24.5相似三角形的性质.doc

序号：初中数学备课组教师：班级：初三日期：上课时间学生： 学生情况：授课类型：中考第一轮复习主课题：相似三角形中考要求：1、 理解两条线段比、比例线段、第四比例项、比例中项、黄金分割等概念.2、 掌握与正确运用相似三角形的常用基本图形及相关结论.3、 正确运用基本图形分析法、分析综合法、面积法等数学方法.4、注意相似三角形知识与四边形、锐角三角比、圆及方程、函数的联系，增强综合运用知识和解决实际问题的能力。一、 课堂练习 一、填空题1、若，则_2、如图所示，在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，BE：CE=2：3，AE交BD于F，则BF：FD=_2：5_3、在直角三角形ABC中，已知BC=2，AD=3，则CD=_4、在比例尺是1：200000的长春市交通图上，人民广场与净月潭之间的距离约为10厘米，则它们之间的实际距离为_20_千米5、如图所示，在等腰直角三角形ABC中，A=90，四边形EFDH为内接正方形，_9_6、已知：在ABC中，AB=9，AC=12，BC=18，D为AC上一点，在AB上取一点E，得到ADE，若ADE与ABC相似，则DE的长为_12或16_7、已知，菱形AMNP内接于ABC，M、N、P分别在AB、BC、AC上，若AB=21，AC=15，则菱形AMNP的周长为_35_8、如图所示，在ABC中，已知M是BC的中点，AN平分，于N，AB=10，AC=6，则MN=_2_ 第2题图 第5题图 第8题图 第10题图9、若三角形三边之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边为21，则其余两边的和为_24_10、如图所示，E、F是正方形ABCD两边BC、AB的中点，AE、CF交于G，若正方形的面积等于1，那么四边形AGCD的面积等于_二、 精解名题【例1】如图，已知正方形和，点、分别在线段、上，正方形的边长为6 （1）如果正方形的边长为4，求证：； （2）正方形的边长为多少时，分析：本题考察了相似三角形的判定，锐角三角比的性质证明：正方形ABCD边长为6，正方形EFCG边长为4， BACACG AB=6 AC= CG=4 EC=ADBCGFE AE=AC-EC= 在ABE和CAG中 BACACG ABECAG（2）解：设正方形EFCG的边长为x,则BF=6-x 联结FG交AC于点H，可得GHAC， tanCAG= 又根据题意，得ABEF， ABE=BEF， tanABE= tanABE=3 tanCAG，= 解得（舍去），。当正方形EFCG的边长为3时，tanABE =3 tanCAG。【例2】如图，D是BC边上的中点，且AD=AC，DEBC，DE与BA相交于点E，EC与AD相交于F。 求证：ABCFCD； 若 SFCD=5. BC=10，求DE的长。分析：（1）根据题意，要证ABCFCD，必须证两个角对应相等，而AD=AC，可知ACD=2，所以只需再证1和B相等（2）本小题主要考察了相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，然后根据平行线的性质就可求得DE的长。 解： 证明： D是BC边上的中点，DEBC EB=EC， B=1又AD=AC ACD=2 ABCFCD。 解：过A点作AMCB于M，由知，ABCFCD，且BC=2CD 又 SFCD=5 SABC =20 SABC= BCAM， AM= = = 4而DEAM 即 DE【例3】如图1，ABC中，AI、BI分别平分BAC、ABC。CE是ABC的外角ACD的平分线，交BI延长线于E，联结CI。（1）ABC变化时，设BAC=2。若用表示BIC和E，那么BIC=_，E =_；（2）若AB=1，且ABC与ICE相似，求相应AC长；（3）如图2，延长AI交EC延长线于F。当ABC形状、大小变化时，图中有哪些三角形始终与ABI相似？写出这些三角形，并选其中之一证明。ABDCEI图1FABDCEI图2分析：（1）在BCE中，利用三角形的内角和定理得到E与另外三个角的关系，再在ABC中得出角与另外三个角的关系，从而可得到E=，依据角平分线得到ECI是平角BCD的一半，是个直角，再根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可求解BIC（2）根据相似三角形对应边的比相等，即可求解解：（1）900+ ； （2）分类 i）BAC=900，推出ABC为等腰直角三角形， AC=AB=1； ii）ABC=900，推出RtABC中，BAC=600，ACB=300 ， AC=2AB=2； iii）ACB=900，推出RtABC中，BAC=600，ABC=300， AC= AB=。（3）EIF ，ECB，ACF 【例4】如图1，在中，于点，点是边上一点，连接交于，交边于点（1）求证：；（2）当为边中点，时，如图2，求的值；（3）当为边中点，时，请直接写出的值BBAACOEDDECOF图1图2F分析：利用直角三角形两锐角互余，可证得ABF=COE，从而证得结论。依题意，先证明ABCOAG，可得OG=AC=2AB，然后证ABFGOF，就可证出结论解：（1），；（2）解法一：作，交的延长线于，是边的中点，BADECOFG由（1）有，又，解法二：于，设，则，由（1）知，设，在中，（3）【例5】如图，等腰梯形中，=2，=8，的顶点在边上移动，一条边始终经过点，另一边与交于点，联接AF（1）设，试建立关于的函数关系式，并写出函数定义域； （2）若为等腰三角形，求出的长备用图分析：解： (1) AB=DC=5， 而 ABEFEC 即 (2)分别过A、D作AG、DH垂直于BC分别交于点G、H可推得cos若AE=AF，过点A作AG,则有cos cos,即ABEBFC, 即 ， 解得x = 若AF=FE, 同理有 解得x =2 若AE=EF, 同理有5=8-x 解得x =3 0， 当x=2,3, 时, AEF为等腰。【例6】在RtABC中，AB=BC，B=90，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角板绕点O旋转（1）当点O为AC中点时，如图，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，连接EF，猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系（无需证明）；如图，三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E、F两点，连接EF，判断中的猜想是否成立若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）当点O不是AC中点时，如图，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，若 ，求的值。三、 中考演练1、在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（ C ） A、4.8米B、6.4米C、9.6米D、10米2、若ABCDEF，ABC与DEF的相似比为23，则SABCSDEF为（ B ） A、23 B、49 C、 D、323、如图G是rABC的重心，直线L过A点与BC平行。若直线CG分别与AB、L交于D、E两点，直线BG与AC交于F点，则rAED的面积：四边形ADGF的面积为 ( D ) A、 1：2 B、2：1 C、 2：3 D、3：24、如图为rABC与rDEC重迭的情形，其中E在BC上，AC交DE于F点， 且AB / DE。若rABC与rDEC的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF=？( B ) A、3 B、7 C、12 D、 15 5、已知D、E分别是的AB、 AC边上的点，DE/BC且， 那么AE：EC等于（ B ） A、1 : 9 B、1 : 3 C、1 : 8 D、1 : 26、如图，在ABC中，M是AC的中点，P，Q为边BC的三等分点若BM与AP，AQ分别交于D，E两点，则BD，DE，EM三条线段的长度比等于5:3:27、 如图，在正三角形ABC的边BC，CA上分别有点E、F，且满足BE=CF=a，EC=FA=b（ab）。当BF平分AE时，则的值为 题6 题7ABCED8、已知：如图，在ABC中，ADE=B，BAC=DAE（1）求证：；（2）当BAC=90时，求证：ECBC证明：（1）ADE=B，BAC=DAE，ABCADE （2）BAC=DAE，BAD=CAE，ABDACEB=ACEBAC=90，B+ACB=90ACE+ACB=90，即BCE=909、如图，四边形ABCD中，ADCD，DABACB90，过点D作DEAC，垂足为F，DE与AB相交于点E.（1）求证：ABAFCBCD（2）已知AB15cm，BC9cm，P是射线DE上的动点.设DPxcm（x0），四边形BCDP的面积为ycm2.求y关于x的函数关系式；当x为何值时，PBC的周长最小，并求出此时y的值。（1）证明：ADCD，DEAC，DE垂直平分ACAFCF，DFADFC90，DAFDCF.DABDAFCAB90，CABB90，DCFDAFB在RtDCF和RtABC中，DFCACB90，DCFBDCFABC，即.ABAFCBCD（2）解：AB15，BC9，ACB90，AC12，CFAF663x27（x0）BC9（定值），PBC的周长最小，就是PBPC最小.由（1）可知，点C关于直线DE的对称点是点A，PBPCPBPA，故只要求PBPA最小.显然当P、A、B三点共线时PBPA最小.此时DPDE，PBPAAB.由（1），ADFFAE，DFAACB90，地DAFABC.EFBC，得AEBEAB，EF.AFBCADAB，即69AD15.AD10.RtADF中，AD10，AF6，DF8.DEDFFE8.当x时，PBC的周长最小，此时y四、 自我测试1、如图，AC是圆O的直径，AC=10厘米，PA，PB是圆O的切线，A，B为切点，过A作ADBP，交BP于D点，连结AB、BC.（1） 求证ABCADB; （2） 若切线AP的长为12厘米，求弦AB的长。(1)证明：AC是圆O的直径，ABC=90 o又ADBP，ADB=90 o，ABC=ADB又PB是圆的切线，ABD=ACB在ABC和ADB中：ABCADB;（3） 连结OP，在RtAOP中，AP=12厘米,OA=5厘米,根据勾股定理求得OP=13厘米,又由已知可证得ABCPAO, , 得, 解得 AB=厘米。2、已知：如图，ABC中，BAC90，ABAC1，点D是BC边上的一个动点(不与B，C点重合)，ADE45。(1)求证：ABDDCE；(2)设BDx，AEy，求y关于x的函数关系式；(3)当ADE是等腰三角形时，求AE的长。解：(1)提示：除BC外，证ADBDEC(2)提示：由已知及ABDDCE可得从而yACCEx2(其中)(3)当ADE为顶角时：提示：当ADE是等腰三角形时，ABDDCE可得当ADE为底角时：3、正方形边长为4，、分别是、上的两个动点，当点在上运动时，保持和垂直，（1）证明：；（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；（3）当点运动到什么位置时，求的值解：（1）在正方形中，在中，（2），当时，取最大值，最大值为10（3），要使，必须有，由（1）知，当点运动到的中点时，此时4、在中，A=90，AB=6，AC=8，D、E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQBC于Q，过点Q作QR/BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动设BQ=x，QR=y。（1）求点D到BC的距离DH的长；（2）求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由解：（1）A=90，AB=6，AC=8，BC=10点D为AB中点，DHB=A=90，B=B，（2）QR/BA，C=C，即关于的函数关系式为：（3）存在，分三种情况：当时，过点作于，则1+2=90，C+2=90，当时，当时，则为中垂线上的点，于是点为的中点，综上所述，当为或6或时，为等腰三角形。5、（1）如图1，在ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DEBC，AQ交DE于点P求证： （2）如图，在ABC中，BAC=90，正方形DEFG的四个顶点在ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；如图3，求证MN2=DMEN（1）证明：在ABQ中，由于DPBQ，ADPABQ，DP/BQAP/AQ同理在ACQ中，EP/CQAP/AQDP/BQEP/CQ（2）（3）证明：BC=90，CEFC=90B=CEF，又BGD=EFC，BGDEFCDG/CFBG/EF，DGEFCFBG又DGGFEF，GF2CFBG由（1）得DM/BGMN/GFEN/CF（MN/GF）2(DM/BG)(EN/CF)MN2DMEN题库：1、（）如图，已知AC=12cm，BC=16cm，BAC=ADC，则= 。第3题图第1题图 2、（）在ABC中，AB=8，BC=7，CA=6，延长边BC到P，使PAB和PCA相似，则PC= 9 。3、（）如图，PQR是等边三角形，APB=120，AQ=4，BR=9，则QR= 6 。4、（）如图，矩形ABCD中，CEBD于E，延长后交AB于P，若点P是AB的中点，则AD:AB= 1： 。5、（）如图ABC=CDB=90，AC=5，BC=4，若图中的两个Rt三角形相似，则BD= 或。 第5题图第4题图6、（）己知两个相似三角形周长的比为3：2，其中较小的三角形面积为12，则较大的三角形的面积是（ A ）A27B24C18D167、（）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，M是BC的中点，联结AM，作DEAM，E为垂足，求ADE与ABM的周长比为 6:5 ，面积比为 36:25 8、（）如图，正方形ABCD的边长为a，点E是AD边的中点，BE的垂直平分线与边DC相交于点G，直线BE与边DC的延长线相交于点F，则FHG的面积为 . 第7题 第8题9、（）如图，在ABC中，分别过AB边上的两点D、F作DE/FG/BC，交边AC于点E、G，已知DE、FG分别把ABC的面积三等分，则DE：FG：BC= ，AD：DF：FB= .10、（）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CHx轴于点H.（1）直接填写：= ，b= ，顶点C的坐标为 ；（2）在轴上是否存在点D，使得ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；ABHCABHC（备用图）（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQAC于点Q，当PCQ与ACH相似时，求点P的坐标. 解：（1），顶点C的坐标为（-1，4）（2）假设在y轴上存在满足条件的点D, 过点C作CEy轴于点E.EC由CDA=90得，1+2=9