概率论与数理统计习题详解（周概容）——习题8解.doc

习题八 假设检验8.1 判断下列“假设H”所属的类型：(1) 服从正态分布，H： (2) 服从指数分布，H：(3) 服从二项分布，H：(4) 服从泊松分布，H：(5) 服从标准正态分布(6) 服从0-1分布解 （1），（2），（3）是参数假设，复合假设；（4）是参数假设，简单假设；（5）是非参数假设，简单假设；（6）是复合假设，形式上是非参数假设，但是其分布可以用有限个参数表示为； 当已知时是简单假设，当未知时是复合假设8.2关于正态总体的数学期望有如下二者必居其一的假设，:=0和:=1考虑检验规则：当时否定假设接受，其中是来自总体X的简单随机样本的样本均值试求检验的两类错误概率解 易见，在假设“：=0”成立的条件下，；在假设“：=1”成立的条件下，因此，有8.3 关于泊松随机质点流的强度 (每分钟出现的随机质点的期望数) 有两个二者必居其一的假设，：=0.5和：=1以表示十分钟出现的随机质点数设检验规则为：当7时否定接受，求检验的第一类错误概率和检验的第二类错误概率 (只要求写出表达式) 解 由于服从参数为10的泊松分布，可见8.4 假定总体，关于总体的数学期望的假设；基于来自总体X的容量为9的简单随机样本，得样本均值求假设H0的水平0.05的否定域 解 在已知=1的情况下，假设的检验的统计量因此假设H0的水平=0.05的否定域为8.5* 关于6台计算机有两个假设，：最多两台受到病毒侵袭考虑检验规则：任意选两台进行检查，只要发现一台有病毒就否定，试求各种情形下的检验的两类错误概率解 设是六台计算机中有病毒的台数；是随意（非还原）选出的两台中有病毒的台数；=0,1,2，=3,4,5,6；则，(都是复合假设)；是的否定域，而记，表示第一类错误概率；而 表示第二类错误概率因此，有将计算结果列在下面的表中练习题10-2计算表假 设有 病 毒 台 数0 1 23 4 5 6第一类错误概率0 1/3 3/5第二类错误概率1/5 1/15 0 08.6 总体是来自总体的简单随机样本，设是样本均值，记，其中是已知常数记，证明(1) 对于假设，以做否定域的检验的第一类错误概率等于0.025；(2) 对于假设，以做否定域的检验的第一类错误概率小于0.025证明 (1) 易见，对于假设，统计量因此，第一类错误概率(2) 易见，对于假设，统计量其中因此，当假设成立时，有即第一类错误概率小于0.0258.7 根据设计要求，一种零件内径的标准差不得超过0.30毫米自一批产品中随意抽取了25件，测得其内径的标准差为0.36 mm问抽验结果能否说明这批零件内径的标准差显著地增大了？解 由条件知，样本容量，样本标准差记未知内径的标准差为，而，则需要检验假设检验的统计量为；由自由度为24的分布上侧分位数表（附表5），查出水平相应为0.05和0.10的两个分位数由于33.19634.5636.415，可见在水平0.10下内径的标准差显著地增大了，在水平0.05下不显著8.8 两家实验室用同一方法各对某种不锈钢制品的8份试样作含碳量分析，得如下数据：实验室甲： 0.18 0.12 0.08 0.19 0.13 0.32 0.27 0.22实验室乙： 0.11 0.28 0.24 0.31 0.46 0.14 0.34 0.30试利用统计检验说明，(1) 两家实验室分析结果的标准差是否相同；(2) 两家实验室分析结果的平均水平是否相同解 设两家实验室分析结果，问题要求检验假设由所给统计数据，得样本均值和样本方差：(1) 检验，使用检验，检验的统计量为查分布上侧分位数表（附表6.6），得自由度（7,7）和水平0.05的分布上侧分位数，以及水平0.95的分布上侧分位数；由于统计量，且0.260.533.79，然而，因此可以认为假设成立，即(2) 检验假设，由于，可以使用检验两个总体的联合样本方差和检验的统计量分别为因为统计量=1.555，而由分布的双侧分位数表可见， 故在水平0.20下可以否定假设，但是在水平0.10下不能否定假设因此，认为两家实验室分析结果的平均水平相同有些勉强8.9 由同一台机床加工同一种零件，每周更换一次刀具现在从周一和周末产品的中各随意抽取了若干件，测定零件的内径，得如下数据（单位：mm）：周一产品：11.35 11.33 11.21 11.18 11.22 11.36周末产品：11.08 11.38 11.10 11.20 11.02 11.42 11.36 11.25假设批量生产的零件的内径服从正态分布律，而且刀具的磨损是引起加工精度变化的惟一原因试通过统计检验说明，周末产品的精度是否比周一明显降低了（取显著性水平）解 分别以和表示周一和周末产品的内径，则根据条件问题的要求检验假设，而备选假设为两个样本的容量分别为，；经计算可得，检验的统计量，其分子和分母自由度7和5；由分布水平0.10上侧分位数表查得=3.37，可见假设的否定域为，现在，因此不能否定假设，从而可以认为加工精度无显著变化8.10 为校正一普通天平，将在该天平上称量的质量为100 mg 的试样，分别在标准分析天平上进行称量，的如下数据：99.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 99.5 102.1 100.5假设称量结果服从正态分布律，问普通天平的称量结果与标准天平有无显著差异？解 以表示标准天平的称量结果，则根据题设，要求检验假设，采用检验这里，样本容量，样本均值，样本标准差；检验统计量统计量服从自由度为的分布；因为统计量=0.00495，而由分布的双侧分位数表可见自由度为8的分布水平双侧分位数为0.262，而统计量，可见差异极不显著8.11 对某种食品的质量管理标准规定：每袋平均净重500 g，标准差不大于10 g现在从要出厂的一批这种袋装食品中随意抽取了14袋，测量每袋的净重，得如下数据：500.90，490.01，501.63，500.73，515.87，511.85，498.39，514.23，487.96，525.01，509.37，509.43，488.46，497.15假设这种食品每袋的重量服从正态分布试在显著性水平=0.05下，检验这一批食品每袋平均净重和标准差是否符合标准解 问题的要求检验假设和假设样本容量给14；经计算可得=503.64，=11.11，=123.43(1) 检验假设，属于表8.3中的情形1，用检验，有=1.23由表8.3知的否定域为V=由（6.27）式知统计量自由度为=13的分布将n=14，=503.64，S=11.11代如上式，得=1.23由附表4查出自由度为13的分布水平0.20和0.30的双侧分位数：=1.350 和 =1.079可见检验的水平p满足：0.20p0.30，故抽验结果不能否定假设“=500克”，但接受此假设的根据也不充分(2) 检验假设，属于表8.4中的情形2，用检验，有=16.05由附表6查出自由度为13的分布水平0.10和0.30的上侧分位数：=19.812，=15.119由此可见检验的实际显著性水平p满足0.10p0.30，故否定接受假设都比较勉强，即难以确认标准差是否符合质量管理标准8.12 某种电气元件的电阻值的原设计规格为2.64 现在抽取了采用新工艺生产的36个元件的平均电阻值为2.61 ，标准差 假设在正常情况下电阻值服从正态分布，问新工艺下产品的电阻值是否显著地降低了？解 由条件知电阻值；由来自的容量为的简单随机样本，测得样本均值=2.61，样本标准差=0.06；需要处理假设检验问题：和采用检验，检验的统计量；统计量服从自由度为的分布由自由度为35的分布双侧分位数表（附表4）可见介于2.704和2.750之间，由于，可见在显著性水平=0.01下应否定，即新工艺下产品的电阻值显著地降低了8.13 某纺纱厂为比较A,B两个品种的棉花的质量，分别从用两种棉花纺出的纱中抽取了若干样品，测定其抗拉强度和，得如下数据：品种A：1.58 1.56 1.49 1.43 1.60 1.52 1.47 1.56；品种B：1.42 1.45 1.46 1.34 1.38 1.54 1.38 1.51 1.40假设两种纱的强度都服从正态分布：，问两种纱的平均强度差异是否显著？显著性水平如何？解 这里两个样本容量分别为8和9经计算，得样本均值=1.53和=1.43，样本标准差=0.06和=0.07；=0.07；=0.73； =2.94由自由度为（7,8）的分布上侧分位数表（附表6）查得水平0.025和0.975的两个分位数：，由于=0.73，而且0.200.732.131，故应否定假设于是，两种棉纱的抗拉强度在水平0.05下差异显著，因此可以认为棉花品种A比品种B明显地好但是，由于t=2.944.318，可见应否定假设，说明制品A耐磨性明显高于制品B，显著性水平小于0.00058.15 假设一家纺织厂拟向甲、乙两家纱厂购买一批棉纱，为此抽取了一定容量的样本，并测量棉纱的抗拉力强度，得如下表的数据：样 本甲 厂乙 厂容量均值方差8=97=2510=104=9假设甲、乙两厂棉纱的抗拉力强度问乙厂产品的平均的抗拉力强度是否明显高于甲厂产品？解 显然可以认为和相互独立，其联合样本方差(1) 首先检验假设，使用统计量，其自由度为（7,9）由附表6查得，由于=2.78，而0.272.782.36，故应否定，认为两架高温计的测定结果有显著差异8.18 有9名运动员进业余体校接受体能训练下面表中是他们在入校时和一周后体能测试的得分：运动员Nok123456789入学时得分Xk767157497069226559训练后得分Yk818552527063338362k =XkYk51453067183假设得分服从正态分布律，试在水平下，判断运动员的体能训练效果是否显著？解 分别以X和Y表示训练前后的得分X和Y显然不独立因此不能用上一题的方法处理，考虑随机变量由条件知服从正态分布问题可以归结为假设 或 的检验：若假设被否定，则说明训练效果显著假设 或 的检验，可以化为的检验，使用t检验数据表中的最末一行可以视为“来自总体Z的简单随机样本值”，样本容量为n =9检验的统计量为，将样本均值=4.333和样本方差S=7.937代入上式，得统计量得对于自由度n1=8，由附表3查出分布的双侧分位数，可见假设的水平0.10否定域为由于统计量t的值，可见不能否定假设，从而说明训练效果不显著8.19 一般情况下，某火车站停车场平均每辆车的停放时间为40分钟今天统计了60辆汽车的停放时间，测得平均停放时间为45分钟，标准差为20分钟问能否说明今天每辆汽车的平均停放时间比一般显著偏长？解 设是每辆车的停放时间这里，并不假定服从正态分布，但由于样本容量60充分大，可以用近似的检验：对于充分大的样本容量，在成立的前提下近似地需要检验假设在显著性水平下，当时否定假设由题的条件，计算统计量的值，得1.94因为，所以在水平0.05下应否定假设，从而可以认为当天的平均停放时间比一般显著偏长8.20 某工厂的经验表明，在接到该厂产品广告的客户中，实际订购产品者占8%现该厂用一种新形式向1000家客户发出广告，结果有100家订购了产品问新形式的广告比原来的广告效果是否显著提高了？（= 0.05）（6.34）解 问题可归结为假设的检验设表示接到广告后订购产品的客户数，则服从二项分布由于充分大，可用正态分布公式近似对给定的显著性水平0.05，查表得，于是假设的否定域为 由,，因此检验统计量由于，故否定假设，即认为新广告比原广告的效果显著提高了（B）8.21 检验的显著性水平是(A) 第一类错误概率 (B) 第一类错误概率的上界(C) 第二类错误概率 (D) 第二类错误概率的上界 解 应选（B）构造显著性检验的否定域，一般依据的是所谓“小概率原则”：指定一个可以认为是“充分小”的数（01）, 并且认为概率不大于的事件是“实际不可能事件”，即认为这样的事件在一次试验或观测中实际上不会出现对于只控制第一类错误概率的显著性检验，小概率原则中的所规定的第一类错误概率上界就是检验的显著性水平因此应当选（B）8.22 考虑正态总体和设和是分别来自和的简单随机样本，样本均值分别为和，和相应为样本方差，则检验假设 (A) 使用检验 (B) 要求(C) 使用检验 (D) 要求 解 应选（C）方差和的比较，基于样本方差和的比较，其比值就是统计量因此检验假设使用检验此外，检验用于一个正态总体的方差和给定标准值的检验，不能处理假设的检验；假设的检验也不要求（B）和（D）成立8.23 考虑正态总体和相互独立，其中4个分布参数都未知设和是分别来自和的简单随机样本，样本均值分别为和，样本方差相应为和，则检验假设H0：使用检验的前提条件是(A) (B) (C) = (D) 解 应该选（C）因为检验使用统计量，其中是两个总体的联合样本方差：只有当选项（C）即=成立时才能导出统计量的抽样分布分布，并且根据分布来构造检验8.24 假定总体，关于总体的数学期望有如下假设：，其中是已知常数；是来自总体X的简单随机样本，是样本均值，是样本方差，是二阶样本中心矩（即未修正样本方差），则假设的检验使用统计量(A) (B) (C) (D) 解 应该选（D）一个正态总体的数学期望与给定值的比较，在总体方差未知的情形下，使用检验；在假设成立的条件下检验的统计量应服从分布由于都包含未知参数，所以根本不是统计量，因此不能用来进行统计检验，故选项（A）和（C）都应排除对于样本标准差，熟知在假设成立的条件下，即当总体时，统计量服从自由度为的分布，由此可见统计量不可能服从分布，从而选项（B）也是错误选项于是，只有（D）是正确选项事实上，统计量可以写成其中服从自由度为的分布；此外，由于正态总体的样本均值和样本方差相互独立，知相互独立因而由服从分布的随机变量的典型模式，可见统计量服从自由度为的分布于是，（D）是正确选项8.25 假定总体，关于总体X的方差有如下假设：，其中是已知常数；是来自总体X的简单随机样本，是样本方差，是二阶样本中心矩（即未修正样本方差）；则假设的检验可以使用统计量(A) (B) (C) (D) 解 应该选（B）由正态总体的抽样分布，对于样本方差，统计量服从自由度为的分布，并且利用统计量来构造假设：的否定域由于，可见假设的检验可以使用统计量，因此（B）是正确选项，而（D）是错误选项由于和都含未知参数，因此根本不是统计量，所以（A），（C）和（D）都是错误选项，只有（B）是正确选项8.26 将一枚硬币重复掷500次，结果正面出现了225次，问在水平0.05下是否可以认为次硬币均匀对称？解 以表示第次掷正面出现的次数（0或1），以表示其算术平均值，以表示每次掷硬币出现正面的概率，问题要求检验假设：根据试验结果在此假设下根据棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，统计量近似地服从；将代入上式，的统计量；熟知水平0.05双侧分位数假设的水平0.05否定域为，故由，可见应否定，说明可以认为此硬币不均匀对称8.27 假设有两个相互独立的正态总体和Y为已知常数；和分别为来自总体和的简单随机样本；和与和，相应为样本均值与样本方差；是联合样本方差证明，(1) 对于任意已知常数，统计量服从自由度为的分布；(2) 设，求下列各假设的否定域：解 由条件知和，因此，则其中服从自由度为的分布于是，由服从分布的随机变量的典型模式知，统计量服从自由度为的分布(2) 由表8.3可见，假设的水平否定域相应为8.28 在某高校新生名单中随意抽选了200人，其中80人来自农村以p表示来自农村的新生的比率问在显著性水平0.05下是否可以认为p不超过35解 由于n=200充分大，可以利用正态分布进行近似计算需要检验假设H0：0.35检验的统计量表示随意抽选的200名新生中来自农村者的人数；，则根据棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，近似地服从正态分布，其中，即近似地因此的水平近似0.05的否定域为，其中由标准正态分布双侧分位数表（附表2）可以查出由于，可见，故在水平0.05下应否定，而在水平0.10下不能否定，即在水平0.05下不能认为来自农村的新生的比率p超过35，而在水平0.10下可以8.29 某城市为比较两个城区居民家庭的人均收入，进行抽样调查: 在甲区调查的250户中，有90户人均收入低于全市人均收入水平；在乙区调查的150户中，有5户人