2015-2016学年湖北省八校高三(上)第一次联考数学试卷(理科).doc

2015-2016学年湖北省武汉市八校高三（上）第一次联考数学试卷（理科）答案与解析一、选择题1、已知集合A=x|x22x30，B=x|log2（x1）2，则（RA）B=（）A（1，3）B（1，3）C（3，5）D（1，5）解：集合A=x|x22x30，RA=x|x22x30=（1，3），又B=x|log2（x1）2=x|0x14=（1，5），（RA）B=（1，3），选A2、命题“x2+y2=0，则x=y=0”的否定命题为（）A若x2+y2=0，则x0且y0B若x2+y2=0，则x0或y0C若x2+y20，则x0且y0D若x2+y20，则x0或y0解：命题“x2+y2=0，则x=y=0”的否定命题为：若x2+y20，则x0或y0选D3、欧拉公式eix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限解：e2i=cos2+isin2，2，cos2（1，0），sin2（0，1），e2i表示的复数在复平面中位于第二象限4、函数f（x）=，则ff（）=（）A B1 C5 D解：函数f（x）=，f（）=，ff（）=f（）=2=5、等差数列an前n项和为Sn，且=+1，则数列an的公差为（）A1B2C2015 D2016解：设等差数列an的公差为d，=d又=+1，等差数列an的公差为2选B6、若a=ln2，b=5，c=sinxdx，则a，b，c的大小关系（）Aabc Bbac Ccba Dbca解：=lnln2lne=1， a1，b=5=，c=sinxdx=cosx|=（1+1）=，bca，选D7、已知sin（）cos=，则cos（2+）=（）A B C D解：sin（）cos=cossincos=sin（+）=，sin（+）=，则cos（2+）=12sin2（+）=，选C8、已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于（） A12B16C20D32解：由三视图可知该几何体为直三棱柱与四棱锥的组合体，V棱柱=43=12，V棱锥=4（63）=8，组合体的体积为V棱柱+V棱锥=20选C9、已知函数f（x）=sin2（x）（0）的周期为，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为（）AB CD解：由函数f（x）=sin2（x）=cos2x （0）的周期为=，可得=1，故f（x）=cos2x若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a0），可得y=cos2（xa）=cos（2x2a）的图象；再根据所得图象关于原点对称，可得2a=k+，a=+，kZ则实数a的最小值为选D10、如图，在正六边形ABCDEF中，点P是CDE内（包括边界）的一个动点，设（，R）则+的取值范围（）A1，2 B2，3 C2，4 D3，4解：建立如图坐标系，设AB=2，则A（0，0），B（2，0），C（3，），D（2，2 ），E（0，2 ），F（1，）则EC的方程：x+y6=0；CD的方程：x+y4 =0；因P是CDE内（包括边界）的动点，则可行域为 又 ，则 =（x，y），=（2，0），=（1，），所以（x，y）=（2，0）+（1，）得 3+4则+的取值范围为3，4选D11、若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为（）A3B2 C2 D3解：设底面边长AB=a，棱锥的高SM=h，V棱锥SABCD=a2h=9，a2=，正四棱锥内接于球O，O在直线SM上，设球O半径为R，（1）若O在线段SM上，如图一，则OM=SMSO=hR，（2）若O在在线段SM的延长线上，如图二，则OM=SOSM=Rh，SM平面ABCD，OMB是直角三角形，OM2+MB2=OB2，OB=R，MB=BD=a，（hR）2+=R2，或（Rh）2+=R22hR=h2+，即R=+=+=3=当且仅当=取等号，即h=3时R取得最小值选A 12、关于函数f（x）=+lnx，下列说法错误的是（）Ax=2是f（x）的极小值点B函数y=f（x）x有且只有1个零点C存在正实数k，使得f（x）kx恒成立D对任意两个正实数x1，x2，且x2x1，若f（x1）=f（x2），则x1+x24解：f（x）=，（0，2）上，函数单调递减，（2，+）上函数单调递增，x=2是f（x）的极小值点，即A正确；y=f（x）x=+lnxx，y=0，函数在（0，+）上单调递减，x0，y+，函数y=f（x）x有且只有1个零点，即B正确；f（x）kx，可得k，令g（x）=，则g（x）=，令h（x）=4+xxlnx，则h（x）=lnx，（0，1）上，函数单调递增，（1，+）上函数单调递减，h（x）h（1）0，g（x）0，g（x）=在（0，+）上函数单调递减，函数无最小值，不存在正实数k，使得f（x）kx恒成立，即C不正确；对任意两个正实数x1，x2，且x2x1，（0，2）上，函数单调递减，（2，+）上函数单调递增，若f（x1）=f（x2），则x1+x24，正确选C二、填空题13、已知平面直角坐标系中，=（3，4），=3，则向量在向量的方向上的投影是 解：向量在向量方向上的投影为：=14、若函数f（x）=，g（x）=f（x）+ax，x2，2为偶函数，则实数a= 解：f（x）=，g（x）=f（x）+ax=，g（x）=为偶函数，g（1）=g（1），即a1=1+a1=a，2a=1，a=15、设实数x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为 解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，2），化目标函数z=2x+y为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为24+2=1016、如图所示，已知ABC中，C=90，AC=6，BC=8，D为边AC上的一点，K为BD上的一点，且ABC=KAD=AKD，则DC= 解：由题意，tanABC=，ABC=KAD=AKD，BDC=2ABC，tanBDC=tan2ABC= DC=三、解答题17、在等比数列an中，a3=，S3=（）求an的通项公式；（）记bn=log2，且bn为递增数列，若Cn=，求证：C1+C2+C3+Cn解：（）a3=，S3=，当q=1时，S3=3a1=，满足条件，q=1当q1时，a1q2=，=，解得a1=6，q=综上可得：an=或an=6（）n1；（）证明：由题意可得bn=log2=log2=log222n=2n，则Cn=（），即有C1+C2+C3+Cn=（1+）=（1）=故原不等式成立18、如图，ABC中，三个内角B、A、C成等差数列，且AC=10，BC=15（1）求ABC的面积；（2）已知平面直角坐标系xOy，点D（10，0），若函数f（x）=Msin（x+）（M0，0，|）的图象绕过A、C、D三点，且A、D为f（x）的图象与x轴相邻的两个交点，求f（x）的解析式解：（1）在ABC中，角B、A、C成等差数列，2A=B+C，即3A=180，则A=60 （1分）由余弦定理可知：a2=b2+c22bccos60，（2分）c210c125=0，则c=|AB|=5+5 （4分）又|AO|=10cos60=5，|BO|=5，则ABC的面积S=（5+5 ）=（3）（6分）（2）T=2（10+5）=30，= （8分）f（5）=Msin（5）+=0，sin（+）=0，则+=k，即=+k，kZ|，=，（10分）f（0）=Msin=5，M=10，则f（x）=10sin（x+）（12分）19、如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，将ADM沿AM折起，使得平面ADM平面ABCM（）求证：ADBM（）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角EAMD的余弦值为解答 （1）证明：长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，AM=BM=2，BMAM平面ADM平面ABCM，平面ADM平面ABCM=AM，BM平面ABCMBM平面ADMAD平面ADMADBM； （2）建立如图所示的直角坐标系，设，则平面AMD的一个法向量=（0，1，0），=+=（1，2，1），=（2，0，0），设平面AME的一个法向量为=（x，y，z），则， 取y=1，得x=0，z=，则=（0，1，），cos，=，求得，故E为BD的中点20、小明同学制作了一个简易的网球发射器，可用于帮忙练习定点接发球，如图1所示，网球场前半区、后半区总长为23.77米，球网的中间部分高度为0.914米，发射器固定安装在后半区离球网底部8米处中轴线上，发射方向与球网底部所在直线垂直为计算方便，球场长度和球网中间高度分别按24米和1米计算，发射器和网球大小均忽略不计如图2所示，以发射器所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上的球场中轴线上，y轴垂直于地平面，单位长度为1米已知若不考虑球网的影响，网球发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中k与发射方向有关发射器的射程是指网球落地点的横坐标（）求发射器的最大射程；（）请计算k在什么范围内，发射器能将球发过网（即网球飞行到球网正上空时，网球离地距离大于1米）？若发射器将网球发过球网后，在网球着地前，小明要想在前半区中轴线的正上空选择一个离地面2.55米处的击球点正好击中网球，试问击球点的横坐标a最大为多少？并请说明理由解：（）由kx（1+k2）x2=0（k0），可得：x=或x=0，由x=20，当且仅当k=1时取等号因此，最大射程为20米； （）网球发过球网，满足x=8时y1所以4k（1+k2）1，即4k220k+90，因此k，依题意：关于k的方程ka（1+k2）a2=2.55在（，）上有实数解，即a2k240ak+a2+204=0（a0），=1600a24a2（a2+204）0得a14，此时k=，球过网了，所以击球点的横坐标a最大为14*21、已知函数f（x）=ex，xR（）若直线y=kx与f（x）的反函数的图象相切，求实数k的值（）设a，bR，且ab，A=f（），B=，C=，试比较A，B，C三者的大小，并说明理由解：（1）f（x）的反函数为y=lnx，设切点为（x0，lnx0），则切线斜率为k=，解得x0=e，k=（2）不妨设ab，则AB=0，ABAC=，令m（x）=2xex+ex（x0），则m（x）=2exex0，m（x）在（0，+）上单减，故m（x）m（0）=0，取x=，则ab+0，AC=1，令n（x）=1+，则n（x）=0，n（x）在（0，+）上单增，故n（x）n（0）=0，取x=ab，则1+0，BC综合上述知，ACB选修4-1几何证明选讲22、如图，BC是圆O的直径，点F在弧上，点A为弧的中点，做ADBC于点D，BF与AD交于点E，BF与AC交于点G（）证明：AE=BE（）若AC=9，GC=7，求圆O的半径证明：（）连接AB，点A为弧的中点，=，ABF=ACB（2分）又ADBC，BC是圆O的直径，（4分）BAD=ACB，ABF=BAD，AE=BE （5分）（）由ABGACB知AB2=AGAC=29AB=3 （8分）直角ABC中由勾股定理知BC=3 （9分）圆的半径为 （10分）选修4-4极坐标与参数方程23、已知曲线C的极坐标方程为2sin+cos=10，将曲线C1：（为参数）经过伸缩变换后得到曲线C2（1）求曲线C2的参数方程；（2）若点M在曲线C2上运动，试求出M到曲线C的距离的最小值解：（1）将曲线C1：（为参数），化为x2+y2=1，由伸缩变换化为，代入圆的方程可得：=1，得到曲线C2：，可得参数方程：（2）曲线C的极坐标方程为2sin+cos=10，化为直角坐标方程：2y+x10=0点M到曲线C的距离d=，M到曲线C的距离的最小值为选修4-5不等式证明选讲24、已知函数f（x）=|x10|+|x20|，且满足f（x）10a+10（aR）的解集不是空