高中数学 第一章 集合与函数概念 集合集合的含义与表示课件 新人教A版必修1

1 1集合 1 1 1集合的含义与表示 1 我们在初中接触过 正数的集合 负数的集合 等 集合的含义又是什么呢 解不等式2x 1 3得x 2 所有大于2的实数集在一起称为这个不等式的解集 平面几何中 圆是到定点的距离等于定长的点的集合 自然数的集合0 1 2 3 高一 5 班全体同学组成一个集合 请想一想 集合这个概念应该怎样描述 一般地 我们把所研究的对象如点 自然数 高一 5 班的同学统称为 把一些组成的总体叫做 通常用表示 2 元素与集合的关系用符号表示 3 集合中元素的性质 或称三要素 元素 元素 集合 大写拉丁字母A B C 确定性 互异性 无序性 1 给定的集合中的元素必须是确定的 我国的小河流 能不能组成一个集合 你能用集合的知识解释吗 答案 我国的小河流 不能组成一个集合 因为集合中的元素必须是确定的 而在我国的河流中到底多大才算小河流并无具体的标准 2 集合中的元素必须是互不相同的 由1 1 1 3组成的集合为 若a a2 1 则a 3 若构成两集合的元素是一样的 则称两集合 若集合 1 2 与集合 a 1 相等 则a 4 常见的数集符号 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 5 把集合中的元素一一列举出来 并用括起来表示集合的方法叫做 如大于 1且小于10的偶数构成的集合可表示为 1 1 3 相等 2 N N Z Q R 花括号 列举法 0 2 4 6 8 0 用列举法表示下列集合 1 方程 x2 1 x2 2x 8 0的解集为 2 方程 x 1 3的解集为 3 绝对值小于3的整数的集合为 1 1 4 2 2 4 2 1 0 1 2 6 用集合所含元素的表示集合的方法 称作描述法 具体方法是 在花括号内先写上表示这个集合元素的 再画一条竖线 在这条竖线后面写出这个集合中元素所具有的 它的一般形式是 x A p x 或 x p x 为代表元素 为元素x必须具有的共同特征 当且仅当 x 适合条件 p x 时 x才是该集合中的元素 此法具有抽象概括 普遍性的特点 当元素个数较多时 一般选用此法 共同特征 一般符号及取值 或变化 范围 共同特征 x p x 1 试用描述法表示下列集合 1 方程x2 3x 2 0的解集为 2 不等式3x 2 0的解集为 3 大于1小于5的整数组成的集合为 2 用列举法表示下列集合 1 6的正约数组成的集合 2 不等式2x 1 5的自然数解组成的集合 3 古代我国的四大发明组成的集合 4 A x 0 x 5且x N 5 B x x2 5x 6 0 x x2 3x 2 0 x 3x 2 0 x Z 1 x 5 解析 1 6的正约数为1 2 3 6 故所求集合为 1 2 3 6 2 不等式2x 1 5变形为x 3 因此它的自然数解为0 1 2 故所求集合为 0 1 2 3 古代我国的四大发明为 指南针 造纸 火药 印刷术 形成集合为 指南针 造纸 火药 印刷术 4 A 1 2 3 4 5 5 B 2 3 本节重点 集合的概念 集合中元素的三个特性及集合的表示方法 本节难点 集合中元素的性质的理解 正确理解概念 准确使用符号 熟练进行集合不同表示方法的转换是学好本节的关键 1 要辩证理解集合和元素这两个概念 1 符号 和 是表示元素和集合之间关系的 不能用来表示集合之间的关系 元素与集合之间是个体与整体的关系 不存在大小与相等关系 2 集合具有两方面的意义 即 凡是符合条件的对象都是它的元素 只要是它的元素就必须符合条件 2 深刻认识集合中元素的四种属性 1 任意性 集合中的元素可以是任意的对象 无论是数 式 点 线 人 还是其它的某种事或物 只要它们具有某种共同属性 集中在一起就能组成一个集合 我们把集合的这一性质称为元素的任意性 在中学 我们主要研究对象是一系列的数的集合或点的集合 2 确定性 判断一些对象是否可以组成一个集合 主要方法是 在观察任意一个对象时 应该可以确定这一对象要么属于这一集合 要么它不属于这一集合 3 无序性 在表示一个集合时 我们只需将某些指定的对象集在一起 虽然习惯上会将元素按一定顺序来写出 但却不强调它们的顺序 当两个集合中的元素相同 即便放置顺序完全不同时 它们也表示同一集合 例如 a b 和 b a 表示同一个集合 4 互异性 对于任意一个集合而言 在这一集合中的元素都是互不相同的个体 如 给出集合 1 a2 我们根据集合中元素的互异性 就已经得到了关于这个集合的几点信息 即这一集合中有两个不同的元素 其中的一个是实数1 而另一个一定不是1 所以a 1 且a 1 3 正确理解列举法 1 元素间用分隔号 隔开 2 元素不重复 3 对于含较多元素的集合 如果构成该集合的元素有明显规律 可用列举法 但是必须把元素间的规律显示清楚后才能用省略号 4 合理选用集合的表示方法列举法与描述法各有优点 列举法可以看清集合的元素 描述法可以看清集合元素的特征 一般含有较多或无数多个元素时不宜采用列举法 因为不能将集合中的元素一一列举出来 而没有列举出来的元素往往难以确定 5 要正确理解描述法用描述法表示集合时注意 1 弄清元素所具有的形式 即代表元素是什么 是数 还是有序实数对 点 等 2 元素具有怎样的属性 用描述法表示集合时 若需要多层次描述属性时 可选用联结词 且 与 或 等联结 若描述部分出现元素记号以外的字母时 要对新字母说明其含义或指出其取值范围 6 特别注意以下几种集合 这是我们研究集合时的主要研究对象 1 一般数集 2 特殊数集 如方程的解集 不等式的解集等 3 平面点集 4 图形集 7 集合语言集合语言是现代数学的基本语言 也就是用集合的有关概念和符号来叙述问题的语言 包括文字语言 符号语言 图形语言 要熟练地将集合的三种语言进行相互转化 8 解集合问题的关键解决集合问题的关键是弄清集合由哪些元素所构成 如何弄清呢 关键在于把抽象问题具体化 形象化 也就是把用描述法表示的集合用列举法来表示 或用图示法来表示抽象的集合 或用图形来表示集合 例如 在判断集合A x x 4k 1 k Z 与集合B y y 2n 1 n Z 是否为同一集合时 若从代表元素入手来分析它们之间的关系 则比较抽象 而用列举法来表示两个集合 则它们之间的关系就一目了然 即A 1 1 3 5 而B 1 1 3 5 A与B是同一集合 例1 下列各组对象 接近于0的数的全体 比较小的正整数全体 平面上到点O的距离等于1的点的全体 正三角形的全体 的近似值的全体 其中能构成集合的组数是 A 2组B 3组C 4组D 5组 分析 集合中的元素必须是确定的 解析 接近于0的数 比较小的正整数 标准不明确 即元素不确定 所以 构不成集合 同样 的近似值 没有给出取近似值的标准 如 四舍五入法 收尾法 去尾法 等 和位数 因此很难判定一个数 比如1 5 是不是它的近似值 所以 也不是一个集合 能构成集合 选A 下列各条件中 能够成为集合的是 A 与非常接近的正数B 世界著名的科学家C 所有的等腰三角形D 全班成绩好的同学 答案 C 解析 对于选项A B D没有明确的标准来衡量 故选C 分析 本题重在考查元素的互异性 需要结合实数的性质去思考 尤其是要准确认识根式的意义 若x 1 3 x3 则有 A x 0或x 1B x 1或x 3C x 0或x 1或x 3D x 0或x 3 答案 C 解析 x 1 3 x3 x 1或3或x3当x x3时x 0 1 由于x3 1 3 x 1 故x 0 1 3 故选C 例3 若集合 1 x 与 x x2 相等 求实数x的值 解析 1 x 与 x x2 两集合相等 两集合含有相同的元素即 x x2 一定含有 1这个元素由于x2 0 x 1 例4 将下列集合改为用符号语言描述 1 非负奇数集 2 能被3整除的整数的集合 3 第一象限和第三象限内的点的集合 4 一次函数y 2x 1与二次函数y x2的图象交点的集合 分析 从集合中元素 数或点 所满足的条件 具有的属性入手 联想有关的数学表达形式 解析 1 x x 2k 1 k N 2 n n 3k k Z 3 x y xy 0 点评 要重视同一数学对象的不同形态语言的表达方法及互译练习 如 普通语言符号语言 这对今后学习大有裨益 例5 用适当的方法表示下列集合 1 24的正约数组成的集合 2 大于3小于10的整数组成的集合 3 方程x2 ax b 0的解集 4 平面直角坐标系中第二象限的点集 分析 首先搞清楚集合的元素是什么 然后选用适当的方法表示集合 解析 1 1 2 3 4 6 8 12 24 2 大于3小于10的整数 x Z 3 x 10 4 5 6 7 8 9 3 x x2 ax b 0 4 x y x 0且y 0 点评 1 在表示集合时 选择表示法的原则为 让所表示的集合明确 直观 简捷 2 在 5 的方程的解集中只有一个元素 3 2 不要认为这是两个元素 表达为 3 2 用描述法表示下列集合 1 1 1 2 大于3的全体偶数构成的集合 3 在平面 内 线段AB的垂直平分线上所有的点 解析 1 x x 1 2 x x 3且x 2n n Z 3 P P在平面 内且PA PB 例6 下面三个集合 x y x2 1 y y x2 1 x y y x2 1 1 它们是不是相同的集合 2 它们各自的含义是什么 分析 对于用描述法给出的集合 首先要清楚集合中的代表元素是什么 元素满足什么条件 解析 1 由于三个集合的代表元素代表的对象互不相同 它们是互不相同的集合 2 集合 x y x2 1 的代表元素是x 当x R时 y x2 1有意义 x y x2 1 R 集合 y y x2 1 的代表元素是y 满足条件y x2 1的y的取值范围是y 1 y y x2 1 y y 1 集合 x y y x2 1 的代表元素是 x y 可以认为是满足y x2 1的数对 x y 的集合 也可以认为是坐标平面内的点 x y 构成的集合 且这些点的坐标满足y x2 1 x y y x2 1 P P是抛物线y x2 1上的点 总结评述 用描述法表示的集合 认识它一要看集合的代表元素是什么 它反映了集合元素的形式 二要看元素满足什么条件 对符号语言所表达含义的理解在数学中要求是很高的 希望同学们能逐步提高对符号语言的认识 总结评述 用列举法表示集合 就是要根据集合的一般特性 确定性 互异性 无序性 和集合本身的特征 把集合中的元素不重复 不遗漏 不计顺序地一一表示出来 例8 已知集合A是由方程ax2 2x 1 0 a R 的实数解作为元素构成的集合 1 1是A中的一个元素 求集合A中的其它元素 2 若A中有且仅有一个元素 求a的值组成的集合B 3 若A中至多有一个元素 试求a的取值范围 若a 0 则当且仅当方程的判别式 4 4a 0 即a 1时 方程有两个相等的实根x1 x2 1 此时集合A中有且仅有一个元素 所求集合B 0 1 3 集合A中至多有一个元素包括两种情况 A中有且只有一个元素 由 2 知此时a 0或a 1 A中一个元素也没有 即A 此时a 0 且 4 4a 0 a 1 综合 知所求a的取值范围是 a a 1或a 0 已知集合A x R ax2 x 2 0 若A中至少有一个元素 则a的取值范围是 分析 题中给出数集A满足的条件 解答此题就从此条件入手 逐步推出结论 例10 集合A x x 3n 1 n Z B x x 3n 2 n Z C x x 6n 3 n Z 对任意的a A b B 是否一定有a b C 并证明你的结论 错解 由a A 有a 3n 1 n Z 由b B 有b 3n 2 n Z 则a b 6n 3 n Z 故a b C 辨析 集合A是所有被3除余1的整数所组成的集合 集合B是所有被3除余2的整数所组成的集合 集合C是所有被6除余3的整数所组成的集合 易知1 A 5 B 而1 5 6 C 则a A b B 不一定有a b C 错解的根源在于将A B中的n看成同一个数 即a b不是任意的 而是互相制约的 从而破坏了a与b的独立性 正解 设a 3m 1 m Z b 3t 2 t Z 则a b 3 m t 3 当m t是偶数时 设m t 2k k Z 有a b 6k 3 k Z 则a b C 当m t为奇数时 设m t 2k 1 k Z 有a b 6k k Z 则a b C综上可知不一定有a b C 一 选择题1 给出下面四个关系 R 0 7 Q 0 0 0 N 其中正确的个数是 A 1个B 3个C 2个D 4个 答案 B 解析 0 7为有理数 故0 7 Q不正确 2 下列集合表示方法正确的是 A 方程 x 1 x 2 2 x 4 0的解集为 1 2 2 4 B 不等式x 5 0的解集为 x 5 0 C 所有奇数构成的集合为 x Z x 2k 1 D 所有偶数构成的集合为 x x 2k k Z 答案 D 点评 应注意C与D的区别 C中x Z 并没要求k Z 故是错误的 若改为 x x 2k 1 k Z 则为正确的 二 填空题3 用符号 或 填空 1 1 1 2 a a b c 3 3 4 2 4 0 N 5 Q 6 R 7 若A x x2 x 则 1 A 8 若B x x2 x 6 0 则3 B 9 若C x N 1 x 10 则8 C 10 若D x Z 2 x 3 则1 5 D 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 点评 如果a是集合A的元素 记作a A 否则记作a A N Q R分别表示正自然数集 有理数集 实数集 4 若 3 a 3 2a 1 a2 4 则实数a构成的集合为 答案 0 1 解析 当a 3 3时 a 0 此时集合为 1