初中数学方程分类1.doc

一、 列方程解应用题l 行程类问题路程=时间速度 (s=tv)时间=路程速度 （t= ） 速度=路程时间(v= ) 例1 甲、乙两列火车每列各长180米，如果两列车相对行驶，从车头相遇到车尾离开共需12秒钟；如果两列车同向行驶，那么从甲的车头遇到乙的车尾，直到甲的车尾超过乙的车头共需60秒钟，假定列车的速度不变，试求甲、乙两列车的速度？解：设乙的速度为每秒x米，则甲的速度为每秒（-x）米，由题意得：60 (-x) -x=1802解方程，得：x=12 -12=18答：甲、乙两列车的速度分别为每秒18米、每秒12米。分析：当两列火车相对行驶时，属于相遇问题，此时的相等关系为：甲12秒行驶的路程 +乙12秒行驶的路程 = 两列火车的长，当两列火车同向行驶是，属于追及问题，此时相等关系为：甲60秒行驶的路程 乙60秒行驶的路程 = 两列火车长，由于以上两个相等关系列出方程。 追击类问题 例 甲、乙两人从相距18千米的两地同时出发，相向而行，1 小时后相于遇；如果甲比先走小时，那么乙出发1 小时后两人相遇，求两人的速度各是多少？分析：V甲=x 千米/小时 V乙=y千米/小时T甲=1 小时 相遇点 T乙=1 小时V甲=x 千米/小时 V甲=x 千米/小时 相遇点 V乙=y千米/小时T甲=小时T甲=1 小时T乙=1 小时解：设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时，根据题意，列方程组，得： x1 + y1 =18x+ x1 + y1 =18 从而解得：x=4 y=5例2 某校师生到距离学校20千米的公路旁植树，甲班师生骑自行车先走45分钟后，乙班师生乘汽车出发，结果两班师生同时到达。已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，求两种车的速度各是多少？分析： V甲=x千米/小时 T甲=小时 V乙=2.5x千米/小时甲 乙V乙=2.5x千米/小时解：设自行车的速度为x千米/小时，则汽车的速度为2.5x千米/小时，根据题意，列方程得：=(20-x)/x例3 从甲站到乙站有300千米，一列快车和一列慢车同时从甲站开出，1小时后，快车在慢车前12千米；快车到达乙站比慢车早50分钟。求快车和慢车速度各是多少？分析： 快车 V快车=（x+12）千米/小时 甲 乙 慢车 V慢车=x千米/小时解：根据快车比慢车早50/60小时到达乙站，列方程得：300/（x+12）=300/x-50/60例4 A、B两地相距300千米，某车有A 地出发，计划用6小时到达B地。行驶80千米后加快速度，每小时比原来多行驶15千米，正好按时到达。求该车加速后的速度分析： s1=80千米V原=x千米/小时 s2=（300-80） V加=（x+15）千米/小时 总300千米解：根据题意，列方程得80/x+(300-80)/(x+15)=6 相遇问题例1 东、西两车站相距600千米，甲车从西站，乙车从东站同时同速相向而行。相遇后，甲车以原速、乙车以每小时比原来快10千米的速度继续行驶。结果，当乙车到达西站1小时后，甲车也到达东站。求甲、乙两车相遇后的速度？分析：V乙=（x+10）千米/小时s乙=300千米 V甲=x千米 s甲=300千米 相遇点 解：设甲、乙相遇后甲车的速度为x千米/小时，则乙车的速度为（x+10）千米/小时，根据题意，列方程得：300/x-300/(x+10)=1 顺逆流行程问题顺流速度=静水船速+水流速度逆流速度=静水船速-水流速度顺水行程=顺水速度时间逆水行程=逆水速度时间船顺水航行路程=船逆水航行路程例题1 已知一汽船在顺流中航行8千米和在逆流中航行2千米共用去的时间，正好等于它在静水中航行9千米用去的时间，并且水流速度是2千米/小时，求汽船在静水中的速度？解：设汽船在静水中速度为x千米/小时，则顺水速度为（ x+2）千米/小时、逆水速度为(x-2)千米/小时，根据题意得：+=解这个方程得；x1,x2=6经过检验得，x=6是原方程的根答：汽船 在静水中的速度是6千米/小时。例题2 一轮船在河中航行，顺流行驶18千米后再逆流行驶12千米，共用了3小时；已知船航行24千米，顺水用的时间比逆水所花时间少1小时，求轮船的速度和水流的速度？解：设水流速度为x千米/小时，轮船在静水中的速度为y千米/小时，根据题意得：+=3=-1练习1、A 、B两地相距36千米，两人步行，甲从A到B，乙从B到A。两人同时出发，相向而行，4小时后相遇；若行6小时，此时甲剩下的路程是乙所余下的路程的2倍， 求两人的速度？2、沙湖镇离县城50千米，甲骑自行车从该镇出发到县城，出发后1小时半，乙骑摩托车也从该镇出发到县城，结果乙比甲先到1小时，已知乙的速度是甲的2.5倍，求甲、乙两人的速度。3、一船在甲、乙两地间航行，顺流需要4小时，逆流需要5小时，已知水流速度为2千米/小时，求甲、乙两地距离？l 工程类问题工作量=工作效率工作时间工作时间=工作量工作效率工作效率=工作量工作时间一般把工作总量看为1，这时 工作效率=1/工作时间 工作时间=1/工作效率例题1 甲乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等，已知甲乙两人每天共加工35个玩具。求甲乙两人每天各加工多少个玩具？解法一、设甲每天加工x个玩具；乙每天加工y个玩具，根据题意，得：x+y=35 =解得： x=15y=20答：甲每天加工15个玩具；乙每天加工20个玩具。解法二、设甲每天加工x个玩具；那么乙每天加工（35 - x）个玩具，根据题意得:=解得：x=15 经检验：x=15是方程的根，35-x=20答：甲乙两人每天各加工玩具分别是15个、20个。例题2 某车间加工300个零件，在加工完80个后，改进了操作方法，每天能多加工15个，一共用6天完成了任务。求改进操作方法后每天加工的零件数？解：改进操作方法前每天加工的零件为x个，则改进操作方法后每天加工的零件为（x+15）个，根据题意得：+=6解这个方程得：x1=40 x2=-5(舍去)改进操作方法后每天加工的零件为x+15=55（个）答：改进操作方法后每天加工的零件为55个。例题3 甲、乙两队学生绿化校园。如果两队合作，6天完成；如果单独工作，甲队比乙队少用5天。两队单独工作各需要多少天完成？解法一 设甲队单独工作需要x天完成任务，乙队单独工作需要y天完成任务，根据题意得： （+）6=1 x-y=5 变形，得 y=5+x 代入并化简得：x2-7x-30=0 解这个方程得：x1=10 x2=-3(舍去)把x=10代入，得y=15检验知 x=10 y=15是原方程的解，答：甲、乙两队单独工作各需要10天、15天完成任务。解法二 设甲队单独工作需要x天完成，乙队单独工作需要y天完成任务，根据题意得：+=解这个方程得：x1=10 x2=-3(舍去)则 x+5=15答：甲队单独工作需要10天完成，乙队单独工作需要15天完成任务。例题4 某农场开挖一条长700米的水渠，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务。原计划每天挖多少米？解：设原计划每天挖x米，则实际每天挖（x+20）米，根据题意得：=+4解这个方程，得：x1=50 x2=-70（舍去）答：原计划每天挖50米。例题5 一个水 池 有 甲、乙两个进水管，单独 开放 甲 管 注满水池比单独开放 乙 管少 用 10小时，如果单独开放甲管10小时后加入乙管，需要6小时可把水池注满，问单独开放一个水管，各需要多少小时才能把水池注满？解：设单独开放甲管需要x小时才能把水池注满，则单独开放乙管需要（x+10）小时，单独开放甲水管每小时可注满水池的,单独开放乙水管每小时可注满水池的，根据题意得：+(+)6=1解这个方程得：x1=20 x2=-8（舍去）检验知，x=20是原方程的根，所以x+10=30答：单独开放甲管需要20小时才能把水池注满，则单独开放乙管需要30小时。例题6 一个水 池 有 甲、乙两个进水管，甲管注满水池比乙管快4小时，如果单独开放甲管5小时，再单独开放乙管6小时，就可以注满水池的一半，求单独开放一个水管，注满水池各需要多少时间？解：设甲管注满水池需要x小时，则乙管注满水池为（x+4）小时，单独开放甲管每小时可注满水池的，单独开放乙管每小时可注满水池的,根据题意得：+=解这个方程得：x1=20 x2=-2（舍去）则，x+4=24答：单独开放甲管注满水池需要20小时，则单独开放乙管注满水池为24小时。例题7 制造一批零件，按计划18天可以完成它的, 如果工作4天后，工作效率提高了, 那么完成这批零件的一半，共需要几天？解：设提高效率后还需要x天完成这批零件的一半，则4天前的工作效率为 4天完成的工作量为 =4天后提高的工作效率为 + =(1+ )4天后完成的工作量为 （1+）x根据题意得：+（1+）x=解得：x=19(天)制造这批零件的一半共需要19+4=23(天)答：共需要23天。Error! Reference source not found.练习1、 某服装厂准备加工300套演出服装，在加工60套后，采用了新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用9天完成任务。求该厂原来每天加工多少套演出服装？2、 一件工作，甲单独做要20小时完成，乙单独做要12小时完成，现在甲单独做了4小时，然后甲和乙共同完成余下的工作，问剩下的部分需要多少小时完成？3、 甲、乙两个建筑队完成某项工程，若两队同时开工，12天就可以完成工程；乙队单独完成该工程比甲队单独完成该工程多用10天。问单独完成此项工程，乙队需要多少天？l 数字类问题数字类分为：一般数字问题连续数字类问题如果三个连续奇数，设为2n-1 2n 2n+1为三个连续奇数如果三个连续偶数，设为 2n-2 2n 2n+2 为三个连续偶数如果三个连续整数，设为 n-1 n n+1 为三个连续整数数字排列问题一般数字间的问题例题1 有两个数，第一个数比第二个数的3倍小2，第二个数比第一个数的5倍还大7，求这两个数。解：设第二个数为x，则第一个数为3x-2。根据题意得：x=5(3x-2)+7解这个方程得：x=第一个数为：3x-2=-1Error! Reference source not found.答：第一个数是 第二个数是 -1.解法二 设第一个数为x，第二个数为y，根据题意得：x=3y-2y=5x+7解得：x= y=-1答：第一个数是 第二个数是 -1.例题2 三个数的平均数是8.6，其中一个数是9.1，第二个数比第三个数小0.1。求第三个数。解法一 设第三个数是x，则第二个数是x-0.1，根据三个数的平均数是8.6，则有方程：=8.6解这个方程得：x=8.4答：第三个数是8.4.解法二 设第二个数为x，第三个数为y，根据题意得： =8.6-x+y=0.1解得：有y=8.4答：第三个数是8.4.Error! No bookmark name given.连续问题例题一 三个连续整数的和为48，求这三个连续整数 解：设三个整数分别为n-1,n,n+1,根据题意得 n-1+n+n+1=48 解得：n=16答：这三个连续整数分别为：15，16，17。例题二 三个连续偶数的和比其中最大的一个数大10，求这三个连续偶数的和等于多少？解：设三个连续偶数分别为2n-2,2n,2n+2，根据题意得（2n-2）+2n+(2n+2)-(2n+2)=10解这个方程得n=3所以：2n-2=4 2n=6 2n+2=8答：这三个连续偶数分别为：4，6，8。数字排列问题例题一 一个两为数，十位上的数与个位上的数的和是11，如果把十位上的数与个位上的数对调，那么得到的数就比原数大63，求原来的两个数？解法一 设原来的两位数的十位数字为x,个位数字为y，根据题意得：x+y=1110y+x-(10x+y)=63解这个方程得： x=2 y=9答：原来的两位数字为29。解法二 例题二 一个两位数，其数字之和为7，若每个数字都加上2则所得的数比原数的2倍少3，求原来的两位数？解法一 设原来的两位数的十位数字为x,个位数字为y，根据题意得：x+y=710(x+2)+(y+2)=2(10x+y)-3解得： x=2 y=5答：原来的两位数为：25。练习1、 一个三位数的百位数字比十位数字小1，个位数字比十位数字小2，若把数字大顺序颠倒所成的数加原数，则其和为585，求这三个数。2、 一个两位数，他的两位数字之和是8，把这两个数字交换位置，所得的数与原来的数的积是1855，求原来的这个两位数。3、 三个连续奇数的和是51，他们的积是多少。4、 三个连续偶数的和比其中最大的一个数大30，求这三个连续偶数。l 商品销售类问题商品进价：商店购进商品时候的价格，也就是指商品成本。商品标价：商店销售商品时候标出的价格。商品销售价：商店销售商品时候的销售价格，也就是成交价。商品利润：商店在销售商品时候所赚的钱，指商品盈利。商品利润率：商品利润占商品进价的百分率。商品销售折扣：商品价格占商品标价的百分率。销售金额=销售数量单价 它们之间的关系有：商品利润=商品售价-商品进价商品售价=商品标价商品销售折扣商品利润率=商品利润商品进价例1 小王在超市买了单价是2.8元的某品牌鲜牛奶若干袋，过了一段时间再去超市，发现这种鲜牛奶正进行让利销售，每袋让利0.3元，于是他比上次多买了2袋，却只比上次多花了2元钱，问上次买了多少袋这样的鲜奶？解：设上次买了x袋这样的鲜奶，由题意得：2.8x+2=2.5（x+2）解得：x=10答：上次买了10袋这样的鲜奶。分析：上次花的钱数+2元=这次所花的钱数例题一 某种商品的进价是400元，标价是600元，打折销售时的利润率为5%，此商品是按 7 折销售的。解析：此商品销售折扣为x 则商品利润=600x400,则有=5% 解此方程得：x=70%例题二 一件商品销售价为6元，利润是成本的20%，如果销售价提高到6.5元，那么利润是成本的 30 %。解：商品的销售价=商品的进价+利润，利润=成本利润率设一件商品的进价为x元，则有6=x+x20% 可解得x=5。利润=销售价进价=6.55=1.5所以这件商品的利润是成本的1.55=0.3=30%例题三 某商品标价1200元，打8折销售后仍盈利100元，则该商品进价是 。解：商品利润=商品售价商品进价售价按商品标价的8折销售，即120080%，则商品进价为120080%100，所以商品进价为860元。例题四 某商店把一种商品按标价的九折出售（即优惠10%），获得利润是进价的20%，该商品标价为每件28元， 该商品的进价为每件 元。解：因为商品进价=售价利润设每件商品进价为x元，则，商品售价=商品标价商品销售折扣=282810%而商品利润=商品进价利润率=x20%列方程得：x=(282810%)x20% 解得 x=21例题五 某商场一种商品标价为33元，按标价的9折出售，仍获利10%，那么该商品的进价为（ ）A、30元 B、 29.7元 C 、27元 D、26.4元解析：因为商品售价=商品标价商品销售折扣 设该商品进价为x元，则商品的售价=333310% 而商品利润=商品进价利润率=x10% 列方程得：333310%=x+ x10%解得：x=27 所以应选C例题六 某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，每件都以135元出售，若按成本计算，其中一件盈利25%，另一件亏本25%，则在这次买卖中他（ ）A、不赚不赔 B、赚9元 C、赔18元 D、赚18元解析：设两件上衣的进价分别为x元，y元，则对 第一件上衣有x(1+25%)=135,x=108；他赚了：135108=27（元）。 对第二件上衣有y(125%)=135,y=180；他赔了：180135=45（元）。 在这次买卖中，他赔了4527=18（元） 所以，选C例题七 某商场的电视机按原价九折销售（即降价10%），要使销售收入不变，那么销售量应增加（ ） A、 B、 C、 D、解析：设原来每台电视机单价为a元，销售了x台，则降价后每台价为a(110%)元，要是收入不变，销售量应增加y，于是有 a(110%)x(1+y)=ax,y= 所以选C例题八 某商品提价25%后又要恢复原价，则应降价（ ） A、40% B、25% C、20% D、15%解析：设商品的原价为a元，应降价x元，根据题意得： a(1+25%)(1-x)=a,a=20% 所以选C例题九 某商品价格为a元，降价10%后，又降价10%，销售额猛增，商店决定再提价20%，提价后这种商品的价格为（ ）元。A、a B、1.8a C、0.972a D、0.96a解析：根据题意得这件商品的价格为 a(1-10%)2(1+20%)=0.972a 所以选C例题十 某商场销售一批电视机，一月份每台毛利润是售出价的20%（毛利润=售出价-买入价），二月份该商场将每台售出价调低10%（买入价不变），结果销售台数不一月份增加120%，那么二月份的毛利润总额与一月份的毛利润总额相比（ ）解析：若设一月份每台售出价为a，一月份共售出x台电视机，则每台电视机的买入价为（1-20%）a，二月份共售出（1+20%）x台，因而一、二月份的毛利润总额分别为：ax20%及(1-10%)a(1+120%)x-(1-20%)a(1+120%)x=10%220%ax，故二月份的毛利润总额与一月份的毛利润总额相比增加的百分比为=10% 所以选A例题十一 某商店经销一种商品，由于进货价降低了5%，使得利润率由原来的m%提高到(m+6)%，（出售价=进价（1+利润率），则m的值（ ）A、10 B、12 C、14 D、17解析：设这种商品进货价为x元，出售价为y元，根据题意得 y=x(1+m%) y=x(1-5%)1+(m+6)% 消去