陕西省2019年中考数学解答专项线段最值问题练习.docx

线段最值问题1. (1)如图，已知O及O外一点C，请在O上找一点P，使其到点C的距离最近；(2)如图，已知正方形ABCD的边长为4.点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动连接AM和BN，交于点P.请在图中画出点P的运动路径，并求出点P到点C的最短距离；(3)如图，AC为边长为4的菱形ABCD的对角线，ABC60.点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CA方向向终点C和A运动，连接AM和BN，交于点P，求点P到直线CD的最短距离第1题图解：(1)如解图，连接OC交O于点P，点P即为所求；第1题解图(2)由题知BMCN，在ABM和BCN中，ABMBCN(SAS)，AMBBNC，又PBMCBN，PBMCBN，BPMBCN90，APB90，如解图，连接AC、BD交于点O，取AB中点E，则以点E为圆心，BE为半径的即为点P的运动路径，连接EC交于点F，则点P与点F重合时，点P到点C距离最近第1题解图在RtBCE中，CE，BEAB2，BC4，CE2，EFBEAB2，CFCEEF22，点P到点C的最短距离为22；(3)由题知BMCN.四边形ABCD为菱形，且ABC60，ACBBCD60，ABCACB.在ABM和BCN中，ABMBCN，AMBBNC，BPMBCN，BPMBCN60，APB180BPM120.如解图，分别作线段AB、BP的垂直平分线，两线交于一点E，则以点E为圆心，EB为半径的为点P的运动路径连接EC，交于点F，当点P与点F点重合时，点P到CD的距离最近 ABCACB60，且ABBC，ABC是等边三角形，CE为AB的垂直平分线，BCE30，BEC2BAP60， 第1题解图EBC90，在RtEBC中，CE，BE，又EFBE，CFCEEF.点P到直线CD的最短距离为.2. 问题探究(1)请在图的ABC的边BC上作一点P，使AP最短；(2)如图，点P为ABC内部一点，且满足APBBPCAPC.求证：点P到点A、B、C的距离之和最短，即PAPBPC最短；问题解决(3)如图，某高校有一块边长为400米的正方形草坪ABCD，现准备在草坪内放置一对石凳及垃圾箱在P点处，使点P到B、C、D三点的距离之和最小，那么是否存在符合条件的点P？若存在，请作出点P的位置，并求出这个最短距离；若不存在，请说明理由第2题图(1)解：如解图所示，过点A作BC的垂线，垂足为P，点P即为所求；第2题解图(2)证明：如解图，将AB绕点B逆时针旋转60，得到A1B，将PB绕点B逆时针旋转60，得到P1B，连接P1A1，P1P，A1A，A1B，根据作图可知AA1B和PP1B均为等边三角形，则PP1PB，AA1B、PP1B为等边三角形，A1BAB，BP1BP，A1BAP1BP60，A1BP1P1BAPBAP1BA，A1BP1PBA，A1BP1ABP，P1A1PA，P1A1PP1PCPAPBPC，连接A1C，根据两点之间线段最短可知，当P1A1PP1PCA1C时，PAPBPC最短，APBBPCAPC 360120，A1P1BAPBBPC120，又BP1P为等边三角形，A1P1BBP1PBPP1BPC180，A1、P1、P、C四点共线，P1A1PP1PCA1C，当APBBPCAPC时，PAPBPC最短；(3)解：存在符合条件的点P.如解图，以CD为边作等边CDE，再作CDE的外接圆O，连接BE，交O于点P，此时PBPCPD最小在PE上截取PQPC.在等边CDE中，DCECDE60，CPECDE60(同弧所对的圆周角相等)，第2题解图CPQ为等边三角形，CQCP，PCQ60，PCDDCQDCQECQ60，PCDECQ，又CDCE，PCQC，PCDQCE(SAS)，PDQE，PBPCPDPBPQQEBE最小，理由如下：设点M为正方形ABCD内任意一点，连接BM，CM、DM，将CMD绕点C顺时针旋转60得到CGE，BEGEGMMBMDMCMB，BE为PBPCPD的最短距离在RtCEF中，ECF30，CE400米，EFCE200