不等式的基本性质和证明的基本方法1.4绝对值的三角不等式导学案新人教B版.docx

1.4绝对值的三角不等式1.理解定理1及其几何说明，理解定理2及其2个推论.2.会用定理1、定理2及其2个推论解决比较简单的问题.自学导引1.a，bR，|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立. 2.|ab|表示ab与原点的距离，也表示a与b之间的距离.3.a，b，cR，|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0，即b落在a，c之间时等号成立.4.|a|b|ab|；|a|b|ab|.基础自测1.对任意x，yR，|x1|x|y1|y1|的最小值为()A.1 B.2C.3 D.4解析利用三角不等式直接求解.x，yR，|x1|x|(x1)x|1，|y1|y1|(y1)(y1)|2，|x1|x|y1|y1|3.|x1|x|y1|y1|的最小值为3.答案C2.设ab0，下面四个不等式|ab|a|；|ab|b|；|ab|a|b|中，正确的是()A.和 B.和C.和 D.和解析ab0，|ab|a|b|a|，正确，|ab|a|b|b|，所以错，|ab|a|b|ab|错，|ab|a|b|ab|a|b|对，所以正确应选C.答案C3.若函数f(x)|x1|2|xa|的最小值为5，则实数a_.解析根据去绝对值符号后函数的图象求解.由于f(x)|x1|2|xa|，当a1时，f(x)作出f(x)的大致图象如图所示，由函数f(x)的图象可知f(a)5，即a15，a4.同理，当a1时，a15，a6.答案6或4知识点1利用绝对值的三角不等式证明变量不等式【例1】 已知|x|1，|y|1，求证：1.分析：本题可考虑两边平方去掉绝对值转化为普通不等式(1x2)(1y2)(1xy)2.证明|x|1x20，|y|0，x2y22xyx2y22xy1x2y2x2y212xyx2y2(1x2)(1y2)(1xy)2 |1xy|所以1.由于|x|1，|y|1，则|xy|1，即1xy0.反思感悟：通过添一项、减一项的恒等变形，然后再进行组合，构造成能利用绝对值的三角不等式的形式是证明的关键.1.证明：|xa|xb|ab|.证明|xa|xb|xa|bx|xabx|ba|ab|.|xa|xb|ab|.知识点2利用绝对值的三角不等式证明函数不等式【例2】 函数f(x)的定义域为0，1，f(0)f(1)，且对任意不同的x1，x20，1都有|f(x2)f(x1)|x2x1|，求证：|f(x2)f(x1)|.证明设0x1x21，若x2x1，则|f(x2)f(x1)|x2x1|.即|f(x2)f(x1)|.若x2x11，则|f(x2)f(x1)|f(x2)f(0)f(1)f(x1)|f(x2)f(1)f(0)f(x1)|f(x2)f(1)|f(0)f(x1)|x21|x10|.而|x21|x1|1x2x11(x2x1)1.综上所述，对任意不同的x1，x20，1都有|f(x2)f(x1)|.反思感悟：对于绝对值符号内的式子，采用加减某个式子后，重新组合，运用绝对值不等式的性质变形，是证明绝对值不等式的典型方法.2.设f(x)ax2bxc，当|x|1时，总有|f(x)|1，求证：|f(2)|7.证明|f(1)|1，|f(1)|1，|f(0)|1，|f(2)|4a2bc|3f(1)f(1)3f(0)|3|f(1)|f(1)|3|f(0)|7.知识点3绝对值的三角不等式的应用【例3】 若关于x的不等式|x2|x1|a的解集为，求实数a的取值范围.解方法一：|x2|x1|(x2)(x1)|3，当a3时，原不等式解集为.方法二：式子|x2|x1|可看作数轴上一点到2、1对应的两点间距离之和，而数轴上任一点与这两点距离之和不小于3，故使原不等式解集为的a的范围是a3.反思感悟：解此类不等式有三种方法：分区间(分类)讨论法、图象法、几何法.3.已知函数f(x)、g(x)，设不等式|f(x)|g(x)|0)的解集为M，不等式|f(x)g(x)|0)的解集是N，则集合M与N的关系是() A.NM B.MNC.MN D.MN解析|f(x)g(x)|f(x)|g(x)|，若x0M，|f(x0)|g(x0)|a，故|f(x0)g(x0)|0，b0时，|ab|a恒成立，则a的取值范围是()A.(，3) B.(，3C.(，3) D.(，3解析|x1|x2|x1|x2|a恒成立时，a3，故选C.答案C3.若1logbaB.|logablogba|2C.(logba)2|logablogba|解析1，0ba1logaalogbblogba，A正确；|logablogba|logab2，B正确；0logbalogbb1，(logba)20，logba0，|logab|logba|logablogba|故D错.答案D4.x，yR，若|x|y|x1|y1|2，则xy的取值范围为_.解析利用绝对值的几何意义求解，注意等号成立的条件.由绝对值的几何意义知，|x|x1|是数轴上的点x到原点和点1的距离之和，所以|x|x1|1，当且仅当x0，1时取“”.同理|y|y1|1，当且仅当y0，1时取“”.|x|y|x1|y1|2.而|x|y|x1|y1|2，|x|y|x1|y1|2，此时x0，1，y0，1，(xy)0，2.答案0，2基础达标1.若|ac|b，则下列不等式不成立的是()A.|a|b|c| B.|c|c|a| D.b|ac|a|c|，b|ac|c|a|，故A、B成立，b|a|c|，故C成立.应选D(此题代入数字也可判出).答案D2.若|xa|h，|ya|k，则下列不等式一定成立的是()A.|xy|2h B.|xy|2kC.|xy|hk D.|xy|hk|解析|xy|xaay|xa|ay|hk，应选C.答案C3.如果存在实数x，使cos 成立，那么实数x的集合是()A.1，1 B.x|x0或x1 D.x|x1或x1解析由|cos |1，所以1.又1.1，当且仅当|x|1时成立，即x1.答案A4.已知2a3，3b4，则a|b|的取值范围为_.解析3b4，0|b|4，4|b|0，又2a3，6a对于xR均成立，则a的取值范围为_.解析|x4|x5|4x|x5|4xx5|9.当a，即a2时，f(x)易知函数f(x)在x处取最小值，即13，故a8.综上a4或8.答案D8.已知定义在0，1上的函数f(x)满足：f(0)f(1)0；对所有x，y0，1，且xy，有|f(x)f(y)|xy|.若对所有x，y0，1，|f(x)f(y)|k恒成立，则k的最小值为()A. B.C. D.解析先利用特值法确定范围，再结合函数的取值特性求解.取y0，则|f(x)f(0)|x0|，即|f(x)|x，取y1则|f(x)f(1)|x1|，即|f(x)|(1x).|f(x)|f(x)|xx，|f(x)|.不妨取f(x)0，则0f(x)，0f(y)，|f(x)f(y)|0，要使|f(x)f(y)|k恒成立，只需k.k的最小值为.答案B9.若不等式|x4|x3|a对一切xR恒成立，那么实数a的取值范围是_.解析令f(x)|x4|x3|，不等式f(x)a对一切xR恒成立的充要条件是af(x)的最大值，因为|x4|x3|1(x4)(x3)|1，即f(x)的最大值等于1，所以a1.答案a110.关于x的不等式|x2|x1|a的解集是，则a的取值范围是_.解析|x2|x1|(x2)(x1)|3，a3.答案a311.已知a0，b0，c0，函数f(x)|xa|xb|c的最小值为4.(1)求abc的值；(2)求a2b2c2的最小值.解(1)因为f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c，当且仅当axb时，等号成立.又a0，b0，所以|ab|ab.所以f(x)的最小值为abc.又已知f(x)的最小值为4，所以abc4.(2)由(1)知abc4，由柯西不等式得(491)(abc)216，即a2b2c2.当且仅当，即a，b，c时等号成立.故a2b2c2的最小值是.12.若a、bR，且|a|b|1，证明方程x2axb0的两个根的绝对值均小于1.证明方法一：设方程x2axb0的两根为x1，x2，根据韦达定理，有a(x1x2)，bx1x2，代入|a|b|1得|x1x2|x1x2|1，若用|x1|x2|x1x2|对式作放缩代换，有|x1|x2|x1|x2|1，即(|x1|1)(|x2|1)0，得|x1|10，|x1|1.若用|x2|x1|x1x2|对式作放缩代换，有|x2|x1|x1|x2|1.同理，由(|x2|1)(|x1|1)0，得|x2|1.因此，方程