1.5.1二项式定理

1 2 6 3 4 5 1 专题四 排列组合与二项式定理 热身训练 1 某城市在中心广场建造一个花圃 花圃分为 6 个部分 如图 现要栽种 4 种不同颜色的花 每部分栽 种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花 不同的栽种方法有 种 以数字作答 答案 120 考点 分步乘法计数原理 分析 从题意来看 6 部分种 4 种颜色的花 又从图形看知必有 2 组同颜色的花 从同颜色的花入手分类求 1 若 与 同色 则 也同色或 也同色 共有 N1 4 3 2 2 1 48 种 2 若 与 同色 则 或 同色 共有 N2 4 3 2 2 1 48 种 3 若 与 且 与 同色 则共有 N3 4 3 2 1 24 种 共有 N N1 N2 N3 48 48 24 120 种 2 从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会 若这 4 人中必须既有男生 又有女生 则不同的选法共有 答案 34 种 分析 从 7 个人中选 4 人共 4 7 C种选法 去掉不合题意的只有男生的选法 4 4 C就可得有既有男生 又有 女生的选法 4 7 C 4 4 C 34 3 92 2 1 x x 的展开式中 9 x系数是 答案 21 2 分析 根据题意 对于 92 2 1 x x 有 Tr 1 2 9 r9 rrr9 r18 3r 99 11 CC 22 xx x 令183r9 得 r 3 当 r 3 时 有 T4 3699 9 121 C 22 xx 92 2 1 x x 的展开式中 9 x系数是 21 2 4 若对于任意实数x 有 323 0123 2 2 2 xaa xaxa x 则 2 a的值为 答案 6 考点 二项式定理的应用 分析 由等式右边可以看出是按照2x 的升幂排列 故可将x写为22x 利用二项式定理的通项 公式可求出 2 a的值 33 2 2 xx 62 2 32 Ca 2 例题讲解 例 1 有男运动员 6 名 女运动员 4 名 其中男女队长各 1 名 选派 5 人外出比赛 在下列情形中各有多 少种选派方法 1 男运动员 3 名 女运动员 2 名 2 至少有 1 名女运动员 3 既要有队长 又要有女运动员 解 第一步 选 3 名男运动员 有种选法 C 3 6 第二步 选 2 名女运动员 有种选法 2 4 C 共有 种 选法 32 64 120CC 至少 1 名女运动员 的反面为 全是男运动员 从 10 人中任选 5 人 有种选法 其中全是男运动员的选法有种 5 10 C 3 6 C 所以 至少有 1 名女运动员 的选法有 种 55 106 246CC 3 当有女队长时 其他人选法任意 共有种选法 不选女队长时 必选男队长 共有种选法 其中 4 9 C 4 8 C 不含女运动员的选法有种 所以不选女队长时共有种选法 故既要有队长 又要有女运动员 4 5 C 44 85 CC 的选法有 种 16 分 444 985 191CCC 例 2 将 5 个编号为 1 2 3 4 5 的小球放入 5 个编号为 1 2 3 4 5 的盒子中 1 有多少种放法 2 每盒至多一球 有多少种放法 3 恰好有一个空盒 有多少种放法 4 每个盒内放一个球 并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同 有多少种方法 5 每个盒子内投放一球 并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的 有多少种投放方法 6 把 5 个不同的小球换成 5 个相同的小球 恰有一个空盒 有多少种不同的放法 注意 以上各小题要列出算式后再求值 否则扣分 解 3 例 3 1 设 4 4 3 3 2 210 4 13 xaxaxaxaax 求 43210 aaaaa 求 420 aaa 求 4321 aaaa 2 求除以 9 的余数 27 27 2 27 1 27 CCCS 1 令 x 1 得 a0 a1 a2 a3 a4 3 1 4 16 令x 1 得 a0 a1 a2 a3 a4 3 1 4 256 而由 1 知 a0 a1 a2 a3 a4 3 1 4 16 两式相加 得 a0 a2 a4 136 令x 0 得a0 0 1 4 1 得 a1 a2 a3 a4 a0 a1 a2 a3 a4 a0 16 1 15 4 2 解 S C C C 227 1 1 272 272727 89 1 9 1 9 1 C 99 C 98 C 9 C 1 0 91 98 99 9 9 C 98 C 97 C 2 0 91 98 9 9 C 98 C 97 C 1 7 0 91 98 9 显然上式括号内的数是正整数 故 S 被 9 除的余数为 7 例 4 已知在的展开式中 第 5 项的系数与第 3 项的系数之比是 56 3 2 3 x x n 1 求展开式中的所有有理项 2 求展开式中系数绝对值最大的项 3 求n 9C 81C 9n 1C 的值 2n3nn n 解 1 由 C 2 4 C 2 2 56 3 解得n 10 4n2n 因为通项Tr 1 C 10 r r r10 x r x 2 3 2 rC r 0 1 2 10 r10 5 5 6 r x 当 5 为整数时 r可取 0 6 5r 6 于是有理项为T1 x5和T7 13 440 2 设第r 1 项系数的绝对值最大 则 Error Error 解得Error Error 又因为r 1 2 3 9 所以r 7 当r 7 时 T8 15 360 5 6 x 又因为当r 0 时 T1 x5 当r 10 时 T11 2 10 1 024 10 3 x 10 3 x 所以系数的绝对值最大的项为T8 15 360 5 6 x 3 原式 10 9C 81C 910 1C 2 103 101010 9C 1 10 92C 2 10 93C 3 10 910C1010 9 5 C 0 10 9C 1 10 92C 2 10 93C 3 10 910C1010 1 9 1 9 10 1 9 1010 1 9 例 5 在等式 2 cos22cos1xx x R 的两边求导 得 2 cos2 2cos1 xx 由求导法则 得 sin2 24cos sin xxx AA 化简得等式 sin22cossinxxx A 1 利用上题的想法 或其他方法 结合等式 0122 1 x CCCC nnn nnnn xxx x R 正整数2n 证明 11 2 1 1 C n nkk n k nxkx 2 对于正整数3n 求证 i 1 1 C0 n kk n k k ii 2 1 1 C0 n kk n k k 证明 1 在等式 0122 1 x CCCC nnn nnnn xxx 两边对x求导得 112121 1 2 1 nnnnn nnnn nxCC xnCxnC x 移项得 11 2 1 1 n nkk n k nxkC x 2 i 在 11 2 1 1 n nkk n k nxkC x 中 令1x 整理得 1 1 1 0 n kk n k kC 1 1 0 n kk n k kC ii 由 1 知 112121 1 2 1 3 nnnnn nnnn nxCC xnCxnC xn 两边对x求导 得 2232 1 1 23 2 1 nnn nnn n nxCC xn nC x A 在上式中 令1x 得 2322 023