【教学设计】《函数建模案例》（北师大）.docx

函数建模案例 教材分析用函数模型解决实际问题这部分内容，非常注重贴近实际生活，关注社会热点，要求学生对一些实际例子做出判断、决策，注重培养学生分析问题、解决问题的能力。解决函数建模问题，也就是根据实际问题建立起数学模型来。所谓的数学模型是指对客观实际的特征或数量关系进行抽象概括，用形式化的数学语言表达的一种数学结构。函数就是重要的数学模型，用函数解决方程问题，使求解变得容易进行。本节内容是安排在学生刚学完函数的相关知识，为学生建立起函数模型奠定基础。 教学目标【知识与能力目标】能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题。【过程与方法目标】体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法，体会函数拟合的思想方法。【情感态度价值观目标】深入体会数学模型在现实生产、生活及各个领域中的广泛应用及其重要价值。 教学重难点【教学重点】收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。 【教学难点】对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。 课前准备 电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。 教学过程一、导入部分2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件。这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要、分析报告说，就全国而论，若非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人。这项研究在充分考虑传染病控制中心每日发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测。二、研探新知，建构概念 1.电子白板投影出上面实例。这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测。2.教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。（1）在现实世界中，存在着许许多多的函数关系，建立合适的函数模型是解决这种关系的关键。本例建立数学模型的过程，实际上就是对收集来的数据信息进行拟合，从而找到近似度比较高的拟合函数。在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型表示，通常可以表示为yN(1p)x(其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间)的形式另外，在加速直线运动中，物体运动的路程与时间的关系用二次函数模型表示，出租车的计费是采用分段函数模型等等。（2）用数学眼光看问题，用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫做数学建模，可以用图表示数学建模的过程。三、质疑答辩，发展思维 1.举例：据市场分析，北京某海鲜加工公司，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元。写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系。已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？解： (1)由题意可知，ya(x15)217.5，将x10，y20代入上式，得2025a17.5解得.所以(2)设最大利润为Q(x)，则Q(x)1.6xy=因为x2310，25，所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元。2.思考：建立函数模型的关键是什么？解：关键在于审题，而要准确理解题意，又必须过好三关：事理关：通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口。文理关：将实际问题的语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系。数理关：在构建数学模型的过程中，对已有数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化，构建了数学模型之后，要真正解决数学问题，就需要具备扎实的基础知识和较强的数理能力。3.例题:例1某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个。现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值。解：设每个提价x元(x0，xN)，利润为y元。每天销售总额为(10x)(10010x)元，进货总额8(10010x)元，显然10010x0，即x10，则y(10x)(10010x)8(10010x)(2x)(10010x)10(x4)2360(0x10，xN)。当x4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元。答：当售价定为14元时，可使每天所赚的利润最大，最大利润为360元。例2 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下列问题：(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式。(2)计算10年后该城市人口总数。(精确到0.1万人)(3)计算大约多少年后该城市人口将达到120万人。(精确到1年)(取1.012101.127，log1.0121.2015)解：(1)1年后该城市人口总数为：y1001001.2%100(11.2%)；2年后该城市人口总数为：y100(11.2%)1001.2%(11.2%)100(11.2%)2；3年后该城市人口总数为：y100(11.2%)2100(11.2%)21.2%100(11.2%)3；x年后该城市人口总数为：y100(11.2%)x(2)10年后该城市人口数为：100(11.2%)10112.7(万)(3)设x年后该城市人口将达到120万，即100(11.2%)x120，1.012x1.20xlog1.0121.2015(年)答：人口总数y与年份x间的函数关系是y100(11.2%)x，10年后的城市人口总数约为112.7万，大约15年后该城市人口将达到120万人。4.巩固练习（1）某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林() A14 400亩B172 800亩 C20 736亩 D17 280亩 解：设年份为x，造林亩数为y，则y10 000(120%)x-1， x4时，y17 280，故选D。答案：D (2) 据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是()Ay0.3x800(0x2 000，xN*)By0.3x1 600(0x2 000，xN*)Cy0.3x800(0x2 000，xN*)Dy0.3x1 600(0x2 000，xN*)解析：由题意知，变速车存车数为(2 000x)辆次，则总收入y0.5x(2 000x)0.80.5x1 6000.8x0.3x1 600(0x2 000，xN*)。答案：D （3）1995年我国人口总数为12亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%， 问经过多少年我国人口总数将达到或接近14亿？16亿？18亿？(精确到0.1) 解析：设我国人口总数在x亿时，经过的年份为y.由题意，12(11.25%)yx，即.利用换底公式得将x14，16，18分别代入解析式，得y12.4，23.2，