数学华东师大版七年级下册多边形的外交和与内角和

多边形的内角和与外角和 教学目的 1使学生了解多边形及多边形的内角、外角等概念。 2使学生通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会利用它们进行有关计算。 重点、难点 1重点：多边形的内角和与外角和定理。 2难点：多边形的内角和，外角和定理的推导。 教学过程 一、复习提问 1什么叫三角形? 2三角形的内角和是多少? 3什么叫三角形的外角?什么叫外角和?三角形的外角和是多少? 二、新授 1多边形的概念， 三角形有三个内角、三条边，我们也可以把三角形称为三边形(但习惯称三角形)。我们知道：不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结组成的平面图形叫三角形。 你能说出什么叫四边形、五边形吗?如图(1)它是由不在同一直线上的4条线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为四边形ABCD。(按顺时针或逆时针方向书写) A D D C B FA C E C A B E B (1) (2) D (3) 图(2)是由不在同一直线上的5条线段首尾顾次连结组成的平面图形，记为五边形ABCDE。 一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为n边形，又称多边形。与三角形类似如图，A、D、C、ABC是四边形ABCD的四个内角，延长 AB、CB得四边形ABCD的两个外角CBE和ABF，这两个外角是对顶角。一个n边形有n个内角，有2n个外角。如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，则称为正多边形，如正三角形、正四边形(正方形)、正五边形等等。连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，如图1，线段AC是四边形 ABCD的对角线，如图2，线段AD、AC是四边形ABCDE的对角线，如图3中线段AC、AD、AE是六边形ABCDEF的对角线。 问：(1)四边形有几条对角线?(两条AC、BD) (2)五边形有几条对角线? 以A为端点的对角线有两条AC、AD，同样以月为端点的对角线也有2条，以C为端点也有2条，但AC与CA是同一条线段，以D为端点的两条DA、DB与AD、BD都分别表示同一条线段。所以只有5条。 (3)六边形有几条对角线?n边形呢? 六边形有9条对角线。 从以上分析可知从n边形的一个顶点引对角线，可以引(n-3)条， (除本身这个点以及和这点相邻的两点外)，那么n个顶点，就有n(n- 3)条，但其中每一条都重复计算一次，如AB与BA，所以n边形一共有条对角线。 大家可以加以验证：当n=3时，没有对角线，当n=4时，有2条；当n=5时，有5条：当n=6时，有9条 2多边形的内角和公式。 三角形是边数最少的多边形，它的内角和等于180，那么一般n边形是否也有内角和公式呢?让我们先从四边形，正边形，六边形开始。 从上面对角线的研究可知，一条对角线把四边形分成2个三角形，这两个三角形的内角和的和就是四边形的内角和，五边形的内角和就是图中3个三角表内角和的和。 让学生填写教科书表9.2.1,由此你可以得到“n”边形的内角和公式吗?n边形的内角和(n-2)180知道一个多边形的内角和，根据公式也可以求边数n。例1一个多边形的内角和等于2340，求它的边数。问题：一个正多边形的一个内角为150，你知道它是几边形?分析：正多边形的每个内角都相等。多边形的内角和等于(n-2)180，还可以用以下的划分来说明，即在n边形内任取一点P，连结点P与多边形的每个顶点，可得几个三角形?这几个三角形的各内角与这个多边的各内角之间有什么关系?请你试一试。 对有困难的学生教师可以加以引导。 如图(教科书图9.2.5)每一个三角形都有一条边就是多边形的边，因此n边形就可划分成n个三角形，这n个三角形的内角和减去以 P为顶点的周角所得的差就是n边形的内角和。因此，n边形的内角和为： n180-360n180-2180=(n-2)180 问：还有其他方法吗?让学生自主探索，对不同方法给予鼓励。 3多边形的外角和。 什么叫多边形的外角和。 与三角形的外角和一样，与多边形的每个内角相邻的外角有两个，这两个角是对顶角，从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和，如教科书图9.2.6，1+2+3+4就是四边形的外角和。 多边形的外角和是否也可以用公式表示呢?下面我们也来探讨。 因为n边形的一个内角与它的相邻的外角互为补角，所以可先求出多边形的内角与外角的总和，再减去内角和，就可得到外角和。 让学生填写填教科写表9.2.2 n边形的内角与外角的总和为n180 n边形的内角和为(n-2)180 那么n边形的外角和为n180(n2)180=n180-n180+360=360 这就是说多边形的外角和与边数无关，都等于360。 例2一个正多边形的一个内角比相邻外角大36，求这个正多边形的边数。 分析：正多边形的各个内角都相等，那么各个外角也都相等，而多边形的外角和是360，因此只要求出每个外角度数，就可知是几边形了。 点拨；多边形的外角和等于360，与边数无关，故常把多边形内角的问题转化为外角和来处理。 三、巩固练习 1教科书第70页练习12。 第2题引导学生从外角考虑，多边形的内角是锐角，那么和这个内角相邻的外角是什么样的角?钝角 多边形的外角和是360，那么在这些外角中钝角的个数最多可以是几个?3个可以吗?4个呢?让学生动手算一算，由他们自己得出结论 从而得到最多可以有3个外角是钝角，即多边形的内角中最多可以有3个是锐角。 四、小结 本节课我们通过把多边形划分成若干个三角形，用三角形内角和去求多边形