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含参数不等式恒成立问题的解法 1 一 方法引入 数形结合法 1 若f x ax b x 则 f x 0恒成立f x 0恒成立 2 ax2 bx c 0在R上恒成立的充要条件是 同理 ax2 bx c 0在R上恒成立的充要条件是 2 分离系数法 把所给不等式中的参数a分离出来放在不等式一边 其余项放在另一边构成函数f x 利用 f x 恒成立的条件是 f x 恒成立的条件是 的思想 去解不等式的方法 二 典型例题 例1 对于不等式 1 m x2 m 1 x 3 0 1 当 x 2 式恒成立 求实数m的取值范围 2 当 m 2 式恒成立 求实数x的取值范围 当1 m1 式在x 2 2 时恒成立的条件为 解 1 当1 m 0即m 1时 式恒成立 故m 1适合 1 m 2 2 m 1 2 3 0 当1 m 0时 即m 1 式在x 2 2 时恒成立的条件为 m 1 2 12 I m 0 解得 11 m 1 解得 1 m 综上可知 适合条件的m的范围是 11 数学解题绝招 5 则g m 0恒成立 解 2 设g m x2 x m x2 x 3 m 2 2 x 例1 对于不等式 1 m x2 m 1 x 3 0 1 当 x 2 式恒成立 求实数m的取值范围 2 当 m 2 式恒成立 求实数x的取值范围 O O O C 在同一坐标系下作它们的图象如右图 例3 若不等式x 2 a x y 对一切正数x y恒成立 则实数a的取值范围是 令 t 0 解 分离参数得 a 又令1 2t m m 1 则 f m a f x max 即a 当且仅当m 时等号成立 恒成立 则a t 0 恒成立 三 方法小结 2 对于f x g x 型问题 或利用数形结合思想转化为函数图象的关系处理 或利用分离参数法 将问题转化为 f x 或 f x 恒成立 再运用不等式知识或求函数最值的方法 使问题获解 1 数形结合法 即对于一次函数型问题 利用一次函数的图像特征求解 对于二次函数型问题 结合抛物线图像 转化成最值问题 分类讨论 3 已知f x xR 在区间 1 1 上是增函数 1 求实数a的值所组成的集合A 2 设关于x的方程f x 的两根为x1 x2 试问 是否存在实数m 使得不等式m2 tm 1 x1 x2 对任意aA及t 1 1 恒成立 若存在 求出m的取值范围 若不存在 请说明理由 2 若不等式ax2 2x 2 0对x 1 4
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