函数一轮复习专题第四讲 二次函数.doc

第四讲二次函数学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法.一、知识回顾：1、二次函数有以下三种解析式：一般式：_顶点式：_零点式：_其中是方程的根6、二次函数的基本性质（1）二次函数的三种表示法：y=ax2+bx+c；y=a(xx1)(xx2)；y=a(xx0)2+n。（2）当a0时，设f(x)在区间p，q上的最大值为M，最小值为m，令x0= (p+q)。若p，则f(p)=m，f(q)=M；若px0，则f()=m，f(q)=M；若x00恒成立，当_时，f(x)0恒成立。结论成立的条件是。2、 利用二次函数的图像和性质，讨论一元二次方程实根的分布：设是方程的两个实根，写出下列各情况的充要条件当时，_当在有且只有一个实根时，_当在内有两个不相等的实根时，_当两根分别在,且时，_2、二次函数在闭区间上的最大、最小值问题探讨设，则二次函数在闭区间上的最大、最小值有如下的分布情况：即图象最大、最小值对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：（1）若，则，；（2）若，则，另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开轴越远，则对应的函数值越小。二次函数在闭区间上的最值练习二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。例1、函数在上有最大值5和最小值2，求的值。解：对称轴，故函数在区间上单调。（1）当时，函数在区间上是增函数，故 ；（2）当时，函数在区间上是减函数，故 例2、求函数的最小值。解：对称轴（1）当时，；（2）当时，；（3）当时，改：1本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？解：（1）当时，； （2）当时，。 2本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？ 解：（1）当时，；（2）当时， ，；（3）当时，；（4）当时， ，。 例3、求函数在区间上的最小值。解：对称轴（1）当即时，；（2）当即时，；（3）当即时，例4、讨论函数的最小值。解：，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为直线，当，时原函数的图象分别如下（1），（2），（3）因此，（1）当时，； （2）当时，； （3）当时，以上内容是自己研究整理，有什么错误的地方，欢迎各位指正，不胜感激！二、基本训练：1、二次函数，若，则等于（ ） （A） (B) (C) (D)2、已知函数在区间上是增函数，则的范围是（ ）（A） (B) (C) (D) 3、方程有一根大于1，另一根小于1，则实根m的取值范围是_4、若成等比数列，则函数的图像与x轴的公共点个数为_5、函数的图像关于直线对称，则b=_三、例题分析：例1（1）设是关于m的方程的两个实根，则的最小值是 （ ） (A) (B)18 (C)8 (D)（2）若函数在区间上为减函数，则a的取值范围为（ ） (A) (0,1) (B)( (C) (D)（3）方程的两根均大于1，则实数a的取值范围是。例2. （05全国卷）已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为。（）若方程有两个相等的根，求的解析式；（）若的最大值为正数，求的取值范围。例3、不等式恒成立，求实数a的取值范围。例4、设（1） 求证：函数与图像有两个交点；（2） 设与图像交于A,B两点，A,B在x轴上射影为A1,B1，求的取值范围；（3） 求证：当时，恒有例5. 二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象经过点(1，0)，问是否存在常数a、b、c，使xf(x)(1+x2)对一切实数都成立？证明你的结论.四、作业：同步练习 g3.1015二次函数1、二次函数的图像的顶点在x轴上，且a,b,c为的三边长，则为 (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰三角形2、下列图中与的图像只可能是 3、已知函数且，则下列不等式中成立的是( )(A)(B) (C) (D) 4、已知函数的图像与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值区间是 (A) (B)(0,1) (C) (D)5、（05全国1）设，二次函数的图像为下列之一，则的值为 （A） 1 (B) -1 (C) (D) 6、不等式对一切恒成立，则a的取值范围是_7、二次函数的图像如图所示，记，则M与N的大小关系是_8、（04年北京卷.文理13）在函数中，若a，b，c成等比数列且，则有最_值（填“大”或“小”），且该值为_9、已知为二次函数，且，求的值。10、设函数在上有最大值4，求实数a的值。11、若不等式对一切实数x均成立，求实数a的取值范围。12、(05浙江)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)x22x ()求函数g(x)的解析式； ()解不等式g(x)f(x)|x1|； ()若h(x)g(x)f(x)1在1，1上是增函数，求实数的取值范围答案：基本训练：1、D2、A3、4、05、6例题：1（1）C（2）C（3）2、（）（）当的最大值为正数时，实数a的取值范围是3、4（2）5、存在唯一一组常数(,), 满足题没条件.作业：1、B2、D3、C4、D5、C 6、7、MN8、大 ； -3 9、010、3或11、12、（I）g(x). (II)原不等式的解集为-1, ；(III) 题型例讲题型一求二次函数的解析式【例1】已知二次函数yx2bxc的图象过点A(c,0)，且关于直线x2对称，则这个二次函数的解析式是.【答案】f(x)x24x3.或f(x)x24x【错解】由已知xc为它的一个根，故另一根为1.（若c=0，不能得出另一根为1.）所以1bc0，又2b4，所以c3.所以f(x)x24x3.【例2】已知二次函数yf(x)的图象的对称轴方程为x2，在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为2，求f(x)的解析式.【答案】f(x)x22x1。设f(x)ax2bxc (a0)，由已知有解得a，b2，c1，所以f(x)x22x1.【点拨】求二次函数的解析式，要根据已知条件选择恰当的形式，三种形式可以相互转化，若二次函数图象与x轴相交，则两点间的距离为|x1x2|.题型二二次函数的最值【例1】已知二次函数yx22x3在区间0，m上有最大值3和最小值2，则m的取值范围是.【答案】1,2.【例2】已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)2x的解集为(1,3).(1)若方程f(x)6a0有两相等实根，求f(x)的解析式； (2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围.【答案】（1）f(x)x2x. （2）a2或2a0.(1)因为f(x)2x0的解集为(1,3).所以f(x)a(x1)(x3)2xax2(24a)x3a.由f(x)6a0ax2(24a)x9a0，由知，(24a)24a9a05a24a10，所以a1或a.因为a0，所以a，代入得f(x)x2x.也可以列3个方程求解。(2)由于f(x)ax22(12a)x3aa(x)2，又a0，可得f(x)max.由a2或2a0.【点拨】(1)利用0；(2)利用配方法.题型三二次函数在方程、不等式中的综合应用【例1】已知f(x)(xa)(xb)2(ab)，是f(x)0的两根()，则实数，a，b大小关系为()A.ab B.ab C.abD.ab【答案】A.数形结合。【例2】设函数 f(x)ax2bxc (a0)，x1x2，f(x1)f(x2)，对于方程f(x) f(x1)f(x2)，求证： (1)方程在区间(x1，x2)内必有一解；(2)设方程在区间(x1，x2)内的根为m，若x1，m，x2成等差数列，则m2.【证明】(1)令g(x)f(x) f(x1)f(x2)，则g(x1)g(x2) f(x1)f(x2) f(x2)f(x1) f(x1)f(x2)20，所以方程g(x)0在区间(x1，x2)内必有一解.(2)依题意2m1x1x2，即2mx1x21，又f(m) f(x1)f(x2)，即2(am2bmc)axbx1caxbx2c.整理得a(2m2xx)b(2mx1x2)0， a(2m2xx)b0，故m2m2.【点拨】二次方程ax2bxc0的根的分布问题，一般情况下，需要从四个方面考虑：开口方向；判别式；区间端点对应二次函数的函数值的正负；对称轴x与区间的位置关系.【例3】（据97年高考题改编）设二次函数f(x)=ax+bx+c（a0），方程的两个根满足. 当时，证明.x设f(x)的图像关于x=m对称，证明：m【解析】：在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数的表达式，从而得到函数的表达式. 证明：由题意可知， ， 当时，.又， ， ：略，提示：利用两根和证明。点评：本题主要利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式。【例4】（2007湖北文）设二次函数，方程的两根和满足（I）求实数的取值范围；（II）试比较与的大小并说明理由【答案】（I）（II）【解析】法1：（）令，则由题意可得故所求实数的取值范围是（II），令 当时，单调增加， 当时，即法2：（I）同解法1（II），由（I）知， 又于是，即，故法3：（I）方程，由韦达定理得，于是故的取值范围是（II）依题意可设，则由，得，故点评本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力总结提高1.二次函数的表达式有多种形式，形式的选择要依据题目的已知条件和所求结论的特征而定.2.利用二次函数的知识解题始终要把握二次函数图象的关键要素：开口方向；对称轴；与坐标轴的交点.3.二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，相互渗透，解题时要注意三者的相互转化，重视用函数思想处理方程和不等式问题.例3已知对于x