河北省中考数学复习圆第30讲与圆有关的位置关系试题（含解析）.docx

第30讲与圆有关的位置关系1. (2012，河北)如图，A(5，0)，B(3，0)，点C在y轴的正半轴上，CBO45，CDAB，CDA90.点P从点Q(4，0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t s.(1)求点C的坐标；(2)当BCP15时，求t的值；(3)以点P为圆心，PC的长为半径的P随点P的运动而变化，当P与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时，求t的值第1题图【思路分析】 (1)由CBO45，COB为直角，得BCO45.所以BCOCBO.可得OCOB3，然后由点C在y轴的正半轴可以确定点C的坐标(2)需要对点P的位置进行分类讨论当点P在点B右侧时，由BCO45，用BCOBCP求出PCO30.又OC3，在RtPOC中，求出OP的长由PQOQOP求出运动的总路程，即可求出此时的时间t.当点P在点B左侧时，用BCOBCP求出PCO60.又OC3，在RtPOC中，求出OP的长，由PQOQOP求出运动的总路程，即可求出此时的时间t.(3)当P与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时，分三种情况讨论当P与BC边相切时，利用切线的性质得到BC垂直于CP，可得出BCP90，由BCO45，得到OCP45，即此时COP为等腰直角三角形，可得出OPOC，由OC3，得到OP3，用OQOP求出点P运动的路程，即可得出此时的时间t.当P与CD相切于点C时，点P与点O重合，可得出点P运动的路程为OQ的长，求出此时的时间t.当P与AD相切时，利用切线的性质得到A为切点，由PCPA，且PA9t，POt4，在RtOCP中，利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到此时的时间t.综上，得到所有满足题意的时间t的值解：(1)CBO45，COB90，BCO904545.BCOCBO.OCOB3.点C在y轴的正半轴上，点C的坐标为(0，3)(2)分两种情况考虑当点P在点B右侧时，如答图.BCP15，BCO45，PCO30.OPCOtan 30.此时t4.当点P在点B左侧时，如答图.BCP15，BCO45，PCO60.OPCOtan 603.此时t43.当BCP15时，t的值为4或43.(3)由题意，知若P与四边形ABCD的边相切时，有以下三种情况如答图，当P与BC相切于点C时，有BCP90.BCO45，OCP45.OP3，此时t1.如答图，当P与CD相切于点C时，有PCCD，即点P与点O重合，此时t4.如答图，当P与AD相切于点A时，有PCPA.PC2PA2(9t)2，PO2(t4)2.(9t)2(t4)232.解得t5.6.t的值为1或4或5.6.第1题答图2. (2018，河北，导学号5892921)如图，点A在数轴上表示的数为26，以原点O为圆心，OA的长为半径作优弧，使点B在点O的右下方，且tanAOB，在优弧上任取一点P，且能过点P作直线lOB交数轴于点Q，设Q在数轴上表示的数为x，连接OP.第2题图(1)若优弧上的一段的长为13，求AOP的度数及x的值；(2)求x的最小值，并指出此时直线l与所在圆的位置关系；(3)若线段PQ的长为12.5，直接写出这时x的值【思路分析】 (1)利用弧长公式求出圆心角的度数利用PQOB，得PQOQOB.根据tanAOB，得，求出OQ的长即可解决问题(2)当点Q在点O的左边，直线PQ与O相切时，x的值最小(3)因为P是优弧上的任意一点，所以点P的位置分三种情形，分别求解即可解决问题解：(1)由13，解得n90.AOP90.PQOB，PQOQOB.tanPQOtanQOB.OQ.x.(2)如答图.当点Q在点O的左边，直线PQ与O相切时，x的值最小在RtOPQ中，OQOP32.5，此时x的值为32.5.(3)分三种情况：如答图，过点O作OHPQ于点H.设OH4k，QH3k.在RtOPH中，OP2OH2PH2，262(4k)2(3k12.5)2.整理，得k23k20.790.解得k6.3.OQ5k31.5，此时x的值为31.5.如答图，过点O作OHPQ交PQ的延长线于点H.设OH4k，QH3k.在RtOPH中，OP2OH2PH2，262(4k)2(12.53k)2.整理，得k23k20.790.解得k3.3.OQ5k16.5，此时x的值为16.5.如答图，过点O作OHPQ于点H.设OH4k，QH3k.在RtOPH中，OP2OH2PH2，262(4k)2(3k12.5)2.整理，得k23k20.790.解得k6.3.OQ5k31.5，此时x的值为31.5.综上所述，满足条件的x的值为31.5或16.5或31.5.第2题答图点与圆的位置关系例1 (2017，福州)如图，在66的正方形网格中，有6个点，M，N，O，P，Q，R(除点R外其余5个点均为格点)，以点O为圆心，OQ的长为半径作圆，则在O外的点是(C)例1题图A. MB. NC. PD. R【解析】 OQ，OP2，ON2，OR，OM，在O外的点是P.针对训练1 如图，在ABC中，C90，AB4，以点C为圆心，2为半径作C，则AB的中点O与C的位置关系是(B)训练1题图 A. 点O在C外B. 点O在C上C. 点O在C内D. 不能确定【解析】 在ABC中，C90，AB4，O是AB的中点，OC2.以点C为圆心，2为半径作C，OC半径点O在C上.直线与圆的位置关系例2 如图，O的半径为4，P是O外的一点，PO10，A是O上的一个动点，连接PA，直线l垂直平分PA.当直线l与O相切时，PA的长为(B)例2题图A. 10B. C. 11D. 【解析】 如答图，连接OA，OC(C为切点)，过点O作OBAP于点B.在RtAOB中，OB2OA2AB216AB2.l与O相切，OCl.OBDOCDCDB90，四边形BOCD为矩形BDOC4.直线l垂直平分PA，PDBDAB4AB.PB8AB.在RtOBP中，OB2PB2OP2，即16AB2(8AB)2102.解得AB.PA2PD2.例2答图针对训练2 如图，已知O是以数轴的原点O为圆心，1为半径的圆，AOB45，点P在数轴上运动若过点P且与OA平行的直线与O有公共点，设OPx，则x的取值范围是 0x .训练2题图【解析】 如答图，设切点为C，连接OC，则圆的半径OC1，OCPC.AOB45，OAPC，OPC45.PCOC1.OP.同理，原点左侧的距离也是，且线段长是正数x的取值范围是0x.训练2答图切线的判定和性质例3 (导学号5892921)如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的O与AD，AC分别交于点E，F，且ACBDCE.(1)求证：CE是O的切线；(2)若tanBAC，BC2，求O的半径例3题图【思路分析】 (1)连接OE.根据平行线的性质和已知，得DACDCE，证明AEODEC90，则OEC90，可得结论(2)先根据三角函数计算AB.由勾股定理，得AC.由tanDCEtanACB，得DE1.所以CE.设O的半径为r，列方程可得结论(1)证明：四边形ABCD是矩形，BCAD.BCADAC.ACBDCE，DACDCE.如答图，连接OE.OAOE，AEOOAE.AEODCE.DCEDEC90，AEODEC90.OEC90，即OECE.OE是O的半径，CE是O的切线(2)解：tanBAC，BC2，AB.AC.DCEACB，tanDCEtanACB.DEDCtanDCE1.在RtCDE中，CE.设O的半径为r.在RtCOE中，CO2OE2CE2，(r)2r23.解得r，即O的半径是.例3答图针对训练3 (2018，包头)如图，AB是O的直径，点C在O上，过点C的切线与BA的延长线交于点D，点E在上(不与点B，C重合)，连接BE，CE.若D40，则BEC 115 .训练3题图【解析】 如答图，连接OC.DC切O于点C，DCO90.D40，COBDDCO130.BEC(360130)115.训练3答图三角形的内切圆例4 (2018，烟台)如图，四边形ABCD内接于O，点I是ABC的内心，AIC124，点E在AD的延长线上，则CDE的度数为(C)例4题图A. 56B. 62C. 68D. 78【解析】 点I是ABC的内心，BAC2IAC，ACB2ICA.AIC124，B180(BACACB)1802(IACICA)1802(180AIC)68.又四边形ABCD内接于O，BADC180.ADCCDE180，CDEB68.针对训练4 (2018，湖州)如图，已知ABC的内切圆O与BC边相切于点D，连接OB，OD. 若ABC40，则BOD的度数是 70.训练4题图【解析】 ABC的内切圆O与BC边相切于点D，BO平分ABC，ODBC.OBDABC4020.BOD90OBD70.一、 选择题1. (2018，哈尔滨)如图，P为O外一点，PA为O的切线，A为切点，PO交O于点B，P30，OB3，则线段BP的长为(A)第1题图A. 3B. 3C. 6D. 9【解析】 如答图，连接OA.PA为O的切线，OAP90.OB3，AO3.在RtAOP中，P30，OP2OA6.BPOPOB633.第1题答图2. (2018，保定二模)如图，在ABC中，AB3，AC4，BC5，D，E分别是AC，AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是(B)第2题图A. 相切B. 相交C. 相离D. 无法确定【解析】 如答图，过点A作AMBC于点M，交DE于点N.AB3，AC4，BC5，ABC是直角三角形AMBCACAB.AM.D，E分别是AC，AB的中点，DEBC，DEBC2.5.ANMNAM1.2.以DE为直径的圆的半径为1.25，1.251.2，以DE为直径的圆与BC的位置关系是相交第2题答图3. (2018，唐山路南区三模)如图，已知直线mn，把ABC剪成三部分，点A，B，C在直线n上，点O在直线m上，则点O是ABC的(C)第3题图A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心【解析】 如答图，过点O作ODBC于点D，OEAC于点E，OFAB于点F.如答图，过点O作ODBC于点D，OEAC于点E，OFAB于点F.mn，ODOEOF.由裁剪，知ODOD，OEOE，OFOF，ODOEOF.点O是三角形三个内角的平分线的交点点O是ABC的内心第3题答图4. (2018，石家庄桥西区一模)如图，AB是O的直径，P是O外一点，PO交O于点C，连接BC，PA. 若P40，当PA与O相切时，B的度数为(B)第4题图A. 20B. 25C. 30D. 40【解析】 PA是O的切线，PAO90.AOP90P50.BAOP25.5. (2018，重庆A)如图，已知AB是O的直径，点P在BA的延长线上，PD与O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C.若O的半径为4，BC6，则PA的长为(A)第5题图A. 4B. 2C. 3D. 2.5【解析】 如答图，连接DO.PD与O相切于点D，PDO90.C90，DOBC.PDOPCB.设PAx，则.解得x4.PA4.第5题答图6. (2018，泰安)如图，BM与O相切于点B.若MBA140，则ACB的度数为(A)第6题图A. 40B. 50C. 60D. 70【解析】 如答图，连接OA，OB.BM是O的切线，OBM90.MBA140，ABO50.OAOB，BAOABO50.AOB80.ACBAOB40.第6题答图7. (2018，常州)如图，AB是O的直径，MN是O的切线，切点为N.若MNB52，则NOA的度数为(A) 第7题图A. 76B. 56C. 54D. 52【解析】 MN是O的切线，ONNM.ONM90.ONB90MNB905238.ONOB，BONB38.NOA2B76.8. (2018，深圳)一把直尺、含60角的直角三角板和光盘如图摆放，A为60角与直尺的交点，AB3，则光盘的直径是(D)第8题图A. 3B. 3C. 6D. 6【解析】 如答图，设三角板与圆的切点为C，连接OA，OB.由切线长定理，知AO平分BAC，OAB60.在RtABO中，OBABtanOAB3，光盘的直径为6.第8题答图9. (2018，石家庄二模)如图，O与直线l1相离，圆心O到直线l1的距离OB2，OA4，将直线l1绕点A逆时针旋转30后得到的直线l2刚好与O相切于点C，则OC的长为(B)第9题图A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】 在RtABO中，sinOAB，OAB60.直线l1绕点A逆时针旋转30后得到的直线l2刚好与O相切于点C，CAB30，OCAC.OAC603030.在RtOAC中，OCOA2.10. (2018，湘西州)如图，直线AB与O相切于点A，AC，CD是O的两条弦，且CDAB.若O的半径为5，CD8，则弦AC的长为(D)第10题图A. 10B. 8C. 4D. 4【解析】 直线AB与O相切于点A，OAAB.又CDAB，AOCD，记垂足为E.CD8，CEDECD4.如答图，连接OC，则OCOA5.在RtOCE中，OE3，AEAOOE8.AC4.第10题答图11. 如图，点I为ABC的内心，点D在BC上，且IDBC.若B44，C56，则AID的度数为(A)第11题图A. 174B. 176C. 178D. 180【解析】 如答图，连接CI.在ABC中，B44，ACB56，BAC180BACB80.点I为ABC的内心，CAIBAC40，ACIDCIACB28.AIC180CAIACI112.又IDBC，CID90DCI62.AIDAICCID11262174.第11题答图二、 填空题12. (2018，台州)如图，AB是O的直径，C是O上的点，过点C作O的切线交AB的延长线于点D.若A32，则D 26.第12题图【解析】 如答图，连接OC.由圆周角定理，得COD2A64.CD为O的切线，OCCD.D90COD26.第12题答图13. (2018，长沙)如图，点A，B，D在O上，A20，BC是O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则OCB 50.第13题图【解析】 A20，BOC40.BC是O的切线，B为切点，OBC90.OCB904050.14. (2018，大庆)在ABC中，C90，AB10，且AC6，则这个三角形的内切圆的半径为 2 .【解析】 C90，AB10，AC6，BC8.设内切圆的半径为r，则6r8r10r68.解得r2.15. (2018，连云港)如图，AB是O的弦，点C在过点B的切线上，且OCOA，OC交AB于点P.已知OAB22，则OCB 44.第15题图【解析】 如答图，连接OB.BC是O的切线，OBBC.OBACBP90.OCOA，OABAPO90.OAOB，OBAOAB22.APOCBP68.APOCPB，CPBCBP68.OCB180686844.第15题答图16. (2018，安徽)如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与O相切于点D，E.若D是AB的中点，则DOE 60.第16题图【解析】 如答图，连接OA.四边形ABOC是菱形，BABO.AB与O相切于点D，ODAB.D是AB的中点，直线OD是线段AB的垂直平分线OAOB.AOB是等边三角形AODAOB30.同理，AOE30.DOEAODAOE60.第16题答图三、 解答题17. (2018，潍坊)如图，BD为ABC外接圆O的直径，且BAEC.(1)求证：AE与O相切于点A；(2)若AEBC，BC2，AC2，求AD的长第17题图【思路分析】 (1)连接OA，交BC于点F.根据OAOD，可得DDAO.由同弧所对的圆周角相等及已知，得BAEDAO.再由直径所对的圆周角是直角，得BAD90.进而可得结论(2)先证明OABC.由垂径定理，得，FBBC.根据勾股定理计算AF，OB，AD的长即可(1)证明：如答图，连接OA，交BC于点F，则OAOD.DDAO.DC，CDAO.BAEC，BAEDAO.BD是O的直径，BAD90，即DAOBAO90.BAEBAO90，即OAE90.AEOA.AE与O相切于点A.(2)解：AEBC，AEOA，OABC.，FBBC.ABAC.BC2，AC2，BF，AB2.在RtABF中，AF1.在RtOFB中，OB2BF2(OBAF)2.OB2()2(OB1)2.OB4.BD8.在RtABD中，AD2.第17题答图18. (2018，德州)如图，AB是O的直径，直线CD与O相切于点C，且与AB的延长线交于点E，C是的中点(1)求证：ADCD；(2)若CAD30，O的半径为3，一只蚂蚁从点B出发，沿着BEEC爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程(3.14，1.73，结果保留一位小数)第18题图【思路分析】 (1)连接OC.根据切线的性质得到OCCD.证明OCAD.进而得到ADCD.(2)根据圆周角定理得到COE60.根据锐角三角函数、弧长公式计算即可(1)证明：如答图，连接OC.直线CD与O相切，OCCD.C是的中点，DACEAC.OAOC，OCAEAC.DACOCA.OCAD.ADCD.(2)解：CAD30，CAECAD30.由圆周角定理，得COE60.OE2OC6，ECOC3，.BE3.蚂蚁爬过的路程为3311.3.第18题答图19. (2018，赤峰)如图，在RtABC中，C90，AD平分BAC，交BC于点D，点O在AB上，O经过A，D两点，交AC于点E，交AB于点F.(1)求证：BC是O的切线；(2)若O的半径是2 cm，E是的中点，求阴影部分的面积(结果保留根号)第19题图【思路分析】 (1)连接OD.只要证明ODAC即可解决问题(2)连接OE，交AD于点K.只要证明AOE是等边三角形即可解决问题(1)证明：如答图，连接OD.OAOD，OADODA.AD平分BAC，OADDAC.ODADAC.ODAC.ODBC90.ODBC.BC是O的切线(2)解：如答图，连接OE，交AD于点K.E是的中点，.OEAD.OAKEAK，AKAK，AKOAKE90，AKOAKE.AOAEOE.AOE是等边三角形AOE60.S阴影S扇形OAESAOE22(cm2)第19题答图1. 如图，ABC80，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB的长为半径作O，要使射线BA与O相切，应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转(C)第1题图A. 40或80B. 50或100C. 50或110D. 60或120【解析】 (1)如答图，当BA与O相切，且BA位于BC上方时，设切点为P，连接OP，则OPB90.在RtOPB中，OB2OP，ABO30.ABA50.(2)如答图，当BA与O相切，且BA位于BC下方时，同(1)，可求得ABO30.此时ABA8030110.综上所述，旋转的