一元函数积分4.25学.doc

一元函数积分学基本内容：原函数和不定积分的概念；不定积分的基本性质与基本积分公式；定积分的概念和基本性质；积分中值定理；变上限积分的导数；公式；（不）定积分的换元积分法及分部积分法；有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分；定积分的应用即利用定积分表达和计算一些几何量（如：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积已知时立体的体积）；广义积分不 定 积 分专题一 原函数和不定积分的概念(1)原函数：若，则称为在I上的一个原函数.(2)不定积分：在区间I上的原函数的全体称为在I上的不定积分，记为，即，其中为的任一原函数. 由定义可以得到： 或 ; 或 例1 设是连续函数的一个原函数，“”表示“”的充分必要条件是“”，则必有 （ ）A. 是偶函数是奇函数 B. 是奇函数是偶函数C. 周期函数是周期函数 D. 是单调函数是单调函数例2 设（即是的一个原函数），求解：对两边求导得，即练 已知，求f (x) 专题二 不定积分的计算一、用基本积分公式和性质计算二、第一类换元法又称凑微分法；常见的几种凑微分形式：三角函数积分总结三、第二类换元法又称变量代换：。（1）对一次根式如，直接令它们为；（2）对二次根式等，用三角变换：等；（3）倒变换（分母次数较高时）等。四、分部积分法：五、特殊函数类积分：有理函数、三角有理式和简单无理函数积分。1. 分段函数（or含绝对值）的不定积分注意一般要求该函数连续(or无第一类间断点)例1 设, 求及. 练 求. 2. 几种常见的技巧 “加一项、减一项”目的在于裂项例1 练 思： “分子分母同乘一项”有时与平方差等公式结合使用例2 练 “倒代换” 例3 练 “整体思维”例4 练 练 练 思： “递推关系”例5 练 3. 典型方法再论 “凑微分”例1 练 “变量代换”例2 练（含分部积分）例3 思： 例4 设，求 练 设,求.解：在中，令得 因为所以 “分部积分” 例5 设的一个原函数为,求例6 练 4. 几种特殊类型的积分总结（有理函数、三角有理式和简单无理函数积分等） 5. 其它例1 例2 设为的原函数，且当时，已知，试求。专题三 利用定积分定义的计算一、定义：。注：（1）积分区间有限，被积函数有界；（2）与分法及取法无关； （3）积分值与积分变量的选取无关：。 （4）项数无限增多的无穷小之和，若化成以下形式，可用定积分定义计算： 。更一般：=二、几何意义：在几何上表示介于之间各部分的代数和.三、性质： （1）可加性：（计算分段函数的定积分时需使用!）；（2）保号性：设，且，则：；特别，当存在，使时，（3）比较定理：，则：；（与定积分的不等式、极限等有关）（4） ，则：；（5）积分中值定理：设在上连续，则，使：.（用于定积分的变形）1. 利用定积分定义式求和式数列极限例1 求极限练 求. 求.例2 练 设在上连续,且,求. 求例3 练 2. 求定积分形式的数列极限（利用积分中值定理与比较定理）例1 设为常数，则 练 例2 设在0，1连续，求 练 例3 例4 设函数，（1）当n为正整数时，且时，证明；（2）求。思: 设是周期为的函数,证明:，并求专题四 定积分的计算一、牛顿莱布尼兹公式：设在上连续，则：。二、换元法与分部积分（与不定积分类似，注意第二类换元法的一些区别）；常用公式；（1）奇偶函数积分：（2）周期函数积分：是以T为周期的可积函数，则：；说明在任何长度为T的区间上的积分值是相等的，与起点无关。（3）华莱士公式：；（4）连续，则有如下常用公式： (A)(B) (C)注意计算分段函数（绝对值函数）的定积分，以及在计算中用到的积分换元、分部积分、奇偶性等方法。1. 可求出其原函数的定积分的例子例 2. 利用奇偶函数积分与几何意义的积分例1 = ；练 例2 求，使，其中例3 3. 分段函数的定积分一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解例1 设，求例2 练 思： 例3设在连续，试讨论在上的凹凸性4. 定积分中的变量代换例1 求证： 例2 连续，证明：并计算 思： 及等 例3 练 例4 （周期函数积分）：是以T为周期的可积函数，证明：；说明在任何长度为T的区间上的积分值是相等的，与起点无关.计算例5 利用之计算（比较与直接积分）与练 设在内连续,且,证明:(1)若为偶函数,则也为偶函数;(2) 若非增,则非减. 例如 例6 设在连续，偶函数，且满足：，（1）证明：； （2）用（1）求.例7 求证: .例8 利用变量代换得定积分的方程求之5. 定积分中的分部积分例1 设，求练 设，求思：（1）设连续可导，证明：（2）设在上有二阶连续导数,证明: 例2 如图，曲线的方程为，点（3，2）是它的一个拐点，直线与分别是曲线在点（0，0）与（3，2）处的切线，其交点为（2，4）。设具有三阶连续导数，计算定积分 5. 两类关于定积分的典型题目例1 设,求.练 （1）设,求.（2）连续，且，求例2设满足：，且，求：专题五 积分上限函数设在上连续，则：1. 基本概念与其求导公式例1 设，则 （ ） (A) F(x)在x = 0点不连续. (B) F(x)在(- , +)内连续，但在x = 0点不可导. (C) F(x)在(- , +)内可导，且满足. (D) F(x)在(- , +)内可导，但不一定满足.练 设，则在x = 0点处（ C ）。（A）极限不存在； （B）极限存在但不连续；（C）连续但不可导； （D）可导且。例2 求下列函数的导数（1）, （2）, （3）, （4）,（5）, （6）. （7）练 设是连续函数,求. 求.例3 设是连续函数，则下列函数中，必为偶函数的是：（ ）例4 设xoy平面上有正方形及直线：，若S(t)表示正文形D位于直线左下方部分的面积，试求。2. 与其它知识点的结合极限例1 练（1）设一阶连续可微,试求.（2）求（3）可导，求思：a，b，c为何值时，下式成立。无穷小例2 把时的无穷小量排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是：。 练 设有连续导数，且，当时，与 是同阶无穷小，则_连续例3 设，其中为连续函数，求，并讨论的连续性练 设连续，且，（A为常数），求并讨论 在的连续性方程的根例4 设函数在上连续，且，设（1）（2）在内恰有一根最值、极值、单调性例4 求的最大、小值例5 由所确定的函数.试讨论其极值点.例6 设函数上连续，单调不减，且，试证： 在上连续且单调不减（n0）。导数与原函数 例7 设, 求在的值例8 设连续，且 求练 证：定积分（分部积分