二次函数与幂函数

二次函数与幂函数1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0时，幂函数yxn是定义域上的增函数()(5)若函数f(x)(k21)x22x3在(，2)上单调递增，则k.()(6)已知f(x)x24x5，x0,3)，则f(x)maxf(0)5，f(x)minf(3)2.()1设b0，二次函数yax2bxa21的图象为下列之一，则a的值为()A. B.C1 D1答案D解析因为b0，故对称轴不可能为y轴，由给出的图可知对称轴在y轴右侧，故a0，所以二次函数的图象为第三个图，图象过原点，故a210，a1，又a0，所以a1，故选D.2已知函数yx22x3在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为_答案1,2解析yx22x3的对称轴为x1.当m1时，yf(x)在0，m上为减函数ymaxf(0)3，yminf(m)m22m32.m1与m2时，ymaxf(m)m22m33，m0或m2，与m2矛盾，舍去综上所述，1m2.3若幂函数y(m23m3)x的图象不经过原点，则实数m的值为_答案1或2解析由，解得m1或2.经检验m1或2都适合4(2014江苏)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_答案(，0)解析作出二次函数f(x)的草图，对于任意xm，m1，都有f(x)0，则有即解得mxk在区间3，1上恒成立，试求k的范围解(1)由题意得f(1)ab10，a0，且1，a1，b2.f(x)x22x1，单调减区间为(，1，单调增区间为1，)(2)f(x)xk在区间3，1上恒成立，转化为x2x1k在区间3，1上恒成立设g(x)x2x1，x3，1，则g(x)在3，1上递减g(x)ming(1)1.k(m2m1) ，则实数m的取值范围是()A. B.C(1,2) D.答案(1)B(2)D解析(1)由于f(x)为幂函数，所以n22n21，解得n1或n3，经检验只有n1适合题意，故选B.(2)因为函数yx的定义域为0，)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于解2m10，得m；解m2m10，得m或m.解2m1m2m1，得1m2，综上所述，m0，若在(0，)上单调递减，则0.(1)已知幂函数f(x)(m2m1)x5m3在(0，)上是增函数，则m_.(2)若(a1)(32a)，则实数a的取值范围是_答案(1)1(2)1，)解析(1)函数f(x)(m2m1)x5m3是幂函数，m2m11，解得m2或m1.当m2时，5m313，函数yx13在(0，)上是减函数；当m1时，5m32，函数yx2在(0，)上是增函数m1.(2)易知函数yx的定义域为0，)，在定义域内为增函数，所以解之得1a0时，f(x)ax22x图象的开口方向向上，且对称轴为x.3分当1，即a1时，f(x)ax22x图象的对称轴在0,1内，f(x)在0，上递减，在，1上递增f(x)minf().6分当1，即0a1时，f(x)ax22x图象的对称轴在0,1的右侧，f(x)在0,1上递减f(x)minf(1)a2.9分(3)当a0时，f(x)ax22x的图象的开口方向向下，且对称轴x0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；0，则一次函数yaxb为增函数，二次函数yax2bxc的开口向上，故可排除A；若a0，b0，从而0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B，因此选C.3幂函数yx1，yxm与yxn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为()A1m0n1 B1n0mC1m0n D1n0m1答案D解析可作直线x2，观察直线x2和各图象交点的纵坐标可知212n202m21，1n0m1.4已知f(x)，若0ab1，则下列各式中正确的是()Af(a)f(b)f()f()Bf()f()f(b)f(a)Cf(a)f(b)f()f()Df()f(a)f()f(b)答案C解析因为函数f(x)在(0，)上是增函数，又0ab，故选C.5若函数f(x)x2axa在区间0,2上的最大值为1，则实数a等于()A1 B1C2 D2答案B解析函数f(x)x2axa的图象为开口向上的抛物线，函数的最大值在区间的端点取得f(0)a，f(2)43a，或解得a1.6“a1”是“函数f(x)x24ax3在区间2，)上为增函数”的_条件答案充分不必要解析函数f(x)x24ax3在区间2，)上为增函数，则满足对称轴2a2，即a1，所以“a1”是“函数f(x)x24ax3在区间2，)上为增函数”的充分不必要条件7对于任意实数x，函数f(x)(5a)x26xa5恒为正值，则a的取值范围是_答案(4,4)解析由题意得解得4a4.8当时，幂函数yx的图象不可能经过第_象限答案二、四解析当1、1、3时，yx的图象经过第一、三象限；当时，yx的图象经过第一象限9设函数yx22x，x2，a，求函数的最小值g(a)解函数yx22x(x1)21.对称轴为直线x1，而x1不一定在区间2，a内，应进行讨论当2a2x的解集为(1,3)若方程f(x)6a0有两个相等的根，求f(x)的单调区间解f(x)2x0的解集为(1,3)，设f(x)2xa(x1)(x3)，且a0，f(x)a(x1)(x3)2xax2(24a)x3a.由方程f(x)6a0得ax2(24a)x9a0.方程有两个相等的根，(24a)24a9a0，解得a1或a.由于a0，舍去a1.将a代入式得f(x)x2x(x3)2，函数f(x)的单调增区间是(，3，单调减区间是3，)B组专项能力提升(时间：20分钟)11设二次函数f(x)ax22axc在区间0,1上单调递减，且f(m)f(0)，则实数m的取值范围是()A(，0 B2，)C(，02，) D0,2答案D解析二次函数f(x)ax22axc在区间0,1上单调递减，则a0，f(x)2a(x1)0，即函数的图象开口向上，又因为对称轴是直线x1.所以f(0)f(2)，则当f(m)f(0)时，有0m2.12设函数f(x)ax2bxc(a，b，cR)，若ac，则函数f(x)的图象不可能是()答案D解析由A，B，C，D四个选项知，图象与x轴均有交点，记两个交点的横坐标分别为x1，x2，若只有一个交点，则x1x2.因为ac，所以x1x21，比较四个选项，可知选项D的x11，x20，解得1n3.因为n为非负偶数，所以n0或2.14对于实数a和b，定义运算“*”：a*b设f(x)(2x1)*(x1)，且关于x的方程f(x)m(mR)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则m的取值范围是_答案(0，)解析由题意得f(x)(2x1)*(x1)即f(x)如图所示，关于x的方程f(x)m恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，即函数f(x)的图象与直线ym有三个不同的交点，则0m0，bR，cR)(1)若函数f(x)的最小值是f(1)0，且c1，F(x)求F(2)F(2)的值；(2)若a1，c0，且|f(x)|1在区间(0,1上恒成立，