三角函数式的化简与求值.doc

三角函数三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.难点磁场()已知,cos()=,sin(+)=,求sin2的值_.案例探究例1不查表求sin220+cos280+cos20cos80的值.命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于级题目.知识依托：熟知三角公式并能灵活应用.错解分析：公式不熟，计算易出错.技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会.解法一：sin220+cos280+sin220cos80= (1cos40)+ (1+cos160)+ sin20cos80=1cos40+cos160+sin20cos(60+20)=1cos40+ (cos120cos40sin120sin40)+sin20(cos60cos20sin60sin20)=1cos40cos40sin40+sin40sin220=1cos40(1cos40)= 解法二：设x=sin220+cos280+sin20cos80y=cos220+sin280cos20sin80，则x+y=1+1sin60=，xy=cos40+cos160+sin100=2sin100sin60+sin100=0x=y=，即x=sin220+cos280+sin20cos80=.例2设关于x的函数y=2cos2x2acosx(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=的a值，并对此时的a值求y的最大值.命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属级题目知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错.技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等.解：由y=2(cosx)2及cosx1，1得：f(a)f(a)=,14a=a=2,+故2a1=，解得：a=1，此时，y=2(cosx+)2+，当cosx=1时，即x=2k，kZ，ymax=5.例3已知函数f(x)=2cosxsin(x+)sin2x+sinxcosx(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值；(3)若当x，时，f(x)的反函数为f1(x)，求f-1(1)的值.命题意图：本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力，属级题目.知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识.错解分析：在求f-1(1)的值时易走弯路.技巧与方法：等价转化，逆向思维.解：(1)f(x)=2cosxsin(x+)sin2x+sinxcosx=2cosx(sinxcos+cosxsin)sin2x+sinxcosx=2sinxcosx+cos2x=2sin(2x+)f(x)的最小正周期T=(2)当2x+=2k，即x=k (kZ)时，f(x)取得最小值2.(3)令2sin(2x+)=1，又x,2x+,2x+=，则x=，故f-1(1)= .锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：1.求值问题的基本类型：1给角求值，2给值求值，3给式求值，4求函数式的最值或值域，5化简求值.2.技巧与方法：1要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式.2注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用.3对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法.4求最值问题，常用配方法、换元法来解决.歼灭难点训练一、选择题1.()已知方程x2+4ax+3a+1=0(a1)的两根均tan、tan，且，()，则tan的值是( )A.B.2 C. D. 或2二、填空题2.()已知sin=，(，)，tan()= ，则tan(2)=_.3.()设()，(0，)，cos()=，sin(+)=，则sin(+)=_.三、解答题4.不查表求值:5.已知cos(+x)=，(x)，求的值.6.()已知=，且k(kZ).求的最大值及最大值时的条件.7.()如右图，扇形OAB的半径为1，中心角60，四边形PQRS是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P的位置，并求此最大面积.8.()已知cos+sin=，sin+cos的取值范围是D，xD，求函数y=的最小值，并求取得最小值时x的值.参考答案难点磁场解法一：,0.+,sin()=sin2=sin()+(+)=sin()cos(+)+cos()sin(+)解法二：sin()=,cos(+)=,sin2+sin2=2sin(+)cos()=sin2sin2=2cos(+)sin()=sin2=歼灭难点训练一、1.解析：a1，tan+tan=4a0.tan+tan=3a+10,又、(,)、(,),则(,0),又tan(+)=,整理得2tan2=0.解得tan=2.答案：B2.解析：sin=,(,),cos=则tan=,又tan()=可得tan=,答案：3.解析：(),(0, ),又cos()=.答案：三、4.答案：2（kZ）, （kZ）当即（kZ）时,的最小值为1.7.解：以OA为x轴.O为原点，建立平面直角坐标系，并设P的坐标为(cos,sin)，则PS=sin.直线OB的方程为y=x，直线PQ的方程为y=sin.联立解之得Q(sin；sin)，所以PQ=cossin.于是SPQRS=sin(cossin)=(sincossin2)=(sin2)=(sin2+cos2)= sin(2+).0,2+.sin(2+)1.sin(2+)=1时，PQRS面积最大，且最大面积是，此时，=，点P为的中点，P().8.解：设u=sin+cos.则u2+()2=(sin+cos)2+(cos+sin)2=2+2sin(+)4.u21,1u1.即D=1,1,设t=,1x1,1t.x=.第四章 三角函数4-1 任意角的三角函数一、选择题：1使得函数 有意义的角在（ ）（）第一，四象限 （）第一，三象限 （）第一、二象限 （）第二、四象限角、的终边关于轴对称，（）。则（） （）（） （）设为第三象限的角，则必有（ ）（） （） （） （） 若 ，则只可能是（ ）（）第一象限角 （）第二象限角 （C）第三象限角 （）第四象限角若 且 ，则的终边在（ ） (A)第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限二、填空题：6已知是第二象限角且 则2是第象限角， 是第象限角。7已知锐角终边上一点A的坐标为（2sina3,-2cos3）,则角弧度数为。8设 则Y的取值范围是。9已知cosx-sinx-1，则x是第象限角。三、解答题：10已知角的终边在直线 上，求sin及cot 的值。11已知Cos(+)+1=0, 求证：sin(2+)+sin=0。12已知 ，求（1）+（2）+（3）+（2000）的值。4-2 同角三角函数的基本关系式及诱导公式一、选择题：1 化简结果是（ ）（A）0 （B） （C）2 2若 ，且 ，则 的值为（ ） 或 3.已知 ，且 ，则 的值为（ ） 4.已知 ，并且 是第一象限角，则 的值是（ ） 5.化简 的结果是（ ） 6.若 且 ，则角 所在的象限是（ ）（A）一、二象限 （B）二、三象限 （C）一、三象限 （D）一、四象限填空题：7化简 。8已知 ，则 的值为。9 =。10若关于 的方程 的两根是直角三角形两锐角的正弦值，则 。解答题：11已知： ，求 的值。12已知 ，求证： 13已知 ，且 ，求 的值。14若 化简： 4-3：两角和与差的三角函数1 “ ”是“ ”的（ ）（A）充分必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件2已知 且 为锐角，则 为（ ） 或 非以上答案3设 则下列各式正确的是（ ） 4已知 ，且 则 的值是（ ） 二、填空题：5已知 则 的值为 6已知 且 则 7已知 则 8在 中， 是方程 的两根，则 三、解答题：9求值 。10求证： 11 中，BC=5，BC边上的高AD把 面积分为 ，又 是方程 的两根，求 的度数。4-4 二倍角的正弦、余弦、正切一选择题：1 的值为（ ） 2已知 , 则 的值为（ ） 3已知 , 则 的值为（ ） 4函数 的定义域是（ ） 5 中， ， 则 的大小为（ ） 或 或 二填空题：6已知 ，若 ，则 若 , 则 7若 , 则 8若 ,则 的值为_9已知 ,则 三解答题：10求值 11化简 12设 均为锐角，且 ，求 的最大值。4-5 三角函数的化简和求值一选择题：1在 中，若 ，则 的形状是（ ） 等腰三角形 直角三角形 等边三角形 等腰直角三角形2设 ， ，则 的值为（ ） 3 的值为（ ） 4若 ，则 的值为（ ） 5已知 ， ，则 的值为（ ） 二填空题：6函数 的最小正周期 7一个等腰三角形一个底角的正弦值为 ，则这个三角形顶点的正切为 8若 ，则 9 三解答题：10已知 是第二，三象限的角，化简： 11已知 且 ，求 和 的值12求值： 13已知 ， ， ，求 的值。4-6 三角函数的恒等变形1求值： 2求证： 3求证： 4试探讨 ， ， 成立的充要条件（A，B所满足的关系）。5已知 三个内角A.B.C成等差数列，且 ，求 的值（参考公式： ）6已知 ， 为锐角，且 ， ，求证 。4-7 三角函数的图象一选择题：要得到 的图象，只要将函数 的图象（ ） 向左平移 单位 向右平移 单位 向左平移 单位 向右平移 单位以下给出的函数中，以 为周期的偶函数是（ ） 函数 在同一区间内的 处取最大值 ，在 处取得最小值 ，则函数解析式为（ ） 4 的图象是（ ）5. 三角函数式 其中在 上的图象如图所示的函数是（ ） 二填空题：6把函数 的图象向左平移 个单位，所得图象关于y轴对称，则 的最小值是 7。若函数具有以下性质： 关于y轴对称 对于任意 ，都有 则 的解析式为 （只须写出满足条件的的一个解析式即可）8若 ，且 ，求角 的取值范围 9已知 且 的周期不大于1，则最小正常数 三解答题：10已知函数 （1）求函数的最小正周期（2）求函数的增区间（3）函数的图象可由函数 的图象经过怎样的变换得出？（）若把函数的图象向左平移 单位得一偶函数，求 的最小值已知函数 （）求 的定义域（）求函数的单调增区间（）证明直线 是 图象的一条对称轴设 ，周期为 ，且有最大值 （）试把 化成 的形式，并说明图象可由 的图象经过怎样的平移变换和伸缩变换得到（）若 为 的两根（ 终边不共线），求 的值已知函数图象y= 上相邻的最高点与最低点的坐标分别为 ，求该函数的解析式三角函数的性质一选择题：1下列函数中同时满足下列条件的是（ ） 在 上是增函数 以 为周期 是奇函数 2如果 且 ，则（ ） 3。已知 且 ，则 可表示成（ ） 4若 ，则 的值是（ ） （ 不确定5。下面函数的图象关于原点对称的是（ ） 6函数 的取值范围是（ ） 二填空题：7函数 的增区间为 8设 是以5为周期的函数，且当 时， 则 9设 ，其中 均为非零实数，若 ，则 的值为 三解答题：若 ，试求 的解析式1已知函数 （）求函数的定义域和值域（）用定义判定函数的奇偶性（）作函数在 内的图象（）求函数的最小正周期及单调区间2设函数 的定义域为 （）求证：函数 关于点 对称的充要条件是 （）若函数 的图象有两个不同对称点 ， ，证明函数 是周期函数 三角函数的最值一选择题：若 的最大值为M，最小值为N，则（） 在直角三角形中两锐角为 ，则 的值（） （A）有最大值 和最小值0 （B）有最大值 ，但无最小值 （C）既无最大值也无最小值 （D）有最大值1，但无最小值函数 ，当 时的值域为（） 函数 ，则此函数的最大值，最小值分别为（） 函数 在区间 上是增函数，且 ，则 在区间 上（）（A）是增函数 （B）是减函数 （C）可取最大值2 （D）可取最小值 函数 的值域为（） 二填空题：函数 的定义域为 值域为 函数 的最大值为 最小值为 设单位圆上的点 ，求过点 斜率为 的直线在轴上截距的最大值为 设直角三角形两个锐角为和，则 的范围是 三解答题：求下列函数的最值 已知关于的函数 的最小值为 ，求 的解析式。13设函数 的最大值为，求实数 的值。在某海滨城市附近有一台风，据监测，当台风位于城市（如图）的东偏南 方面的 海面 处，并以 的速度向西偏北 方向移动。台风侵袭范围为圆形区域，当前半径为 ，并以 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？并会持续多长时间？三角函数单元测试题一选择题：集合 与 的关系为（ ） 下列函数中周期为 的奇函数是（ ） 函数 在下列区间上为增函数的是（ ） 将函数 的图象上每点的横坐标缩小为原来的 （纵坐标不变），再把所得图象向左平移 个单位，得到的函数解析式为（ ） 的值为（ ） 已知 为锐角，且 ，则 的值为（ ） 若 ，则 为（ ） 函数 的最大值是（ ） 非以上答案要得到函数 的图象，可以把函数 的图象（ ） 右移 右移 左移 左移 若对任意实数 ，函数 在区间 上的值 出现不少于次且不多于次，则 的值为（ ） 或 或 二填空题：等腰三角形底角的正弦与余弦的和为 ，则顶角的弧度数为 1若 为锐角，且 ，则 的解集区间为 下列命题中正确的序号为 （你认为正确的都写出来） 的周期为 ，最大值为 若x是第一象限的角，则 是增函数 在 中若 则 既不是奇函数，也不是偶函数 且 则 的一条对称轴为 三解答题：15. 化简 16 已知 是方程 的两个实根，求 的值17已知函数 求 的