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文档简介
法向量的应用概念:与平面垂直的向量就称为平面的法向量。主要应用:证线面平行,证面面平行,证线面垂直,证面面垂直, 求线面角,二面角,求点到平面的距离,异面直线的距离等等。一 证线面平行方法:证直线上的一条方向向量与平面的一条法向量垂直。例题:如图(2),已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面 互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,AyzxCDFE且BM=BD,AN=AE, 求证:MN平面CDE NMB证明:以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,且设AB=3a,AD=3b,AF=3c,则有B(3a,0,0),D(0,3b,0),F(0,0,3c),E(0,3b,3c)所以 =(-3a,3b,0),=(0,-3b,-3c)=(-a,b,0), =(0,-b,-c)所以 ,又平面CDE的一个法向量是=(0,3b,0),由=(2a,0,-c)(0,3b,0)=0,所以又MN不在平面CDE内,所以MN平面CDECBAOC1B1O1A1EFyxzF1二 证面面平行E1方法:证两个平面的法向量平行。例题:如图,正方体中,是中点,求证:平面平面证明:设分别是平面,平面的一条法向量,设正方体的棱长是2则E(2,1,0),F(1,2,0),(2,2,2),(1,0,2)(0,1,2),所以 , ,由和 求得 , , 所以 所以, 所以两个平面平行。三 证线面垂直方法:证直线上的方向向量与平面的法向量 平行。例题:如图,已知正方体ABCDA1B1C1D1中,边长AB=2,E,F分别是, DC的中点。求证:D1F平面AED;zxy证明:建立空间直角坐标系D-xyzABCDA1B1C1D1EF 则 A(2,0,0),E(2,2,1), F(0,1,0),设是平面DAE的一条法向量则由 求得 因为,所以D1F平面AED四 证面面垂直方法:证两个平面的法向量垂直。zPDCBA例题:如图四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形, ABDC,PA底面ABCD, 且PA=AD=DC=AB=1y 求证:面PAD面PCDx 证明:建立空间直角坐标系A- xyz,因为PA=AD=DC=AB=1所以 B(0,2,0),D(1,0,0),C(1,1,0),P(0,0,1)则 , , 设是平面PCD的一条法向量则由 得 又容易证得是平面PAD的法向量又, 所以面PAD面PCD五 求线面角方法:设直线与平面成的角为,直线的方向向量与平面的法向量成的角为,则有 例题:如图,正方体,求 所成的角。分析:建立空间直角坐标系, 求出平面的一条法向量,再求 , 所以六 求二面角方法:设为两个平面的法向量, 为二面角的平面角,则符号取决于是锐角还是钝角。zxyFEA1O1B1C1OABC例题:如图,正方体, 求二面角的大小。分析:建立空间直角坐标系O-xyz, 可求得平面 和平面的 法向量分别是(-1,1,1), 又由图可知该平面角为锐角MN所以 七 求点到平面的距离方法:在平面内取一点N,设平面的法向量为,则向量在方向上的射影的绝对值即为点M到平面的距离d=, 例题:如图,已知正方形ABCD的边长为4,E、F分别是AB、AD的中点,GC平面ABCD,且GC2,求点B到平面EFG的距离分析:由题设可知CG、CB、CD两两互相垂直,由此,建立空间直角坐标系Cxyz 则可写出各点坐标,从而求得 平面GEF的一条法向量是=(1,1,3) =(0,-4,2),求得d=M八 求异面直线的距离方法: 在异面直线上取两点M,N,是的法向量,则在方向上的投影N的绝对值即为异面直线的距离。 即 d=例2已知正方体ABCD的棱长为1,求直线与AC的距离分析:如图,建立空间直角坐标系xyz,则有,设n是AC与的法向量,则又n,n,可求得n=(1,1,-1) , 所以 =即
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