线性代数课件第二章矩阵

第二章 矩阵,. 矩阵的概念. 矩阵的运算. 方阵的行列式与逆矩阵. 矩阵分块法,矩阵是数学学习与研究中最最常用的工具和手段，利用它可以丢掉那些可忽略的部分，从而抓住问题的本质，简化问题的复杂程度，并通过对矩阵的研究，完成对问题的全面解决。比如：线性方程组就可用矩阵来解决。矩阵在控制理论、经济管理、线性规划等领域中也有广泛应用。,事实上，矩阵最初就是为解决线性方程组而产生的，因此，矩阵的许多运算和性质来源于线性方程组，学习时可对照线性方程组来理解。,概述：矩阵的重要性,2.1 矩阵的概念,例,线性方程组,未知量的系数可排成一个矩形阵列：,未知量的系数与常数项可排成一个矩形阵列：,有无解，由未知量系数和常数项决定。,对方程组有无解的研究可转为对上述矩形阵列的研究。,一、 矩阵的概念,例,四种产品，四个季度的产值也可用一个矩形阵列（或矩形表）来描述：,季 度,产 值,从该矩形表上可以看出产值的变化规律。,矩阵的定义,定义2.1 由 个数排成的 m 行 n 列数表（阵列）,称为一个 m 行 n 列矩阵，简称为 矩阵，其中表示第 i 行第 j 列处的元素，i 称为的行指标，j 称为列指标。,矩阵的记法,(1) A，B，C，.,(2) ， ， ，.,(3) ，,例：,(小括号和中括号是矩阵的标志性符号),二、几种特殊矩阵, 所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，记为O.,例, 行（列）阵：, 当m=n时，称矩阵为n阶矩阵或n阶方阵。,例如,是三阶矩阵,一 阶（m=n=1)矩阵就是一个数。,另外：, 非负矩阵：, A 的负矩阵：,对角矩阵,例如,性质,（1）A,B为n阶对角阵，k为常数,即,数量矩阵,性质：,单位矩阵,或记为E,性质：,n阶矩阵与同阶单位阵可以交换,三角矩阵,上三角矩阵,下三角矩阵,性质:,A、B是同阶、同型的三角形矩阵, kA, A+B, AB 仍是同阶同型三角形矩阵。,对称矩阵,例：,是反对称阵,性质：,A 是对称阵,A是反对称阵,三、矩阵应用实例P28,例2 通路问题,例1 线性方程组的系数矩阵,例3 原子矩阵,2.2 矩阵的运算,1. 矩阵的加法,定义2.3 设矩阵,与,是两个 矩阵，将它们的对应元相加，得到一个新的 矩阵：,则称矩阵C为矩阵A与B之和，记作C=A+B.,例,由负矩阵可定义矩阵减法 ：,设A、B为同型矩阵，则A与B的差，即矩阵减法：,2. 矩阵的数乘,定义2.4 设 是一个 矩阵， k 是一个常数，则称矩阵,为矩阵A与数 k 的乘积(矩阵的数乘)，记为 kA.,例,线性运算的八大性质（运算律）,设A、B、C、O为同型矩阵，k，l 为数，则有,加法,数乘,例 已知,解,3 矩阵的乘法,例,工厂,产量,产品,甲 乙 丙,产品,甲 乙 丙,价格 单位利润,工厂,总收入,总利润,总收入产量x价格,总利润产量x单位利润,A,B,C,定义,定义A,B之积,其中，,称A 左乘 B，或 B 右乘 A,左矩阵的列数与右矩阵的行数相等，才能相乘；积矩阵的大小为：左矩阵的行数乘右矩阵的列数。,例,AB BA,交换律不成立！,例,两个矩阵A、B，,矩阵可交换定义,则称 A 与B 可交换；,例,例,AC=BC,A=B 或 C=O,消去律不成立！,线性方程组的矩阵表示,令,则方程组可改写为：,解矩阵方程,例,解,由题设，有,得方程组：,矩阵乘法的性质,证明2:设,则,同理.可证1,3,4 矩阵的转置,定义,转置,例,性质,证明4o：(i),推广：,容易验证左右两边矩阵的大小相等。,现证左右两边矩阵的元素对应相等。,例：,注意：,第三节 方阵的行列式 与逆矩阵,一、方阵的行列式,定义：n阶方阵A的各个元素按原来的位置排列构成的行列式称为方阵A的行列式。记做：,性质：,（1）,（2）,（3）,定义： 设A是n阶方阵，k为正整数，定义,性质：,但是，一般地,补： 方阵的幂,与数的方幂同,与数的方幂不同,A的k次幂,n阶单位矩阵,例：,可得,问：,这就是这一节要介绍的逆矩阵，它在矩阵理论和应用中有极其重要的作用。,引言：,二、逆矩阵,定义 设A为 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵B，使得：,则称A是可逆矩阵，简称A可逆，并称B是A的逆矩阵。,逆矩阵的概念,定理1 设A是可逆矩阵，则它的逆矩阵是唯一的。,证明:(同一法 ),设A有两个逆矩阵B和B1，即,则,故可逆矩阵的逆矩阵是唯一的。,并记为：,有,定义,称A为非奇异矩阵；,称A为奇异矩阵.,n阶阵A,定义,求逆矩阵的方法一（伴随阵法）,定理2,证,同理可证 BA=I。,故 A可逆，且,例,步骤：,1. 判别A是否可逆,2. 若可逆，求逆矩阵,解,所以A可逆,于是得,类似得,推论,证,重要结果,例,解,所以 A可逆，,逆矩阵的性质,证 A,B 可逆，,证 因为,特殊矩阵的逆矩阵,则,书 中 例 题,第四节 分块矩阵,对矩阵分块，是处理“大”矩阵的有效方法。,以子块为元素的矩阵称为 分块矩阵。,（一）矩阵分块的定义：,以子块为元素的矩阵，称为分块矩阵,则得四个子矩阵,则A可表示为,例如：,一般,用两组相互垂直的直线将A分成st 块，得分块矩阵：,注意：,例,记,则,又如,（二）分块矩阵的运算,1、加法,要求：同型矩阵，同样的分块;,对应小矩阵相加减.,则,2. 数乘,例 求 kA, A+B,3、乘法,要求：A的列的分法与B的行的分法相同。,l1,l2,lr,l1,l2,lr,其中,分块矩阵的乘法与不分块的乘法结果一致。 若分块矩阵中出现特殊矩阵，运算量将大幅减小。,例 求 AB,2列,2列,2行,2行,则,其中,代入得,例,则,而,于是有,（三）分块矩阵的转置,例,而,显然分块矩阵的转置不如