中考数学压轴题3.docx

引动点产生的面积问题（2013长沙）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+2与x轴，y轴分别交于点A,点B,动点P(a,b)在第一象限内，由点P向x轴，y轴所作的垂线PM,PN（垂足为M,N）分别于直线AB相交于点E,点F，当点P(A,B)运动时，矩形PMON的面积为定值2.（1）求OAB的度数；（2）求证AOFBEO；（3）当点E,F都在线段AB上时，由三条线段AE,EF,BF组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为OEF的面积为试探究： 是否存在最小值？ 若存在，请求出该最小值：若不存在，请说明理由.（1）y=-x+2交x,y轴于点A,点B，求得点A(2，0)，点B(0，2)在RtOAB中，OA=OB, OAB=45（2）易求得点E,F坐标，E,F均在y=-x+2上， E(a,2-a) F(2-b,b)因为矩形PMON面积为定值2，即ab=2,代入有 此时旋转OEA 90,使OA与OB重合，如图，并连结易之OEA 联立式又 EOF=45又FEO=45+EOAFOA=45+EOAFEO=FOA 又OBA=OAB=45AOFBEO（3）由（2）知AE,EF,BF组成三角形是以EF为斜边的直角三角形，又 , 令a+b=t又 关于对称 此时递增有极小值，当 时（2013苏州）如图，已知抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数，且c0）与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为（1，0）（1）b=+c，点B的横坐标为2c（上述结果均用含c的代数式表示）；（2）连接BC，过点A作直线AEBC，与抛物线y=x2+bx+c交于点E，点D是x轴上的一点，其坐标为（2，0）当C，D，E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PB，PC，设所得PBC的面积为S求S的取值范围；若PBC的面积S为整数，则这样的PBC共有11个分析：（1）将A（1，0）代入y=x2+bx+c，可以得出b=+c；根据一元二次方程根与系数的关系，得出1xB=，即xB=2c；（2）由y=x2+bx+c，求出此抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，c），则可设直线BC的解析式为y=kx+c，将B点坐标代入，运用待定系数法求出直线BC的解析式为y=x+c；由AEBC，设直线AE得到解析式为y=x+m，将点A的坐标代入，运用待定系数法求出直线AE得到解析式为y=x+；解方程组，求出点E坐标为（12c，1c），将点E坐标代入直线CD的解析式y=x+c，求出c=2，进而得到抛物线的解析式为y=x2x2；（3）分两种情况进行讨论：（）当1x0时，由0SSACB，易求0S5；（）当0x4时，过点P作PGx轴于点G，交CB于点F设点P坐标为（x，x2x2），则点F坐标为（x，x2），PF=PGGF=x2+2x，S=PFOB=x2+4x=（x2）2+4，根据二次函数的性质求出S最大值=4，即0S4则0S5；由0S5，S为整数，得出S=1，2，3，4分两种情况进行讨论：（）当1x0时，根据PBC中BC边上的高h小于ABC中BC边上的高AC=，得出满足条件的PBC共有4个；（）当0x4时，由于S=x2+4x，根据一元二次方程根的判别式，得出满足条件的PBC共有7个；则满足条件的PBC共有4+7=11个解答：解：（1）抛物线y=x2+bx+c过点A（1，0），0=（1）2+b（1）+c，b=+c，抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于点A（1，0）、B（xB，0）（点A位于点B的左侧），1与xB是一元二次方程x2+bx+c=0的两个根，1xB=，xB=2c，即点B的横坐标为2c；（2）抛物线y=x2+bx+c与y轴的负半轴交于点C，当x=0时，y=c，即点C坐标为（0，c）设直线BC的解析式为y=kx+c，B（2c，0），2kc+c=0，c0，k=，直线BC的解析式为y=x+cAEBC，可设直线AE得到解析式为y=x+m，点A的坐标为（1，0），（1）+m=0，解得m=，直线AE得到解析式为y=x+由，解得，点E坐标为（12c，1c）点C坐标为（0，c），点D坐标为（2，0），直线CD的解析式为y=x+cC，D，E三点在同一直线上，1c=（12c）+c，2c2+3c2=0，c1=（与c0矛盾，舍去），c2=2，b=+c=，抛物线的解析式为y=x2x2；（3）设点P坐标为（x，x2x2）点A的坐标为（1，0），点B坐标为（4，0），点C坐标为（0，2），AB=5，OC=2，直线BC的解析式为y=x2分两种情况：（）当1x0时，0SSACBSACB=ABOC=5，0S5；（）当0x4时，过点P作PGx轴于点G，交CB于点F点F坐标为（x，x2），PF=PGGF=（x2x2）+（x2）=x2+2x，S=SPFC+SPFB=PFOB=（x2+2x）4=x2+4x=（x2）2+4，当x=2时，S最大值=4，0S4综上可知0S5；0S5，S为整数，S=1，2，3，4分两种情况：（）当1x0时，设PBC中BC边上的高为h点A的坐标为（1，0），点B坐标为（4，0），点C坐标为（0，2），AC2=1+4=5，BC2=16+4=20，AB2=25，AC2+BC2=AB2，ACB=90，BC边上的高AC=S=BCh，h=S如果S=1，那么h=1=，此时P点有1个，PBC有1个；如果S=2，那么h=2=，此时P点有1个，PBC有1个；如果S=3，那么h=3=，此时P点有1个，PBC有1个；如果S=4，那么h=4=，此时P点有1个，PBC有1个；即当1x0时，满足条件的PBC共有4个；（）当0x4时，S=x2+4x如果S=1，那么x2+4x=1，即x24x+1=0，=164=120，方程有两个不相等的实数根，此时P点有2个，PBC有2个；如果S=2，那么x2+4x=2，即x24x+2=0，=168=80，方程有两个不相等的实数根，此时P点有2个，PBC有2个；如果S=3，那么x2+4x=3，即x24x+3=0，=1612=40，方程有两个不相等的实数根，此时P点有2个，PBC有2个；如果S=4，那么x2+4x=4，即x24x+4=0，=1616=0，方程有两个相等的实数根，此时P点有1个，PBC有1个；即当0x4时，满足条件的PBC共有7个；综上可知，满足条件的PBC共有4+7=11个故答案为+c，2c；11（2014兰州市）如图，抛物线y=x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（1，0），C（0，2）（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标分析：（1）由待定系数法建立二元一次方程组求出求出m、n的值即可；（2）由（1）的解析式求出顶点坐标，再由勾股定理求出CD的值，再以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1，以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3，作CE垂直于对称轴与点E，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；（3）先求出BC的解析式，设出E点的坐标为（a，a+2），就可以表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=SBCD+SCEF+SBEF求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论解答：解：（1）抛物线y=x2+mx+n经过A（1，0），C（0，2）解得：，抛物线的解析式为：y=x2+x+2；（2）y=x2+x+2，y=（x）2+，抛物线的对称轴是x=OD=C（0，2），OC=2在RtOCD中，由勾股定理，得CD=CDP是以CD为腰的等腰三角形，CP1=CP2=CP3=CD作CHx轴于H，HP1=HD=2，DP1=4P1（，4），P2（，），P3（，）；（3）当y=0时，0=x2+x+2x1=1，x2=4，B（4，0）设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得，解得：，直线BC的解析式为：y=x+2如图2，过点C作CMEF于M，设E（a，a+2），F（a，a2+a+2），EF=a2+a+2（a+2）=a2+2a（0x4）S四边形CDBF=SBCD+SCEF+SBEF=BDOC+EFCM+EFBN，=+a（a2+2a）+（4a）（a2+2a），=a2+4a+（0x4）=（a2）2+a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，E（2，1）（2014昆明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C.（1） 求抛物线的解析式；（2） 点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度向C点运动.其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动.当PBQ存在时，求运动多少秒使PBQ的面积最大，最多面积是多少？（3） 当PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使，求K点坐标.分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2考查动点与二次函数最值问题：先写出S与t的函数关系式，再确定函数最值；（3） 存在所求的K点，由（2）可求出的面积，再把分成两个三角形进行面积运算.解答： 解：（1）将A（，0）、B（4，0）两点坐标分别代入，即，解得：抛物线的解析式为：（2） 设运动时间为t秒，由题意可知： 过点作，垂直为D， 易证，OC=3，OB=4，BC=5， 对称轴当运动1秒时，PBQ面积最大，最大为，（3）如图，设连接CK、BK，作交BC与L，由（2）知：， 设直线BC的解析式为，解得：直线BC的解析式为 即：解得：坐标为或（2014聊城）如图，在平面直角坐标系中，AOB的三个顶点的坐标分别是A（4，3），O（0，0），B（6，0）点M是OB边上异于O，B的一动点，过点M作MNAB，点P是AB边上的任意点，连接AM，PM，PN，BN设点M（x，0），PMN的面积为S（1）求出OA所在直线的解析式，并求出点M的坐标为（1，0）时，点N的坐标；（2）求出S关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求出S的最大值；（3）若S：SANB=2：3时，求出此时N点的坐标分析：（1）利用待定系数法求解析式即可；（2）作AGOB于G，NHOB于H，利用勾股定理先求得AG的长，然后根据三角形相似求得NH：AG=OM：OB，得出NH的长，因为MBN的面积=PMN的面积=S，即可求得S与x的关系式（3）因为AMB的面积=ANB的面积=SANB，NMB的面积=NMP的面积=S，所以NH；AG=2：3，因为ON：OA=NH：AG，OM：OB=ON：OA，所以OM：OB=ON：OA=2：3，进而求得M点的坐标，求得MN的解析式，然后求得直线MN与直线OA的交点即可解答：解：（1）设直线OA的解析式为y=k1 x，A（4，3），3=4k1，解得k1=，OA所在的直线的解析式为：y=x，同理可求得直线AB的解析式为；y=x+9，MNAB，设直线MN的解析式为y=x+b，把M（1，0）代入得：b=，直线MN的解析式为y=x+，解，得，N（，）（2）如图2，作NHOB于H，AGOB于G，则AG=3MNAB，MBN的面积=PMN的面积=S，OMNOBA，NH：AG=OM：OB，NH：3=x：6，即NH=x，S=MBNH=（6x）x=（x3）2+（0x6），当x=3时，S有最大值，最大值为（3）如图2，MNAB，AMB的面积=ANB的面积=SANB，NMB的面积=NMP的面积=SS：SANB=2：3，MBNH：MBAG=2：3，即NH；AG=2：3，AGOB于G，NHOB，NHAG，ON：OA=NH：AG=2：3，MNAB，OM：OB=ON：OA=2：3，OA=6，=，OM=4，M（4，0）直线AB的解析式为；y=x+9，设直线MN的解析式y=x+b代入得：0=4+b，解得b=6，直线MN的解析式为y=x+6，解得，N（，2）（2014上海普陀区）如图，已知MON两边分别为OM、ON， sinO=且OA=5，点D为线段OA上的动点(不与O 重合)，以A为圆心、AD为半径作A，设OD=x（1） 若A交O 的边OM于B、C两点，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2） 将A沿直线OM翻折后得到A 若A与直线OA相切，求x的值； 若A与以D为圆心、DO为半径的D相切，求x的值 图1 备用图解：作，垂足为点F （1分） 在中， 因为OA5， （1分） ，（1分） （1分） ， （2分）（2014上海杨浦区）已知AM平分BAC，AB=AC=10，cosBAM=。点O为射线AM上的动点，以O为圆心，BO为半径画圆交直线AB于点E（不与点B重合）。（1）如图（1），当点O为BC与AM的交点时，求BE的长；（2）以点A为圆心，AO为半径画圆，如果A与O相切，求AO的长；（3）试就点E在直线AB上相对于A、B两点的位置关系加以讨论，并指出相应的AO的取值范围；（第25题图）解（1）AM平分BAC，AB=BC，AMBC，cosBAM=，AB=10，cosB=,BO=6，AO=8，-（1分，1分）作OHAE，O为圆心，BH=EH,-（1分）在RtBOH中，,BE=2BH=.-（1分）(2) A与O相切，AO为A半径，A与O只可能相内切，且A在O的内部，-（1分）OA=OB-OA，OB=2OA，-（1分）设OA=x，则OB=2x，作 BPAM，则AP=8，BP=6，OP=8-x，在RtBPO中，,即，-（1分），（负舍），OA=.-（2分）（3）过AB中点作AM的垂线交AM于点O1，可得AO