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数学中的联想化学院材料化学系2班 于龙飞 学号:1110866 手机摘要：我们知道,数学思想和数学方法是人们通过解决大量的问题,从繁杂的解决方法和丰富的数学知识中提炼出来的。当然，数学联想这一重要方法也是如此。 数学研究的主要目的就是发现问题和解决问题。数学发现是以提出问题和解决问题为主要标志的， 随着对数学对象研究的深入，联想成为数学解题的一种重要思维方法。联想是思维的一种形式，也是记忆的一种表现。联想是回忆旧知识，发现新知识的重要手段，即所谓“举一反三”、“由此及彼”等。关键词：数学思想方法 联想 重要性任何一门科学都有其方法论基础， 如同其他科学技术一样，在数学的产生和发展过程中，理论和方法始终是相生相伴的。数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为。数学的核心内容是解决数学问题， 而解决数学问题首先要解决方法的问题。联想法是其中一种重要的方法。 让我们先看一个例子：求证 通过联想方法我们可以找到很多解法。法（1）.看到这种逐个相加的形式我们可以联想到 但是要求证的式子和上面的公式中各项都不同。于是，我们思考将前的系数变形，变成的形式。通过待定系数法可以确定则原式=完毕法（2）.由于形式上很像求导的形式。 我们可以巧妙地用“1”把题目和求导联系起来。即: 而 上式两边同时求导，就有让，则原式得证。法(3). 像这种有规律的很多个项相加,我们联想到等比数列的前n项和的推到思路:把两个逐个相加的式子进行和差运算。于是让 -（A）把中各项首尾交换位置，即： -（B）把（A）和（B）式首尾相加，得到， 化简右边的项 即 原式=法（4）. 由于数学式子是从具体问题中抽象出来的,我们可以从含有的式子中联想到具体问题。令为设想一个数学模型：在小组讨论会上共有n个人，在n个人中随机抽取k个人参加讨论，并且在这k个人中随机抽一个人做代表发言。则代表抽取k个人并且在其中选出代表的总的选法。则就可以有如下等效表示： 在所有人中先选出一个做代表，再在剩下的n-1个人中随机挑选组员。这样的话做代表的挑法有种，剩下的人每个人是否参加小组都有两种可能，即共有种选法。相乘得到，这就是总共的选择方法。 完毕 以上四种方法,无一没有用到联想这一重要的数学方法。可见联想是一种多么有效有力的解决策略。 客观世界中的事物并不是孤立存在的，相反，他们彼此都有联系！这就是联想这一重要的方法存在的依据。通过上面的几个例子，我们可以总结一下联想的特点和基本思路： “联想是由某种事物而引起其他相关事物的思维过程，是由此及彼的思维活动。联想有三个要素：其一是联想因素，它是联想的触发点或者产生联想的起因；其二是联想效应，它是联想的结果及据此作出的判断；其三是联想线路，它是联想因素与联想效应之间的相关性。数学联想中的联想因素和联想效应，除了少数例外情形，一般都是指数学的对象,关系结构及数学方法，而联想路线则是这些数学知识之间的客观联系。”像上面例子中解法四，联想因素便是这一通项，而联想效应就是那个实际问题。由此我们不难总结出，联想需要极强的发散思维的能力，还需要深厚的数学知识做基础。当然，联想不是凭空猜测，它需要对所给问题多角度,多方位,多渠道,多层次的观察和思考，捕捉那些最细微的变化和最本质的特征，并大胆思考，小心求证得到解决方案。 “联想不仅是多向的,发散的，而且是多层次的。这种发散性和多层次性，常被用来重复联想，是各种知识和各种思路之间产生联系，甚至能使表面上看上去毫不相干的两种知识发生某种联系，从而使我们得以发现解决问题的途径。”现在举一个例子 古希腊人提出了三个著名的几何作图问题，即在符合要求的情况下，解决下列三个问题：(1)三等分角问题：将任一个给定的角三等分。(2)倍立方问题：求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍。(3)化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相等。为了解决第二个问题，希波克拉（公元前460年前后）指出倍立方问题可以转化为求线段a和2a之间的两个等比中项问题。 由此知道，即就是我们要知道的新正方体的边长。问题转化为怎么求并让它易于作图。从等比通式中我们得到方程组 从此方程组中任意找两个方程组成方程组可以求出，据说门奈赫诺斯（约公元前4世纪中叶）成功的解决了此问题，但是他的方法别人不得而知。事实上，上面三个式子暗示我们可以通过圆锥曲线来解决-通过圆锥曲线和几何的关系把算出的标记为一个在曲线图形上的长度,然后截取即可。而古希腊数学家也确实是这么做的。他们用平面截圆锥得到的平面图形有三种，即“锐角圆锥”，“直角圆锥”和“钝角圆锥”，即现在的椭圆抛物线和双曲线。至于他们是怎么想到可以用平面和圆锥做得圆锥曲线的，我们不得而知。尽管我们现在知道了倍立方问题用尺规作图方法是不可解决的，但是那些先哲们通过丰富的联想创造性地提出了圆锥曲线问题。由几何问题联想到方程求解，再由方程求解联想到曲线的性质，这个是他们做出的伟大的贡献。事实上，从方程求解到圆锥曲线这个也包含了古希腊数学家朴素的数形结合思想。数学中的联想是创造新知识新方法新思想的有力武器。例如，当被问到n个平面最多可以将三维空间分成多少部分时，直觉上是不容易作出回答的，并且那样也不严谨。但是，我们通过少数的几个例子，联想到点分直线，直线分平面这两个低维空间中的情形，问题也就迎刃而解。现在，我们可以将数学中的联想分为几种：1. 接近联想由于数学定义或公式的结构或形式相似而引起的联想。这也是最基本的联想。2. 类比联想根据问题的性质或内容的相似性而产生的联想。包括抽象和具体（如第一例第四解），空间和平面（如平面截空间的问题），代数和几何图形（如倍立方问题）等。3. 逆向联想从问题的正面联系到问题的反面。4. 横向联想指数学各类专门知识之间进行联系，甚至于数学，物理，化学等等学科之间的联系。比如可以用向量积的性质证得柯西不等式的二维形式，可以用方程求得圆锥曲线的几何性质等。 通过对联想的了解，现在我们可以用它处理一个比较容易的问题：过抛物线的焦点的直线和抛物线交于两点，两者的纵坐标分别是，求证，法（1）.看到的形式我们不难联想到韦达定理。已知直线式，联立抛物线式可得到则依据韦达定理法（2）.很明显，是的等比中项。因此我们可以想到用几何方法处理。如下图所示，D,C，K分别是A,B,F在直线上的投影，由 抛物线几何性质， 则, 由于 ,很明显， (上面已用到了平行线的性质，即 于是是直角三角形，由射影定理不难判断出是的等比中项，考虑到符号的变化，则 完毕。事实上，上面的两个解法都用到了联想法的最基本形式接近联想。我们看到了它的形式上的相似性而解决的，这样的问题还有很多，可见联想法的重要性。作为创造的一种极其重要的能力，联想该如何培养呢？首先，掌握大量的知识和技能是非常重要的。不仅如此，还要掌握他们之间的联系，不能孤立地学习知识。其次，大胆地联想想象，要多层次多角度多方位地思考，但是不是说胡乱猜测。联想要在题目范围之内，要是超出题目范围就是没有什么结果的。最后，要把结果进行再联想，并把结论推广，这样会举一反三，使联想得到发展。总而言之，联想具有灵活性和多样性的特点