新人教版九年级数学《垂径定理》

垂径定理 1 我们所学的圆是不是轴对称图形呢 圆是轴对称图形 经过圆心的每一条直线都是它们的对称轴 2 我们所学的圆是不是中心对称图形呢 圆是中心对称图形 圆心是对称中心 一 温故知新 如图 AB是 O的一条弦 做直径CD 使CD AB 垂足为E 1 这个图形是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 2 你能发现图中有那些相等的线段和弧 为什么 O A B C D E 活动一 1 是轴对称图形 直径CD所在的直线是它的对称轴 2 线段 AE BE O A B C D E 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的两条弧 几何语言表达 下列图形是否具备垂径定理的条件 是 不是 是 不是 深化 垂径定理的几个基本图形 CD过圆心 CD AB于E AE BE 思考 平分弦 不是直径 的直径有什么性质 如图 AB是 O的一条弦 直径CD交AB于M AM BM 垂径定理的推论 连接OA OB 则OA OB 在 OAM和 OBM中 OA OB OM OM AM BM OAM OBM AMO BMO CD AB O关于直径CD对称 当圆沿着直径CD对折时 点A与点B重合 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 1 4 5 2 3 1 5 2 3 4 讨论 1 3 2 4 5 1 4 2 3 5 1 过圆心 2 垂直于弦 3 平分弦 4 平分弦所对优弧 5 平分弦所对的劣弧 3 5 3 4 1 2 5 2 4 1 3 5 2 5 1 3 4 1 2 4 4 5 1 2 3 每条推论如何用语言表示 1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 2 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 3 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 4 5 6 7 8 9 九条推论 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说 如果具备 1 过圆心 2 垂直于弦 3 平分弦 4 平分弦所对的优弧 5 平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论 结论 一 判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的弦 平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦的直径垂直于这条弦 弦的垂直平分线是圆的直径 平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 在圆中 如果一条直线经过圆心且平分弦 必平分此弦所对的弧 分别过弦的三等分点作弦的垂线 将弦所对的两条弧分别三等分 3 半径为2cm的圆中 过半径中点且垂直于这条半径的弦长是 8cm 1 半径为4cm的 O中 弦AB 4cm 那么圆心O到弦AB的距离是 2 O的直径为10cm 圆心O到弦AB的距离为3cm 则弦AB的长是 二 填空 4 O的半径为10cm 弦AB CD AB 16 CD 12 则AB CD间的距离是 2cm 或14cm 如图 ABC的三个顶点在 O上 OE AB于E OF AC于F 求证 EF BC EF 练习 OE AB E为AB的中点 OF AC F为AC的中点 EF为三角形ABC的中位线 1 如图 在 O中 弦AB的长为8cm 圆心O到AB的距离为3cm 求 O的半径 O A B E 再来 你行吗 解 答 O的半径为5cm 在Rt AOE中 2 已知 如图 在以O为圆心的两个同心圆中 大圆的弦AB交小圆于C D两点 求证 AC BD 证明 过O作OE AB 垂足为E 则AE BE CE DE AE CE BE DE 所以 AC BD E 实际上 往往只需从圆心作一条与弦垂直的线段 就可以利用垂径定理来解决有关问题了 3 已知 O中弦AB CD 求证 AC BD 你能讲解吗 夹在两条平行弦间的弧相等 你能有一句话概括一下吗 小结 解决有关弦的问题 经常是过圆心作弦的垂线 或作垂直于弦的直径 连结半径等辅助线 为应用垂径定理创造条件 体会 分享 说出你这节课的收获和体验 让大家与你一起分享 圆是轴对称图形 经过圆心的每一条直线都是它的对称轴 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的两条弧 垂径定理 在解决有关圆的问题时 可以利用垂径定理将其转化为解直角三角形的问题 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说 如果具备 1 过圆心 2 垂直于弦 3 平分弦 4 平分弦所对的优弧 5 平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论 六 知识盘点 垂径定理与推论的应用 如图 O的直径为10 弦AB 8 P是弦AB上一个动点 求OP的取值范围 O A B P 练习 3 OP 5 例1如图 已知在 O中 弦AB的长为8厘米 圆心O到AB的距离为3厘米 求 O的半径 解 连结OA 过O作OE AB 垂足为E 则OE 3厘米 AE BE AB 8厘米 AE 4厘米在RtAOE中 根据勾股定理有OA 5厘米 O的半径为5厘米 讲解 例 图示 在圆 中 弦 的长为 厘米 圆心 到 的距离为 厘米 求圆 的半径 例 题图变式 题图变式 题图 变式 若以 为圆心 再画一个圆交 与 两点 则 与 之间存在怎样的大小关系 变式 若以 为圆心 在变式 题图的基础上再画一个圆 则 与 与 之间存在怎样的大小关系 变式 在变式 题图的基础上 连结 将大圆隐去 得到下图 设 试证明 变式 在变式 题图的基础上 将小圆隐去 得到下图 设 C D 试证明 变式 题图变式 题图 学生练习 已知 AB是 O直径 CD是弦 AE CD BF CD求证 EC DF 如图 A B C在圆上 且AB AC 5厘米 BC 8厘米 求圆的半径 D 2 已知 O的直径AB和弦CD相交于点E AE 6厘米 EB 2厘米 BED 30 求CD的长 说明 解决有关圆的问题 常常需要添加辅助线 针对各种具体情况 辅助线的添加有一定的规律 本例和上例中作 垂直于弦的直径 就是一个很好的例证 练习 F 在直径是20cm的 O中 AOB的度数是60 那么弦AB的弦心距是 圆的圆心到圆上弦的距离叫做弦心距 如图 在 O中 AB AC为互相垂直且相等的两条弦 OD AB于D OE AC于E 求证四边形ADOE是正方形 证明 四边形ADOE为矩形 又 AC AB AE AD 四边形ADOE为正方形 问题 你知道赵州桥吗 它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶 它的主桥是圆弧形 它的跨度 弧所对的弦的长 为37 4m 拱高 弧的中点到弦的距离 为7 2m 你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗 赵州桥主桥拱的半径是多少 问题情境 解得 R 27 9 m 解决求赵州桥拱半径的问题 在Rt OAD中 由勾股定理 得 即R2 18 72 R 7 2 2 赵州桥的主桥拱半径约为27 9m OA2 AD2 OD2 实践应用 7 2 18 7 如图 弓形ABC中 弦AC的长为8厘米 弦的中点到劣弧中点间的长度是2厘米 求圆的半径 练习 A B C D O x 4 2 x 2 E D 油的最大深度ED OD OE 200 mm 或者油的最大深度ED OD OE 450 mm 1 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后 油面宽AB 600mm 求油的最大深度 OE 125 mm 解 练习 如图 某城市住宅社区 在相邻两楼之间修建一个上面是半圆 下面是矩形的仿古通道 其中半圆拱的圆心距地面2米 半径为1 3米 现有一辆高2 5米 宽2 3米的送家具的卡车 问这辆卡车能否通过通道 请说明理由 解 如图 用半圆O表示通道上面的半圆 AB为直径 弦CD平行AB 过O作于E 连结OD 据垂径定理知 练习 挖掘潜力 某地有一座圆弧形拱桥圆心为 桥下水面宽度为 2m 过O作OC AB于D 交圆弧于C CD 2 4m 现有一艘宽3m 船舱顶部为方形并高出水面 AB 2m的货船要经过拱桥 此货船能否顺利通过这座拱桥