高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算课件 新人教A版选修2-2

3 2 2复数代数形式的乘除运算 掌握复数的乘法 除法的运算法则并能熟练准确地运用法则解决相关的问题 本节重点 复数代数形式的乘除运算 本节难点 复数除法 1 复数的乘法按多项式乘法的规则进行运算 结果中的i2要换成 1 并且把实部与虚部分别合并 两个复数的乘积仍然是一个复数 2 i的幂的周期性 i4n 1 i i4n 2 1 i4n 3 i i4n 4 1 n N 1 复数乘法运算法则设z1 a bi z2 c di a b c d R 则z1z2 a bi c di 2 复数乘法满足交换律 结合律及分配律对任意z1 z2 z3 C 有 z1 z2 z1z2 z3 z1 z2 z3 ac bd ad bc i z2 z1 z1 z2z3 z1z2 z1z3 例1 1 设复数z1 1 i z2 x 2i x R 若z1z2为实数 求实数x 2 计算 4 i5 6 2i7 7 i11 4 3i 3 计算 a bi a bi a b R 分析 1 利用乘法法则先求出z1z2 由z1z2的虚部等于零可求得x 2 主要利用i的性质 i4n 1 i4n 1 1 i4n 2 1 i4n 3 i n N 3 也可直接应用平方差公式 解析 1 z1z2 1 i x 2i x 2i xi 2 x 2 2 x i 因为z1z2是实数 所以x 2 0 所以x 2 2 原式 2 4 i 3 i 7 i 4 3i 2 12 3i 4i i2 28 4i 21i 3i2 2 11 7i 25 1 i 47 39i 3 原式 a2 abi bai b2i2 a2 b2 点评 复数的运算顺序与实数的运算顺序相同 即先进行高级运算 乘方 开方 再进行次高级运算 乘 除 最后进行低级运算 加 减 如含有i的幂运算 先利用i的幂的周期性 将其次数降低 然后再进行四则运算 1 若复数 1 bi 2 i 是纯虚数 i是虚数单位 b是实数 则b等于 答案 A 2 2009 江苏 1 若复数z1 4 29i z2 6 9i 其中i是虚数单位 则复数 z1 z2 i的实部为 答案 20 解析 本题主要考查复数的概念及运算 z1 4 29i z2 6 9i z1 z2 i 4 29i 6 9i i 20 2i 复数 z1 z2 i的实部为 20 分析 对于复数的运算 除了应用四则运算法则之外 对于一些简单的要知道其结果 这样起点就高 计算过程就可以简化 达到快速简捷出错少的目的 点评 复数的除法与实数的除法有所不同 实数的除法可以直接地约简 得出结论 但复数的除法因为分母为复数一般不能直接约分化简 复数除法的一般作法是 由于两个共轭复数的积是一个实数 因此两个复数相除 可以先把它们的商写成分式的形式 然后把分子分母都乘以分母的共轭复数并把结果化简即可 答案 A 答案 A 解析 1 设z x yi x y R 则集合P x y x2 y2 6y 5 0 x y x2 y 3 2 4 故P表示以 0 3 为圆心 2为半径的圆 设w a bi a b R z x0 y0i P x0 y0 R 且w 2iz 例4 计算 i i2 i3 i2011 分析 由题目可获取以下主要信息 已知虚数单位i的幂 求和 解答本题可利用等比数列求和公式化简或者利用in的周期性化简 点评 1 虚数单位i的周期性 i4n 1 1 i4n 2 1 i4n 3 i i4n 1 n N n也可以推广到整数集 in in 1 in 2 in 3 0 n N 计算 1 2i 3i2 2012 i2011 解析 设S 1 2i 3i2 2012i2011 则iS i 2i2 3i3 2011i2011 2012i2012 得 1 i S 1 i i2 i2011 2012i2012 1 2012 i4 503 2013 对于n个复数z1 z2 zn 如果存在n个不全为零的实数k1 k2 kn 使得k1z1 k2z2 knzn 0 就称z1 z2 zn线性相关 若要说明复数z1 1 2i z2 1 i z3 2线性相关 那么可取 k1 k2 k3 只要写出满足条件的一组值即可 答案 C 答案 B 3 2010 江西理 1 已知 x i 1 i y 则实数x y分别为 A x 1 y 1B x 1 y 2C