分式专题复习及同步训练.doc

努力打造国内最开放的资源下载基地和最专业的远程教育平台！第21章 分式专题复习及同步训练 主讲教师：谢 潮 （苏州立达中学）专题复习（2）一、教学内容 分式的有关概念；分式的基本性质二、重点、难点剖析 1. 什么是分式？如何正确理解分式？分式的值何时为零？分式的基本性质 形如的式子叫分式，其中A和B均为整式，B中含有字母例如：，等都是分式 2. 理解分式这个概念，应注意以下两点：(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线可以理解为除号，同时分数线还含有括号的作用，例如表示（ab）(cd).(2)分式的分子和分母都是整式，但是分子可以含字母也可以不含字母，而分母中必须含有字母下列式子中，它们的分母中都不含有字母，所以都不是分式，而是整式整式和分式统称为有理式(3)在分式中分母的值不等于零时，分式才有意义分式与分数的区别在于分式的分母中含有字母.分式中作为分母的代数式的值是随着式中字母取值的不同而变化的，字母所取的值有可能使分母的值为零，当分母的值为零时分式就没有意义了这与分数不同，分数的分母是一个具体的数，这个数是否为零，一目了然.而分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含的字母不能取哪些值，以避免分母的代数式的值为零例如 对分式，要使这个分式有意义，就必须满足x22x30，即 (x1)(x3)0， x1且x3,当x1且x3时,分式才有意义分式是否有意义，与分子无关只要分母不等于零，分式就有意义 3. 要使分式的值为零，必须在分式有意义的前提下，才能谈到它的值是多少这就是说“分式的值为零”包含两层意思：一是分式有意义，二是分子的值为零，不要误解为“只要分子的值为零，分式的值就是零” 4. 分式的基本性质分数的基本性质是：分数的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变同样的，分式也有类似性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变用数学式子表示为： ，其中M是不等于零的整式分式的基本性质是分式恒等变形的依据，今后我们将要学习的分式的约分、通分、化简和解分式方程都要用到这一性质，因此，正确理解分式的基本性质，并能熟练的运用它，是本讲内容的关键理解分式的基本性质时，必须注意：(1)分式的基本性质中的A、B、M表示的都是整式 例如：，随着知识的扩充,A、B、M还可以表示任何代数式(2)在分式的基本性质中，M0例如：，这里M2x3,因此, M0，即2x30，所以x.这个条件往往被忽略，学习时，必须特别注意 (3)分子、分母必须“同时”乘以M(M0)，不要只乘分子（或分母）三、典型例题 例 当x取何值时，下列分式有意义？ (1)； (2)； (3)； (4) 解 (1)要使分式有意义，必须x50, x5. 当x5时，分式有意义 (2)要使分式有意义，必须 (x5)(x2)0, x5且x2, 当x5且x2时，分式有意义 (3)要使分式有意义，必须|x|30. |x|30, x取任意数时，分式都有意义 (4)要使分式有意义，必须 10, x1, x0, x0. 当x1且x0时，分式有意义说明 分母不为零时，分式有意义.值得注意的是分式与分式是不同的两个分式，由前面的例题可知，这两个公式有意义的x的取值范围是不一样的，因此，不能把分式中的x2先约分 例 (1)x为何值时，分式的值为零；(2)x为何值时，分式 的值为1.(1) 由题意得 解 |x|20, x2x60, 解式得x2，解式得(x2)( x3)0,即x2且x3. x2. 当x2时，分式的值为零(2) 由题意得 2x1(x5), x5 0, 由得 2x1x5,即x， 由得x5， x时，分式的值为1. 例 若分式的值为零，求x的值解 分式的值为零， |x|10, |x|x0, 由式得|x|1, x1 当x1时，|x|x|1|120,满足式； 当x1时，|x|x|1|10,不满足式； x1. 例 若分式的值为负数，试确定x的取值范围分析 分式值为负数，即分式的分子2x与分母1x的符号相反解 0, 分子2x与分母1x的符号相反，即或 2x0, 2x0, 1x0， 1x0.解得或 x2, x2, x1, x1 x1或x2, x的取值范围是x1或x2 例 不改变分式的值，把下列各式中的分子、分母的各项系数都化为整数 (1)； (2) 解 (1)； (2).说明 解决这类问题，一般用下列方法：若分子、分母中各项系数都为分数，则分子、分母都乘以各项系数中分母的最小公倍数；若分子、分母中各项系数都是小数，则分子、分母同时乘以10n；若分子、分母中各项系数有分数，又有小数，则把小数化为分数，再把分子、分母同时乘以各项系数分母的最小公倍数。 例 不改变分式的值，使下列分式的分子、分母均不含有负号： (1)； (2)； (3) （n为正整数）解 (1)； (2)； (3)说明 根据分式的基本性质有：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变 例 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数： (1)； (2).解 (1)；(2).同 步 练 习 一、填空题 1. 如果表示一个分式，那么A、B都表示 ，且B中 2. 把下列有理式中是分式的代号填在横线上 (1)3x；(2)；(3)；(4)；(5) ； (6)；(7)； (8)； (9)； (10) 3. 当a 时，分式有意义 4. 当x 时，分式 有意义 5. 当x 时，分式无意义 6. 当x 时，分式无意义 7. 当x 时，分式的值为零 8. 当m 时，分式的值为零 9. 当x 时，分式的值为正数 10.当x 时，分式的值为负数 11. 12. 13. 14.二、选择题 1. 如果把分式中的x和y的值都扩大两倍，那么分式的值( ). .扩大4倍 .不变 .缩小两倍 .无法确定 2. 若分式的值等于0,则x等于( ). . .x . x或x .x1,x 3. 分式有意义的条件是( ). .x0 .x1 .x1且x2 .x1且x0 4. 若分式的值为1,则a等于( ). .a2 .a2 .a2或a2 .不存在 5. 分式中，xa时，分式（ ）. .值为0 .无意义 .当a时，值为0 .不能确定 三、解答题 1. 不改变公式的值，把下列分式中分子与分母系数化为整数： (1)；(2)；(3) 2. 若1x2,化简下列各式： (1)；(2)3. 已知x25x10,求的值4若的值5若答 案 与 提 示一、1. 整式，含有字母； 2. (2)，(5)，(6)，(9)； 3. a；4. x2且x； 5. x2；6. x3； 7. x3；8. m5； 9. x； 10.zx3； 11.2a2； 12.3ms； 13.aab； 14.a2abb2二、1. B；2. A；3. C；4. D； 5. C.三、1. (1)； (2)； (3) 2. (1) 1x2, x20, |x2|(x2). ； (2) 1x2, x10, |x1|x1. . 3. x25x10, x215x， 5, 25222345 1一、教学内容1约分；2分式的乘除法.二、重点、难点剖析 1约分根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.约分时，必须先找出分子、分母的公因式，然后再约去分子、分母的公因式.例1 约分：(1)； (2).解 (1) ； (2) .通过这个例题可知：约分是一种化简分式的运算.约分的根据是分式的基本性质.2最简分式一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式.约分时，必须把公因式全部约去，把分式化成最简分式.把分式约分所得的结果可能是一个整式.例2 约分：(1)； (2).解 (1) ； (2) m2n2.约分时，若分子或分母的系数是负数，一般根据分式的基本性质先把负号提到分式本身的前边.3分式的乘法法则.分式的乘法法则是：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母.用式子表示为：必须注意： (1)分式乘法法则中的a,b,c,d可以表示数，也可以表示含有字母的整式.(2)根据乘法法则，应先把分子、分母分别相乘，化成一个分式后再进行约分，但在实际演算时，这样做有时显得很繁琐，因此，可根据情况先约分，再相乘，这样做既简单易行，又不易出错.(3)如果运算结果不是最简分式，一定要进行约分，使运算结果化成最简分式.(4)若分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分.例3 计算：(1)； (2).解 (1) ； (2) .4分式的除法法则分式的除法法则是：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置与被除式相乘.用式子表示如：. 必须注意： (1)分式除法法则中的a,b,c,d可以表示数，也可以表示含有字母的整式.(2)分式除法的运算，其本质是分式乘法的运算，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式做乘法运算.除式(或被除式)是整式时，可以看出分母是1的式子，然后按照除法的法则运算.(3)在分式的乘除法的混合运算中，必须特别注意运算顺序.对分式的乘除法来说，它们是同级运算.在同级运算中，如果没有附加条件(如括号等)，那么就应该按照从左到右的顺序进行计算.例如：. ab. 而aba1a则是错误的，这种错误做法实际上是按照a(b )的顺序造成的.(m为正整数).5分式的乘方分式的乘方就是把分子、分母各自乘方，即三、典型例题 例1 把下列各式约分：(1)； (2)； (3).分析 约分时，应先找分子、分母的公因式.当分子、分母是多项式时，应先分别把分子、分母分解因式，同时把分子、分母的每个因式都按降幂排列，便于约分.解 (1) ； (2) ； (3) =.说明 (1)约分时，必须特别注意“符号问题”. (2)约分的最后结果除了化简为最简分式外，分子、分母应写成多项式的形式.例2 计算：(1)； (2) ；(3)； (4).解 (1)； (2) ； (3) ； (4) . 例3 计算：.解 .说明 分式的乘法、除法运算，必须先把除法转化为乘法，同时注意运算的顺序，然后把分子、分母分解因式，再直接约分.xy3 ,xy1 ,例4 已知 求分式的值. 分析 本题可以根据条件，先求出x、y的值，再化简求值.考虑到分式的分子、分母因式分解分别得到4(xy)(xy)和(xy)2,约分后可化简为，直接把已知条件代入更简单. 解 . 把xy3，xy1 代入，得 原式 .例5 已知，求的值.解 设 (k0)， 则 a3k, b4k, c5k, .说明 换元法是解决比和比例问题时最常用的方