第1章 矩阵论.doc

矩阵论前言为何要学矩阵论：矩阵论是数学的一个分支，是学习数学和其它学科（如数值分析、最优化理论、概率统计、控制论、信息科学）的基础，也是科学和工程计算的有力工具。如求解线性方程组的解AXb在A1存在的情况下，解为XA1b，有两个问题：怎么知道A1存在不存在；如果存在，怎么求A1。在A1不存在的情况下，如何求误差范数为最小的最小二乘解。这也涉及到矩阵范数定义，最小二乘解的求解方法。再如，已知矩阵A，如何求A100。或许有人会说。简单，进行矩阵连乘不就行了。但是，计算量太大，如何用一个更好的方法来求呢？如何求，,第一章线性空间与线性变换1.1 线性空间1.1.1 线性空间的概念及定义数域：设F是包含0和1在内的数集，若F对于数的加、减、乘、除都封闭，即F中的任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍在F中，则称F是一个数域。由全体实数构成的集合为实数域（R）,由全体复数构成的集合为复数域（C）。不存在所谓的整数域。我们用F表示数域（实数域或复数域）。线性空间：设V是非空集合，F是数域，在V中定义了两种代数运算。加法：就是给定了一个法则“”，对于V中的任意两个元素和，在V中都有惟一的元素与之对应称为与的和，记为加法运算满足以下4条规则：（1）（交换律）（2）（结合律）（3）在V中存在零元素“0”，对V中的的任一元素，即，都有；（4）对V中的每一元素，都存在元素，使，称为的负元素，记为。数乘：就是给定一个法则，对V中的任一元素和数域F中的任一数，在V中都有惟一的元素与它们对应称为与的乘积，记为。数乘运算满足以下4条规则：（5）（6）（7）（8）对加法、数乘运算满足（1）（8）条规则的非空集合V，称为定义在数域F上的线性（向量）空间。例1 设，则由确定的维向量的全体组成的集合构成F上的线性空间，称为A的列空间或A的值域，记为R(A)。例2 设R是实数域，R是正实数全体组成的集合。在R中元素加法的定义和R中的数与R中元素间的数乘的定义为其中，试证明R按上面定义的加法和数乘运算构成R上的线性空间。证：首先，由于对任意，有即按照所定义的加法和数乘运算，对R是封闭的。其次，先找出零元素和负元素，然后进行验证对加法和数乘运算满足8条运算规则：，任取，则（1）（2）（3）（1为R的零元素）（4） （任意元素的负元素为其倒数）（5）（6）（7）（8）R按照所定义的两种运算构成数域R上的线性空间。另外，在课本上还给出了一些其它的线性空间。如：向量空间：记为（或）；复向量空间；矩阵空间，记为（或）；多项式空间（）； ？方程组的解空间或矩阵A的核空间或零空间，记为；1.1.2 基、维数与坐标 本节着重介绍几个基本概念（1） 线性组合与线性表出设是线性空间中个向量，且是数域F中任意个数，则向量为向量的一个线性组合。若向量有则称可以由线性表出，也称是的线性组合。（2） 线性相关与线性无关在线性空间V中对于向量组，若存在不全为0的个数，使得成立，则称向量组线性相关。若仅当全为0时才使得则称向量组线性无关。（3） 线性表出的惟一性设可以由线性表出，即则线性表出系数惟一确定的充分必要条件是向量组线性无关。（4） 极大线性无关组在线性空间V中，如果向量组A的一部分B满足：a、 线性无关；b、 向量组A中的每一向量都可以由部分组B线性表出；称部分组B是向量组A的一个极大线性无关组。（5） 向量组的秩定义：极大线性无关组中所含向量的个数称为向量组的秩。（线性空间V中一个向量组的极大无关组不是惟一的，但是任意一个极大无关组所含向量的个数是相等的。）定义：若为数域F上的线性空间V的n个线性无关的向量，且V中任意向量，都可以由线性表出，即则称为V中的一个基，数组为在基的坐标。基所含基向量的个数称为V的维数，记为。举两维及三维空间。例1 考虑下列三个向量间的相关性解：充分性：，则成立必要性：设，即得方程组解方程组得当且仅当，例2 求分别在基和基下的坐标。解：显然，在基下的坐标为将在处按Taylor公式展开后，有在基下的坐标为1.1.3 基变换和坐标变换定义：设与是n维线性空间的两个基。基向量用基向量表示的表达式为写成矩阵的形式为其中称P为由基到基的过渡矩阵。表达式为由基到基的变换公式。易证过渡矩阵P是可逆的。定理1：设n维线性空间V中向量在两个基和的坐标为和，则这两个坐标之间变换式为或上式为坐标变换公式。证明：因为；有又因则因为是基，所以有或例：已知矩阵向量空间的两个基为求到下的过渡矩阵。解：采取中介基法。引进一简单的基。设由到的过渡矩阵为其中那么到的过渡矩阵为其中于是有所以由到的过渡矩阵为1.2 线性子空间定义: 设U数域F上的n维线性空间V的一个非空子集，若对U中的任意元素以及F中的任意数k, 满足：（1）（2）则也构成数域F上的一个线性空间，称U是线性空间V的一个线性子空间。任何一个子空间的维数不会大于原空间的维数。即线性空间V和由零向量构成的非空子集（称为V的零子空间）是线性空间V的两个平凡子空间，其它子空间称为非平凡子空间。子空间的生成方法：设V是数域F上的线性空间，是V中的个向量，是F中的任意一组数，这组向量的所有线性组合表示为容易证明U是V的一个子空间。这个子空间称为由向量生成的子空间，记为若线性无关，则 核空间（零空间）：设A是F上的矩阵，由齐次线性方程组所有解形成的线性空间称为矩阵A的核空间或零空间。表示为列空间（值空间或值域）：设A是F上的矩阵，由确定的所有维向量的全体组成的集合称为A的列空间（值空间或值域）。表示为称为A的秩， 称为A的零度。并且总成立。子空间的交与和：定理：若U1和U2是数域F上的线性空间V的两个子空间，则它们的交也是V的子空间，称为U1和U2的交空间。证明：U1和U2是V的子空间，由于子空间必含有零元，因此，零向量0同属于U1和U2，即，故为非空子集。任取，则且，故且，所以。再任取，。由于和且U1和U2都是子空间，所以且，因此，。于是是V的子空间。定理：若U1和U2是数域F上的线性空间V的两个子空间，则它们的和也是V的子空间，称为U1和U2的和空间。证明：由于且，故，是V的非空子集。对任意的，则，其中，。因为，所以对任意的，。由于，其中，那么，。故是V的子空间。定理：设与是V中的两组向量，由这两组向量生成的子空间分别为和，即则与的和为定理（维数公式）：设U1和U2是数域F上的线性空间V的两个子空间，则 直和定义：设U1和U2是数域F上的线性空间V的两个子空间，若，则称为直和。记作或者。互补定义：若数域F上的线性空间V可表示成两个子空间U1和U2直和，则称U1、U2为线性空间的一对补空间。例：已知，求（1）的基和维数（2）的基和维数解：易得是向量组的极大无关组，它是的基，故。 方法：判断与是否相关。若，即有得，即与线性无关判定、与是否线性相关。若，即有得，即、及线性无关判定、与是否线性相关。若，即有得或基础解系为，即、 与线性相关。因为，由维数公式得设，则可得一基础解系所以，的一个基为1.3 线性变换1.3.1 线性变换的概念及实例定义：设和是两个线性空间，若一个从到的变换具有以下性质：则称T为从V到W的一个线性变换。如平面的旋转变换1.3.2 线性变换的运算（1） 线性变换的相等设T1和T2是两个线性变换，对任意的向量，均有，则称T1与T2相等，记为。（2） 线性变换的和设T、T1和T2是三个线性变换，对任意的向量，均有，则称T为T1与T2的和，记为。（3） 线性变换的数乘设T、T1是两个线性变换，对任意的向量，均有，则T为T1与k的乘积，记为（4） 线性变换的乘积设T、T1和T2是三个线性变换，对任意的向量，均有，则称T为T1与T2的积，记为。（5） 线性变换的逆变换设T1是V的线性变换，若在V中存在线性变换T2，使对任意的向量，有则T2称为T1的逆变换，记为线性变换的和、数乘、积、逆变换仍是线性变换。1.3.3 线性变换的矩阵表示由于线性变换的概念比较抽象，为研究的方便，需建立线性变换与矩阵间的联系。定义：设T是n维线性变换空间V的一个线性变换，是V的一个基，同时用矩阵表示为其中称A为线性变换T在基下的矩阵。例：求的求导变换D，在基：下的矩阵解：因为所以定理：设A和B分别是线性变换T1与T2在基下的矩阵，则在这个基下有（1）的矩阵是AB（2）的矩阵是（3）的矩阵是AB（4）若可逆，则的矩阵是。定理：若线性变换T在基下的矩阵为A，向量及其像在基下的坐标分别为与，则有证：已知：及于是又因，已知及线性无关，所以 定理：设线性空间V中，线性变换T在基下和在基下的矩阵分别为A和B，由基到基的过渡矩阵为P，则。证：已知于是与比较，有例：已知中线性变换T在基下的矩阵为求：（1）T在基下的矩阵 （2）向量及在下的坐标解：由得基到基的过渡矩阵P为已知线性变换T在基下的矩阵为设线性变换T在基下的矩阵为A，由定理知因此，（2）设即解非齐次线性方程组，得也可这么做：在基下的坐标为1.3.4 线性变换的不变子空间定义：设T是线性空间V上的线性变换，W是V的子空间，如果，则W是T的不变子空间。下面定理是利用不变子空间来简化线性线性变换矩阵：定理：设T是n维线性空间V上的线性变换且V可分解为t个T的不变子空间的直和，即若在每一个不变子空间中取基其中，把这些基组合在一起，即就是V的一个基，则T在这个基下矩阵为准对角矩阵其中，在的基下的阶矩阵。反之，如果线性变换是准对角矩阵时，表明线性空间可分解成不变子空间的直和。1.4 欧氏空间与酉空间前面研究的线性空间中，向量的基本运算仅限于向量的加法及数与向量的乘法，没有向量的长度，两向量夹角等度量概念，现将这两个概念引入到线性空间中。1.4.1 欧氏空间的定义定义：设V是实数域上的线性空间，若对于V中的任意两个向量和，按某种规则，恒有一个实数与之对应，用记号表示，且满足（1） 交换律：；（2） 齐次性：；（3） 分配律：；（4） 正定性：，当且仅当时则称为向量和的内积。定义了内积的实线性空间称为欧氏空间。例：在实n维向量空间中，若对任意两个向量，规定易验证它满足内积的4个条件，因此，是欧氏空间。例:在实线性空间中，若对它的任意两个连续函数，规定易验证它满足内积的4个条件，因此，是欧氏空间。1.4.2 度量矩阵、向量的长度、两向量夹角设是n维线性空间V的一个基，、为V中任意两个向量，且则其中A为基的度量矩阵（Cram矩阵）当时，因此A为正定矩阵。定义：设为欧氏空间的任意向量，则非负实数称为向量的长度（或模，或范数），记为或，即例：n维欧氏空间中，向量的长度为在欧氏空间中，函数的长度为长度为1的为单位向量。若，则是的单位向量。向量的夹角：定义：设为欧氏空间V中的任意两个非零向量，称为向量的夹角。 向量的夹角在实际中有很多应用，如图形学判断正面与背面。定义：设为欧氏空间V中的任意两个向量，若两向量的内积为0，则称两向量正交，或互相垂直。1.4.3 标准正交基定义：设是欧氏空间中一个非零向量组，如果，则该向量组为正交向量组。由正交向量组组成的基为正交基。定义：设是欧氏空间V中的一个基，并且）则基是V的一个标准正交基。定理：（施密特Schmidt正交化方法）设是欧氏空间中的线性无关的向量组，令则是不含零向量的正交向量组。正交向量组的标准化例：将基化为R3中的一个标准正交基。例：在多项式空间中定义内积，求的一组标准正交基。解：为的一组基。取。令，所以取令取为的一组标准正交基。1.4.4 酉空间定义：设V是复数域上的线性空间，若对于V中的任意两个向量和，按某种规则，恒有一个复数与之对应，用