦田共多少公顷？化肥多少千克？解：设麦田共有公顷，化肥千克 解得：从而可知：千克4、某种风扇因季节原因准备打折出售，如果按定价的7.5折出售，将赔20元，如果按定价的9折出售，将赚25元，问这种风扇的原定价为多少元？解：设这种风扇的原定价为元根据风扇的进价的两种表述方法可列方程：解得：5、某中学有住宿生若干人，若每个房间住8人，则有3人无处住，若每个房间住9人，则有两张空床位，问该中学有宿舍多少间，住宿生多少人？解：设该中学有宿舍间 解得： 从而有住宿生：85+3=43人盈不足问题的解题规律：此类问题一般是在两个假设的情形下去解决两个相关未知量的问题，一般我们设其中一个未知量为，然后根据两个假设用表示另一个未知量，最后根据该未知量的两种不同的表示方法列方程。三、和差倍分问题例题：1、甲、乙两牧童，甲对乙说：“把你的羊给我1只，我的羊数就是你的羊数的2倍。”乙对甲说：“最好还是把你的羊给我1只，我们的羊数就一样了。”问：两个牧童各有多少只羊？解：设乙有只羊，则甲有只羊根据：乙给甲一只羊后，甲的羊数2乙的羊数可列方程： 解得： 从而甲有羊：5+2=7只2、学校有电视和幻灯机共90台，已知电视机和幻灯机的台数比为2 ：3，求学校有电视机和幻灯机各多少台？ 解：学校有电视机台，则有幻灯机台根据：电视机是幻灯机的倍可列方程：解得： 从而可知有幻灯机：90-36=54台3、有一些相同的房间需要粉刷墙面，一天3名一级技工粉刷8个房间，结果其中有墙面未来得及粉刷；同样时间内5名二级技工粉刷了10个房间外，还多刷了另外的墙面。每名一级技工比二级技工一天多粉刷墙面，求每个房间需要粉刷的墙面面积。解：设每个房间需要粉刷的墙面面积根据：一名一级技工一天粉刷的面积=一名二级技工一天粉刷的面积+10可列方程：解得：.若求此方程的解麻烦，还可以采用间接设未知数的方法：如：设一名二级技工一天可粉刷，则一名一级技工一天粉刷的面积为根据：每个房间的面积都一样可列方程：练习：1、甲乙两桶油重量相等，甲筒取走16kg油，乙桶加入14kg油后，乙桶油的重量是甲桶油的重量的4倍，问甲桶原有油多少千克？解：设甲桶原有油千克根据最后乙桶油的重量是甲桶油的重量的4倍可列方程：解得：2、在甲处劳动的有50人，在乙处劳动的有41人，要使乙处人数比甲处人数的2倍还多1人，应从甲处调多少人到乙处？解：设应从甲处调人到乙处根据调动后乙处人数比甲处人数的2倍还多1人，可列方程：解得：3、校园里原有桃树比梨树的4倍少3棵，现在又种桃树11棵，梨树8棵，这样桃树仍比梨树多12棵，求原有桃树和梨树各多少棵？解：设原有梨树棵，则原有桃树棵 解得： 从而可知：有桃树44-3=13棵4、一个两位数，个位上的数字与十位上的数字和为15，若把个位上的数字与十位上的数字对调，则所得新数比原数小27，求原两位数解：设原来的两位数的个位数字是，则十位数字是从而可得原数为：，对调后的新数是：根据所得新数比原数小27可列方程：解得： 从而十位上的数字是15-6=9，因此原两位数是965、三个连续奇数之和为207，求这三个连续奇数解：设这三个连续奇数分别为：，根据三个连续奇数之和为207可列方程： 解得： 从而可知这三个连续的奇数为：67,69,716、甲、乙各有练习本若干，甲对乙说：“你给我2本，我的练习本数就是你的2倍”。乙对甲说：“你给我3本，我的练习本数也是你的2倍。”问甲乙两人各有练习多少本？解法一：设甲有练习册本，乙有练习册本根据甲、乙两人的叙述可列方程组： 解得：解法二：设甲有练习册本，则乙有练习册本根据甲对乙说：“你给我2本，我的练习本数就是你的2倍”可列方程： 解得：从而可知：7、某校七年级有153名学生，分为甲、乙、丙三个班，乙班比丙班多5人，而比甲班少8人，问三个班各有多少人？解：设乙班有学生名，则甲班有学生名，丙班有学生名。根据学生总数可列方程：解得： 从而可知甲班有58人，乙班有50人，丙班有45人。8、甲、乙、丙三个乡合修水利工程，按照收益土地的面积比3:2:4分担费用1440元，三个乡各分担多少元？解：设甲、乙、丙三个乡各分担、和元解得：从而可得：甲、乙、丙三个乡各分担480元、320元、640元。9、某炼油厂今年每月平均炼油150吨，是去年月平均产量的3倍多6吨，求去年的月平均产量。解：设去年的月平均产量为吨解得：10、有人问老师班级有多少名学生时，老师说：“一半的学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在读外语，还剩下六名学生在操场上踢球”。你知道这个班有多少名学生吗？解：设这个班有学生人解得：11、有一个两位数，个位数字是十位数字的一半，将两个数字交换位置后，所得的新数比原数小36，则原数是多少？解：设原数的个位数字是，十位数字是2则原数为：；新数为：=36解得：从而十位数字为：42=8因此原来的数是：84 12、今年小川6岁，他的祖父72岁，几年后，小川的年龄是他祖父年龄的解：设年后小川的年龄是他祖父年龄的解得：13、商店里有500台计算机，卖出32台后，又有4个单位来订购，满足这4个单位要求后，商店还剩下8台计算机，平均每个单位订购了多少台计算机？解：设平均每个单位订购了台计算机。 解得：14、甲仓库储粮35吨 ，乙仓库储粮19吨，现调出粮食15吨，应分配给两仓库各多少吨，才能使得甲仓库的粮食数量是乙仓库的两倍？解：设从甲仓库调粮吨，则应从乙仓库调粮吨根据：调粮后甲仓库的粮食数量是乙仓库的两倍可列方程：解得：从而可知乙仓库调粮6吨。15、师生共100人去植树，教师每人栽2棵树，学生平均每2人栽1棵树，一共栽了110棵树，问教师和学生各有多少人？解：设有教师人，则有学生人根据：师生栽树的总数可列方程：解得：和差倍分问题的解题规律：此类问题相对简单，可以根据题中给出的和、差、倍、分、比等关系直接列出方程。四、工程问题例题：1、检修某厂区的自来水管，甲独做14天完成，乙独做18天完成，丙独做12天完成，前7天有甲乙两人合作一起做，但乙中途离开了几天，后一部分有乙丙合做2天完成，问乙中途离开了几天？解：乙中途离开了天解得：答：乙中途离开了3天2、整理一批图书，如果有一个人单独做要花60小时，现由一部分人先整理1小时，随后增加15人和他们一起又做了2小时，恰好完成整理工作。假设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有多少人？解：设先安排了人整理图书解得：3、小亮读一本书，第一天读了全书的，第二天读了剩下的，这时还有24页没读，则他第二天读了多少页？（间设）读的页数剩余的页数最后还剩第一天第二天24页解：设全书共页解得：第二天读的页数： 页练习：1、打开水管乡空池注水，5分钟可满，满后拔出底塞，那么池水10分钟放尽，有一次打开水管将水注入空池，过了若干分钟，发现底塞未塞，塞上底塞后，又经过同样的时间才注满，问一共注入了多长时间才注满水池？解：一共注入了2分钟才注满水池解得：从而：答：一共注入了分钟才注满水池。2、某工厂计划13小时生产一批零件，后因每小时多生产10个，用12小时不但完成了任务，而且还比原计划多生产60个，问原计划每小时生产多少个零件？解：设原计划每小时生产个零件解得：3、甲、乙两队合修一条长1500m的铁路，两队分别从两头施工，乙队先干了3天，其余与甲队合修完成，甲队每天修路80m，乙队每天修路100m，问甲队修了多少天路？解：设甲队修了天路解得：4、某项工程甲单独做需要45天，乙单独做需要30天，如果甲先做10天，剩下的部分由甲、乙合做，完成此项工程共需多少天？解：设完成此项工程共需天根据：两段时间所做工程之和等于工程总量可列方程：.解得：若求此方程的解麻烦，还可以设甲、乙合做天，则完成此项工程共需天。可列方程：此类问题的解题规律：1、没有给出工程总量的，工程总量往往记为12、牢记公式：工作量=工作时间工作效率工作人数3、此类问题往往根据每一阶段的工作量之和等于总工作量来列方程。五、劳动分配问题：例题：1、甲、乙两个工程队分别有188人和138人，现需要从两队抽出116人组成第三个队，并使甲、乙两队剩余人数之比为2:1，问应从甲、乙两队各抽出多少人？解：设从甲队抽出人，则从乙队抽出人、解得：2、某车间有工人85人，平均每人每天可以加工大齿轮8个或小齿轮10个，又知1个大齿轮和3个小齿轮配为一套，问应如何安排工人使生产出来的产品刚好成套？解：设安排名工人加工大齿轮，安排名工人生产小齿轮解得： 从而生产小齿轮的工人有85-25=60人3、整理一批数据，由一人做需要80小时完成，现在计划先由一些人做2小时，再增加5人做8小时，完成这项工程的，怎样安排参与整理数据的具体人数？解：设先安排人工作2小时根据：两段时间完成的工作量之和工程总量的可列方程：解得：练习1、某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个，在这16名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的人加工乙种零件，已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元，若此车间一共获利1440元，求这一天有几名工人加工甲种零件？解：设有名工人加工甲种零件；则有名工人加工乙种零件。根据此车间一共获利1440元可列方程： 解得：2、某车间有27名工人，生产甲乙两种零件，每三个甲种零件与两个乙种零件配成一套，已知每个工人每天能加工甲种零件12个，或乙种零件16个，为使每天生产的零件刚好配套，应如何分配工人的生产任务？解：设有名工人生产甲种零件，则有名工人加工乙种零件 解得：（不合题意，说明题中所给数据不对）3、一张方桌有一个桌面和四条桌腿组成，1m木料可制成桌面50张或桌腿300条，现有5m木料，问用多少木料制成桌面？用多少方木料制作桌腿，正好配成多少张方桌？解：设用 m的木料制作桌面，用 m的木料制作桌腿解得： 从而用5-3=2m的木料制作桌腿。4、生产一批学生服，每3米长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，用600米长的布料加工校服，应分别用多少布料生产上衣和裤子才恰好配套？解：设用米长的布料做上衣，用米的布料做裤子解得：从而可以用600-360=240米5、 某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共480台改进生产技术后，计划第二季度生产这两种机器共554台，其中甲种机器产量要比第一季度增产10 % ，乙种机器产量要比第一季度增产20 %该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台？解：设第一季度上产甲种机器台，上产乙种机器台 解得： 从而可知生产乙种机器480-220=260台此类问题中比较典型的一类是：产品配套问题，对于这类问题，一般在设出未知数后，再用分别表示两种产品的数量，然后在根据配套条件列方程。其他的劳动分配问题，大多可以转化为和差倍分问题求解。六、商品销售问题解决这类问题常用的等量关系商品利润=商品售价商品进价 商品利润商品进价利润率利润率= 商品售价商品售价=商品进价（1+利润率） 例题1、某商店出售一种商品，有如下几种方案：（1）先提价10%，再按九折销售；（2）先降价10%，再提价10%；（3）先提价20%，再八折销售用这三种方案调价的结果是否一样？最后是否都恢复到原价？对于方案（1）和方案（2），你能得出什么结论？对于这种商品的出售价，若先降低10%后，想恢复原价，则应提高百分之几？解：为便于比较不妨认为该商品的原价为100元按照方案（1）调价后的价格为：元按照方案（2）调价后的价格为： 元按照方案（3）调价后的价格为： 元答：这三种方案调价的结果不都一样，最后都没有恢复原价。由的运算结果可知，对于方案（1）和方案（2）两种调价的结果是一样的，这说明如果提价和降价的幅度一样，那么不论是先提价后就降价，还是先降价后提价，最后调价的结果是一样的（从所列的式子上看，因为乘法满足交换率），但都没有恢复原价。如果结合方案（3）来看调整的幅度越大，最后的价格越低。设若想恢复原价，则应提高的百分比为根据：价格不变，可列方程解得：2、某商品的进价是3000元，标价是4500元（1）商店要求以利润不低于5%的售价打折出售，最低可以打几折出售此商品？（2）若市场销售情况不好，商店要求不赔本的打折出售，最低可以打几折出售此商品？（3）如果此商品造成大量库存，商店要求在赔本不超过5%的情况下打折出售，最低可以打几折出售此商品？解：（1）设最低可以打折出售此商品根据：利润率的计算公式可列方程： 解得：根据：利润的两种表示方法可列方程：类似的，（2）和（3）的方程为：（2）根据：利润率的计算公式可列方程：根据：利润的两种表示方法可列方程： 解得：.（3）根据：利润率的计算公式可列方程：根据：利润的两种表示方法可列方程： 解得：.3、现对某商品降价10%促销，为了使销售总金额不变，销售量要比按原价销售时增加分之几？解：设销售量要比按原价销售时增加的百分比为，同时不妨把商品原价和原销售量都记为1个单位根据：降价前后的销售总金额相等可列方程： 若令商品原价为和原销售量为，则根据：降价前后的销售总金额相等可列方程： 两边同除以，方程可化为解得：练习1、某天友谊商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，请问卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不赢不亏？解：设盈利的衣服的进价为元，亏损的衣服的进价为元则：；解得：；因为两件衣服的进价为：48+80=128元，而两件衣服的实际售价为60+60=120元。因此卖这两件衣服总的是亏了8元2、某商品的进价是250元，按标价的九折销售时，利润率为15.2%，这种商品每件的标价是多少？解：设这种商品每件的标价是元解得：3、某商品若按标价的八折销售可获利20%，若按原标价出售，则可获利百分之几？解：设该商品的进价为1，标价为因按标价的八折销售可获利20%，故：，解得：因此若按原标价出售，则可获利：4、一件商品提价25%后发现销路不是很好，欲恢复原价，则应降价百分之几？解：设商品的原价为1，应降价百分比为解得：5、商品进价为400元，标价为600元，商店要求以利润率不低于5%的售价打折出售，最低可以打几折出售此商品？解：设打折出售此商品利润率刚好为5%解得：6、五一期间某校组织七、八年级的同学到某景点郊游，该景点的门票全票票价为15元/人，若为5099人可以八折购票，100人以上则可六折购票已知参加郊游的七年级同学少于50人，八年级同学多于50人而少于100人若七、八年级分别购票，两个年级共计应付门票费1575元，若合在一起购买折扣票，总计应付门票费1080元问：（1）参加郊游的七、八年级同学的总人数是否超过100人？（2）参加郊游的七、八年级同学各为多少人？解：设七年级、八年级共有学生人情形一：若50100则有： 解得：此时设七年级有学生人，则八年级有学生人，解得：（不合题意）因此这种情形不可能出现。情形二：若100则有：解得：此时若设七年级有人，则八年级有人解得：从而可知：八年级有学生：12045=75人，符合题意综上所述：参加郊游的七、八年级同学的总人数是120人超过了100人，其中七年级有45人，八年级有75人。商品销售类的问题：关键是要理解销售中产生的概念和公式，相等关系往往蕴含在这些公式之中。七、方案选择例题1、某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经过粗加工后，每吨利润可达4500元，经过细加工后，每吨利润为6500元。当地一家农贸公司收获的这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果对蔬菜进行细加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节限制，公司必须在15天（含15天）内将这批蔬菜全部加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：（1）将蔬菜全部粗加工（2）尽可能多地对蔬菜进行细加工，没有来得及加工的蔬菜，在市场上直接出售（3）将一部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行细加工，并恰好15天完成。你认为选择哪种方案获利最多，为什么？解：（1）因为，所以将蔬菜全部粗加工，刚好15天完成。因此按照方案一，该公司可获利：元（2）因为依题意15天只能精加工蔬菜90吨，有50吨蔬菜必须在市场直接销售，因此按照方案二该公司可获利：元（3）设精加工吨蔬菜，则粗加工的蔬菜为吨根据两种加工恰好15天完成，可列方程：解方程得：，则所以按照方案三该公司可获利：元答：由此可知方案三获利最多，应该选择方案三。2、某学校组织学生春游，如果租用若干辆45座的客车，则有15人没有座位，如果租用同数量的60座客车，则多出一辆，其余车恰好坐满，已知租用45座的客车日租金为每辆车250元，60座的客车日租金为300元，问租用哪种客车更合算，租几辆车？解：设租用辆60座客车刚好可以坐满全部学生，则学生共有名根据：学生总数的两种表示方法可列方程：.系数化为1得：，从而可知学生总数为：名因此为保证全体同学都参加春游，又尽可能的少花钱，有以下租车方案：方案一：租用4辆60座客车，花费：元方案二：租用6辆45座客车，花费：元方案三：租用4辆45座客车和1辆60座客车，花费：元方案四：租用3辆45座客车和2辆60座客车，花费：元方案五：租用2辆45座客车和3辆60座客车，花费：元答：经过比较显然租用4辆60座客车更合算。3、下面是两种移动电话计费方式表方式一方式二月租费50元/月0本地通话费0.2元/分0.6元/分（1）若某人一个月内在本地通话100分，选择哪一种方式比较合算？（2）若某人一个月内在本地通话150分，选择哪一种方式比较合算？（3）你认为如何选择会更加合算些？解：（1）若某人一个月内在本地通话100分根据两种移动电话计费方式表按照方式一应缴话费：元按照方式二应缴话费：元（2）若某人一个月内在本地通话150分根据两种移动电话计费方式表按照方式一应缴话费：元按照方式二应缴话费：元（3）若设某人一个月内在本地通话分时两种方式交费一样则可列方程：不难解出：答：由（1）、（2）、（3）可知，若通话时间少于125分钟，选择方式二比较划算，若通话时间刚好是125分钟，则两种方式话费一样，若通话时间超过125分钟，则选择方式一更合算。4、为促进节约用水，根据国家的有关规定，某城市按一下规定收取每月水费：用水如果不超过6方，按每方1.2元收费；如果超过6方，超过部分按每方1.5元收费，已知某用户8月份的水费是平均每方1.32元，则8月份该用户应交水费多少元。分析：如果直接设水费为元，则不太好列方程，不如间接的设8月份该用户用水方好。解：设8月份该用户用水方根据：8月份该用户应交水费的两种表示方法可列方程： 解得：从而可知8月份该用户应交水费1.3210=13.2元.解法二：若直接设8月份该用户应交水费元根据：该用户8月份用水总量的两种表示方法可列方程： .显然方程比难解的多。练习：1、小红一家三口准备外出旅游，甲旅行社说：父亲购全票，其他人可享受七折优惠，乙旅行社说：全家按全价的八折收费，若两个旅行社的费用原价相同，问选哪一家较合算？解：设两个旅行社的费用原价为在甲旅行社花费：在乙旅行社花费：因此两家旅行社的花费一样2、某同学在A，B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包的单价也相同，随身听和书包的单价和为452元，且随身听的单价比书包的单价的4倍少8元。（1）求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元？；（2）某天，该同学上街，恰赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购满100元返购物券30元（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪家买更省钱？解：（1）设书包的单价为元，随身听的单价为元解得： 从而可知随身听的单价为：元（2）若在A超市购买，则花费：4520.8=361.6元。若在B超市购买，需先买随身听花费360元，用返回的购物券90元再加2元去购买书包，共花费362元。因此在A超市购买更省钱。3、公园门票价格规定如下表：购票张数150张51100张100张以上每张票的价格13元11元9元某校初一（1）、（2）两个班共104人去游公园，其中（1）班人数较少，不足50人经估算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元，问：（1）两班各有多少学生？（2）如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？（3）如果初一（1）班单独组织去游公园，作为组织者的你将如何购票才最省钱解：因为两个班共104人，而（1）班不足50人，则（2）班的人数必定超过50人，而不足100人，若设（1）班有人，则（2）班有人根据两个班都以班为单位购票一共应付1240元，可列方程：解得：，从而可知（2）班有学生：10448=56人（2）如果两班联合起来，作为一个团体购票，则每张票价9元一共应付：1049=936元则可节省：1240936=304元（3）如果初一（1）班单独组织去游公园， 若买48张票，则应花费：4813=624元若买51张票，共花费：5111=561元，可节省：624561=63元4、宜兴是有名的陶都，周末小明陪爸爸去陶瓷商城购买一些茶壶和茶杯，了解情况后发现甲、乙两家商店都在出售两种同样品牌的茶壶和茶杯，定价相同：茶壶每把定价30元，茶杯每只定价5元，且两家都有优惠：甲店买一送一大酬宾：（买一把茶壶赠送茶杯一只）；乙店全场9折优惠。小明爸爸需茶壶5把，茶杯若干只（不少于5只）。（1）设购买茶杯x只，若在甲店购买则需付 _元；若在乙店购买则需付 _ 元。（用含x的代数式表示并化简。）（2）当需购买15只茶杯时，请你去办这件事，你打算去哪家商店购买？为什么？（3）当购买茶杯多少只时，两种优惠办法付款一样？解（2）若在甲店购买需付款：元；若在乙店购买需付款：元在乙店购买可以便宜2.5元（3）设当购买茶杯只时两种优惠办法付款一样解得：八、银行利率问题例题1、小丽的爸爸前年存了年利率为2.25%的两年期定期储蓄，今年到期，扣除20%的利息税后，所得利息刚好为小丽买了一个价值36元的计算器，问小丽的爸爸前年存了多少元钱？分析：利息=本金利率存期（120%）解：设小丽的爸爸前年存了元钱根据：银行利息的计算公式可列方程： 解得：2、一辆10万元的汽车进行促销销售，可以分两期付款，首付后余下的款及利息（年利率为5%）要两年后付清，如果两次的付款数相同，问每次应付款多少元？