平方根与算术平方根概念辨析.doc

平方根与算术平方根概念辨析平方根与算术平方根是初中数学中的两个重要概念，因为它们定义相近，联系紧密，所以初学的同学很容易混淆。为帮助同学们正确理解和区分这两个概念，现将它们的区别与联系总结如下：一、区别：1、定义不同。平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x叫做a的平方根。例如，2是4的平方根，2是4的平方根，即2和2都是4的平方根。算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根（特别规定：0的算术平方根是0）。例如，正数2是4的算术平方根。虽然，但2不是正数，所以2不是4的算术平方根。2、表示方法不同。平方根：一个非负数a的平方根记做。例如，5的平方根记做。算术平方根：一个非负数a的算术平方根记作。例如，5的算术平方根记作。3、个数不同。平方根：一个正数有两个平方根，它们互为相反数。例如，16的平方根有两个，一个是4，另一个是4。算术平方根：一个正数的算术平方根只有一个，且这个数是正数。例如，16的算术平方根只有一个，是4。二、联系1、二者之间存在着从属关系。一个正数的平方根包含了这个正数的算术平方根，算术平方根是平方根中的一个。例如，的两个平方根是，其中是的算术平方根。2、二者被开方数的取值范围相同。只有非负数才有平方根，负数没有平方根。只有非负数才有算术平方根，负数没有算术平方根。一个数没有平方根，它一定也没有算术平方根。三、典型例题例1求下列各数的平方根。（1）121（2）（3）0（4）解：（1）因，故121的平方根是。（2）因，故的平方根是。（3）因，故0的平方根是0。（4）因，故的平方根是。评析：求数a的平方根，就是要把平方后等于a的数都找出来。正数的平方根有两个，不要丢掉负的平方根。例2求下列各数的算术平方根。（1）225（2）（3）0.49（4）解：（1）因，故225的平方根是，取正的平方根，即225的算术平方根是15。（2）因，故的算术平方根是，即。（3）因，故0.49的算术平方根是0.7，即。（4）因，而，所以的算术平方根是5。评析：求正数a的算术平方根，只需找出平方后等于a的正数。例3下列说法是否正确？为什么？（1）5是25的平方根。（2）25的平方根是5。解：（1）正确。因，所以5是25的平方根。（2）不正确。因都等于25，所以25的平方根是。评析：判断x是不是a的平方根，只需看是否等于a，若，那么x就是a的平方根，求a的平方根，则需将所有平方后等于a的数全部找出来。例4下列说法正确的是（）A.5是的算术平方根B. 81的平方根是C. 2是4的算术平方根D. 9的算术平方根是解：选B。评析：解答此题的关键是理解、掌握平方根和算术平方根的联系和区别。只有非负数才有平方根和算术平方根，所以选项C错误；一个正数有两个平方根，其中正的平方根才叫做算术平方根，所以选项A、D错误。例5求下列各式的值。（1）（2）（3）（4）解：（1）（2）（3）（4）评析：解这类题的关键是弄清三种符号的意义：表示a的平方根，表示a的算术平方根，表示a的负的平方根。例6下列各式正确的是（）A.B.C.D.解：选D评析：解答此题的关键是掌握平方根和算术平方根的定义和