仿射几何及其在初等几何的应用

-仿射几何及其在初等几何的应用冯朝华摘要：数学概念的辨证性质，渗透贯穿在数学各个部分之中，数学概念是研究数学性质的最基本的条件，我们从仿射变换的有关概念入手，了解仿射几何所研究的几何通过仿射变换的不变性质和不变的数量关系以及经过变形后的形状和位置关系，并讨论仿射几何在初等几何中的一些应用。关键字：平行射影 简比 仿射性 仿射量 共线点图1-1定义1 对于a和a是平面不平行的两条直线，设l为平面上一条直线，通过直线a上的诸点A，B，C，D，作l的平行线，交a于A，B，C，D，这样便定义了直线a到a的一个映射。称为透射仿射(平行射影)，a上的点为原象点，a上的点为象点，l为平行射影的方向，记这个透射仿射为T，则写A=T(A)。图1-2有了以上的定义后，我们来观察一种较常见的几何变形平面到平面的透射仿射。如下图所示，设与为空间中的两个平面，l是跟这两个平面都不平行的方向(向量)。平面上的直线a，对过直线上的点A作平行于l的直线交平面于点A，用同样的方法可作出点B和点C的对应点B，C。于是便建立了平面到的对应关系。称为到依方向l的透射仿射。根据初等几何的知识，我们很容易可以验证这种平行投影具有以下的性质：与之间的点建立一一对应关系，即上的点通过变换成为上点；上的直线变成了上的直线； 若一个点A在l上，则A的对应点A也应在l的对应直线l上； 上平行的两直线变到上的两条直线也是平行的。直线上的三点的“单比(简比)”保持不变，也就是如果A,B,C是上共线的三点，A，B，C分别是它们的象点，则。我们把称为透射仿射具有同素性，把满足称为透射仿射具有结合性。 而满足则称为透射仿射具有平行性。这是二平面间的透射仿射变换的概念和一些性质，利用此可以建立仿射变换的概念。定义2 如果有1，2，n+1个平面且i和i+1(i=1，2，n)两个平面间建立透射仿射变换，就形成了一个透射仿射变换链，最初一个平面1和最后一个平面n+1之间的一一对应就叫仿射变换。所以仿射变换是由组成它的透射仿射变换来决定的，也就是说，透射仿射变换是特殊的仿射变换。仿射变换应该是有限次透射仿射变换的乘积。如果平面与平面n+1重合，则到的仿射对应叫做平面到自身的仿射变换。由上述可知，透射仿射变换和仿射变换是有区别的：1、 透射仿射变换的对应点连线相互平行的，而在一般情况下，仿射变换的对应点的连线是不平行的。当1/2/n+1或是1，2，n+1共线时，1到n+1的对应点的连线是平行的。(证明略)(反之则不真)2、 二平面的透射仿射变换，当两平面相交时，其交线为自对应轴，也就是说，交线上的每个点都是自对应的。而两平面的仿射变换一般没有自对应轴。仿射几何是研究仿射不变性和仿射不变量的学科。所谓仿射不变性和不变量是指：图形经过仿射变换后不改变的性质。也有称之为仿射性。图形经过仿射变换后不改变的量，称为仿射不变量，或叫做仿射量。根据仿射的定义可知到，同素性，结合性是最基本的仿射不变性，而共线三点的单比不变则是最基本的仿射不变量。定理1 二直线间的平行性是仿射不变性证明：设a，b是平面内的两条平行线，a，b是它们在平面内的仿射映象，因此只需证明a/b。图1-3若a与b不平行，则在平面中必相交于一点P，且使P是P的原象点，那么由于仿射保留结合性，点P应该既在a上又在b上，既是说a和b是相交而不是平行，矛盾！所以a/b，所以命题成立。于是进一步可知：推论1.1 平行四边形是仿射不变图形。因为两组对边分别平行，通过仿射变换后也应该是分别互相平行。推论1.2 两直线的相交性是仿射不变性。推论1.2.1 共线的直线经过仿射变换后任变成共点的直线。推论1.2.2 梯形是仿射不变图形。例1 线段的中点具有仿射不变性。证明：设C是线段AB的中点，且在仿射变换下，AA，BB，CC。由仿射变换保结合性，故C在直线AB上，又因为共线三点的单比是仿射不变量，于是有即C任是AB的中点。所以，线段的中点具有仿射不变性。定理2 两平行线段之比是仿射不变量在此用综合法来证明。证明：如下图，已知AB/CD，经过仿射变换后，AB的象为AB，CD的象为AB，下证。图1-4由于仿射变换保持结合性，可知AD的象为AC。作 BE/CD于E则ABCD为平行四边形，AB/CDAC/BE。若E的对应为E，由结合性可知，E在CD上。BE的象为BE。由仿射变换保平行性，可知AC/BE。由AB/CD，可知AB/CD，即AB/CE。ABEC为平行四边形。AB=CE又（DEC）=DEC）而EC=BA即推论2.1 证明一条直线上两线段的比是仿射不变量。证明：如下图，直线l有两线段AB和MN，而 (ABM)和(BNM)是仿射不变量图1-5 也是不变量。定义3 笛氏坐标系在仿射对应之下的象叫做仿射坐标系。在此引入仿射变换的代数形式：对于笛氏坐标系的点P（x，y）,通过仿射变换T后，在仿射坐标系的象为P（x，y），其中其中满足条件定理3 两个三角形面积之比是仿射不变量。推论3.1 两个平行四边形面积之比是仿射不变量。推论3.2 两个封闭图形面积之比是仿射不变量。仿射变换的反射不变性和不变量及其一些性质使一些一般性问题的解决可以通过仿射变换，变成特殊情形处理，使之以解决。下面举例说明仿射变换在初等几何中的应用。例2 三角形两边的中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半。分析：ABC是等边三角形，E、F分别是AB，AC的中点，很容易知道EF/CD，且。图1-6对于任何的三角形，存在一个仿射变换T使AA，BB，CC，而仿射变换中，E的象为E，F的象为F，分别是AB，AC的中点，又由仿射变换的平行性和保平行线段之比不变，因此EF/BC，且。例3 试证：连接平行四边形的一个顶点到对边中点的的直线三等分对角线。证明：我们作一个由两个等边三角形和成的菱形ABCD，E，F，M，N是个边的中点，很容易证明AE、CM、BD交于点P，AM、CF、交于点Q，而且BP=AP=AQ=PQ=QD，即P，Q三等分BD。因为平行四边形是仿射图形，任意的两个平行四边形是仿射全等的，所以唯一存在一个仿射变换，使得AA，BB，CC，DD。M，N，E，F的对应点分别是M，N，E，F。图1-7根据以上的作法，由仿射变换保同素性和结合性可知，PP，QQ，P是AE，CM，BD的公共点，Q是AN，CF，BD的交点。再由仿射变换保持直线上两段线段的比不变，于是有BP=PQ=QD，所以P，Q三等分BD。仿射变换有时可以容易地解决共点和共线的问题例4 在梯形ABCD中，AD/BC，E，F分别为上、下底边的中点。AC、BC交于G，BA、CD交于M，证明：M、E、G、F共线。分析：此题为点共线的问题，考虑梯形有一对对边平行，考虑是否能由特殊的等腰梯形来转化，进一步考虑是否能在一个等腰三角形中截取？证明：任作一个等腰三角形MBC，因为任意两个三角形是仿射等价的，所以一定存在唯一的一个仿射变换T，使(MBC)T=MBC，其中MM，BB，CC，在MB上取一点A，使(MBA)=(MBA)。过A作AD/BC与MC交于D。图1-8连BD、AC，MF容易证明，在等腰梯形中，两底中点，两对角线交点，两腰交点，这四点共线，即M，E，G，F共线。根据以上作法，仿射变换保同素性和结合性。所以，AA。又因为(ACD)=(ACD)所以DD。所以由M，E，G，F共线可知M，E，G，F共线。类似的，我们可以得到另一个结论：若四边形两组对边的交点的连线与四边形的一条对角线平行，那么，另一条对角线的延长线平分上述的连线。引理1（帕斯卡定理）若六点形的六个顶点落在圆上，并且它的三对对边分别相交，则这三个交点共线。（由于篇幅，证明略）例5 若椭圆内接四边形ABCE的对边都不平行，过点A，点C的切线的交点为K，AB与CE的交点为P，BC于EA的交点为Q，证明：P、K、Q共线。因为圆的仿射图形是椭圆，仿射是可逆的，也就是说存在为一的一个仿射变换使圆O变成椭圆O，由于仿射变换的同素性和结合性，要证明P、K、Q共线，只需证明P，K，Q共线。证明：存在唯一的仿射变换，使椭圆O通过变换变成圆O，由于仿射变换的同素性和结合性可知，椭圆的内接四边形ABCE的对应图象为四边形ABCE，AA，BB，CC，EE显然，A，C是圆O的切点，P，Q分别是P，Q的对应点，K K，因为仿射变换是可逆的，而且仿射变换的逆变换仍为仿射变换，根据仿射变换的结合性可知，若P，K，Q共线，则可知P，K，Q共线。下证P，K，Q共线。图1-9四边形ABCE可以看成是退化了的六点形，其中假定A=D，C=F，A和D的连线是过A的切线，同理，CF的连线为过C的切线。因为点P是AB，CE的交点，由仿射变换保结合性可知，P是AB，CE的交点。同理得，Q是AE，BC的交点，K是过A的切线和过C的切线的交点。又由帕斯卡定理可知，圆内接且对边换不平行六点形的三对对边的交点共线，所以，P，K，Q共线。所以，由仿射变换保结合性，故P，K，Q共线。例6 证明椭圆的外切三角形ABC，顶点与对边上的切点连线交于一点。分析：此题是关于线共点的问题，由于椭圆的一般性以及三角形的一般性，用初等几何比较难入手，但可以用仿射几何的方法进行转化，变成特殊的圆以及正三角形来加以研究。证明：由于容易证到一个正三角形ABC，其内切圆在对边上的切点与顶点连线交于一点K，可以用仿射变换方法。因对于ABC与ABC存在唯一的一个仿射变换，使AA，BB，CC，(如下图)图1-10由于仿射变换保持结合性不变，ABC的内切圆与各边切点分别为A1，B1，C1由于仿射变换是一一变换，切点任应变为切点。所以A1A1，B1B1，C1C1，KK。所以由AA1BB1，CC1共点可知A1A，B1B，C1C共点K。仿射变换保持闭合图形面积的性质在一些面积问题的解决方面提供了直观的解决方法。例7 三角形的三条中线把三角形分成面积相等的六等分。证明：对于等边三角形ABC，K是三角形三条中线的交点，容易证明，三条中线把三角形平分为等面积的六份。图1-11因为任意的两个三角形是仿射全等的，所以存在唯一的一个仿射变换，使得AA ，BB，CC，三边的中点对应点为E，F，G。由仿射变换保同素性和结合性，知AE，BF，CG为三角形ABC的中线，因为仿射保持闭合图形的面积之比不变，所以由三条中线把三角形分成的六部分面积相等，命题得证。例8 在平行四边形ABCD中，EF/AC，E在AB边上，F在BC边上。求证AED和CDF面积相等。分析：如右图图1-12由于平行四边形的一般性，以及没有确定的度量关系，如用初等几何的面积公式以及全等的面积关系没法得到命题的结论的。于是可以考虑到仿射变换中保平行性，结合性，以及对应闭合曲线所围的面积比为常数的特性解决类似问题。证明：连AC任作一等腰直角三角形ABC，则一定存在唯一的一个仿射变换使AA ，BB，CC，由此变换保平行性、结合性可知DD且四边形ABCD为一正方形。图1-13在正方形ABCD中容易证明即又经仿射变换，AEDAED，CDFCDF，且SAED=SCDF1.环境影响评价工作等级的划分例9 求椭圆的面积分析：椭圆是一个二次曲线，用初等几何和微积分的知识进行推导比较烦琐。考虑到圆经过仿射变换对应一个椭圆，所以椭圆也可以通过一个适当的仿射变换对应成一个圆。解：使在笛氏直角坐标系下，椭圆（2）列出有关的法律、法规、规章、标准、规范和评价对象被批准设立的相关文件及其他有关参考资料等安全预评价的依据。经过仿射变换（1）安全预评价。 于是，椭圆的对应图形为圆如下图，椭圆内的三角形OAB：O(0，0)，A(a，0),B(0，b)，经过以上的仿射变换，OAB的对应图形OAB，其中A与A重合，B( 0，a)，由于两个封闭图形的面积之比为仿射不变量，安全评价可针对一个特定的对象，也可针对一定的区域范围。即2.建设项目环境影响评价文件的报批时限图1-14因此，所给的椭圆的面积为。4）按执行性质分。环境标准按执行性质分为强制性标准和推荐性标准。环境质量标准和污染物排放标准以及法律、法规规定必须执行的其他标准属于强制性标准，强制性标准必须执行。强制性标准以外的环境标准属于推荐性标准。2）购买环境替代品。从上述可以看到，在初等几何的几何图形了仿射变换后，一般来说，图象都有了变化，但有部分性质和某些量是保持不变的，同素性决定了变换的本质，结合性规定了变换后的位置关系，而仿射单比不变确定了平行线段以及面积通过变换后的 度量关系，这些仿射不变性和不变量在仿射几何的研究中是非常重要的，同时为初等几何的一些问题的解决（比如求解和证明）提供了一种新的方法，有时使问题的解决变得更直观和快捷。比如可以通过圆到椭圆的仿射对应推导出椭圆的外切四边形对边切点连线与