高中数学《二次函数性质的再研究》课件2 北师大版必修1

4 2二次函数的性质 1 y ax2 a 0 的图象二次函数y ax2 a 0 的图象可由y x2的图象各点的纵坐标变为原来的倍得到 其中a决定了图象的和在同一直角坐标系中的 2 y a x h 2 k a 0 的图象一般地 二次函数y a x h 2 k a 0 a决定了二次函数图象的开口大小及方向 h决定了二次函数图象的平移 而且 h正移 h负移 k决定了二次函数图象的平移 而且 k正移 k负移 a 开口方向 开口大小 左右 左 右 上下 上 下 二次函数y ax2 bx c a 0 的性质 二次函数在其对称轴的两侧单调性一定相反吗 提示 y ax2 bx c a 0 在其对称轴两侧的单调性一定相反 可以借助于二次函数的图象进行说明 二次函数图象的对称性 已知函数f x 2x2 3x 1 1 求这个函数图象的顶点坐标和对称轴 2 求这个函数的最小值 3 不直接计算函数值 试比较f 1 和f 1 的大小 思路点拨 首先把f x 配方得顶点式 从而得出 1 2 的结果 要比较f 1 和f 1 的大小 只比较 1和1与对称轴哪一个最近 讨论二次函数的性质一定要结合二次函数的图象 为了方便 通常画草图 有时可以省去y轴 利用单调性比较两个数值的大小 关键是利用对称性将它们转化到同一单调区间上 这里体现了数形结合及化归等重要思想方法 二次函数的值域 最值 求f x x2 2ax 1在区间 0 2 上的最大值和最小值 思路点拨 二次函数的对称轴x a变化 导致函数最值变化 当a 0时 由图 可知 f x min f 0 1 f x max f 2 3 4a 当0 a 1时 由图 可知 f x min f a 1 a2 f x max f 2 3 4a 当1 a 2时 由图 可知 f x min f a 1 a2 f x max f 0 1 当a 2时 由图 可知 f x min f 2 3 4a f x max f 0 1 解析 f x x a 2 1 a2 对称轴为x a 1 求函数在某区间上的最值 一般应先判定函数在该区间的单调性 2 求二次函数的最值时 应判断它的开口方向 对称轴与区间的关系 若含有字母 要根据对称轴和区间的关系对字母进行讨论 解题时要注意数形结合 2 已知二次函数f x x2 2x 3 1 当x 2 0 时 求f x 的最值 2 当x 2 3 时 求f x 的最值 3 当x t t 1 时 求f x 的最小值g t 解析 f x x2 2x 3 x 1 2 2 其对称轴为x 1 开口向上 1 当x 2 0 时 f x 在 2 0 上是单调递减的 故当x 2时 f x 有最大值f 2 11 当x 0时 f x 有最小值f 0 3 2 当x 2 3 时 f x 在 2 3 上是先减后增的 故当x 1时 f x 有最小值f 1 2 又 2 1 3 1 f x 的最大值为f 2 11 二次函数的单调性及应用 1 若f x x2 2ax在 2 上是增函数 求实数a的取值范围 2 已知函数f x x2 2ax的增区间为 2 求实数a的值 思路点拨 解答本题应对 1 2 两问中的题设条件进行分析 1 中区间 2 应为f x 增区间的子区间 2 中 2 中的 2 是增减的分界点 即x 2是对称轴 解析 f x x a 2 a2 其函数图象开口向下 对称轴为x a 1 f x 的增区间为 a 由题意 a 2 a 2 2 由题意 f x 的对称轴为x a 2 即a 2 二次函数的对称轴是其单调区间的分界线 解答此类问题的关键在于借助于函数的对称轴 通过集合间的关系来建立变量间的关系 得出参数的取值范围 3 若f x x2 2ax 在区间 0 1 上是增函数 在区间 2 3 上是减函数 求实数a的取值范围 解析 f x x2 2ax x a 2 a2 f x 的单调增区间为 a 单调减区间为 a 又 f x 在 0 1 上是增函数 在 2 3 上是减函数 0 1 a 且 2 3 a 1 a 2 1 抛物线y 2x2不具有的性质是 A 开口向下B 对称轴是y轴 C 与y轴不相交 D 最高点是原点 答案