2015届高考理科数学一轮练习题-第七章　立体几何7.5直线、平面垂直的判定与性质

第5课时直线、平面垂直的判定与性质1以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质和判定定理2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形垂直关系的简单命题对应学生用书P122【梳理自测】一、直线与平面垂直1(教材改编)下列条件中，能判定直线l平面的是()Al与平面内的两条直线垂直Bl与平面内无数条直线垂直Cl与平面内的某一条直线垂直Dl与平面内任意一条直线垂直2直线a平面，b，则a与b的关系为()Aab，且a与b相交Bab，且a与b不相交Cab Da与b不一定垂直3(课本精选题)过ABC所在平面外一点P，作PO，垂足为O，连接PA、PB、PC，若PAPBPC，C90，则点O是AB边的_点若PAPBPC，则点O是ABC的_心若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的_心答案：1.D2.C3.中外垂以上题目主要考查了以下内容：定义：如果直线l与平面的任一直线都垂直，则直线l与此平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法定义法利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面(2)直线和平面垂直的性质直线垂直于平面，则垂直于平面内所有直线垂直于同一个平面的两条直线平行垂直于同一直线的两平面平行(3)斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角二、平面与平面垂直1边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则AC的长为()A.a B.aC.a Da2将正方形ABCD沿AC折成直二面角后，DAB_答案：1.D2.60以上题目主要考查了以下内容：(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(2)判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直即：a，a(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直即：，a，b，aba【指点迷津】1一个范围直线与平面所成的角的范围为0，90：直线面，直线面，其角为0；直线面，其角为90.2两点注意线面垂直判定定理中，平面内的线必须“相交”面面垂直性质中，必须“面内”、“垂直交线”3六种转化关系线线垂直线面垂直面面垂直问题的转化关系性质垂直对应学生用书P122考向一直线与平面垂直的判定与性质(2014成都市高三质检)如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABCA1B1C1中，ACAA12AB2，BAC90，点D是侧棱CC1延长线上一点，EF是平面ABD与平面A1B1C1的交线(1)求证：EFA1C；(2)当直线BD与平面ABC所成角的正弦值为时，求三棱锥DEFC1的体积【审题视点】要证EFA1C，可证ABA1C，利用AB面ACC1A1.由sinABC，得BC及CD，从而得C1D及SEFC1.【典例精讲】(1)依题意，有平面ABC平面A1B1C1，又平面ABC平面ABDAB，平面A1B1C1平面ABDEF，EFAB.三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，且BAC90，ABAA1，ABAC.而AA1ACA，AB平面ACC1A1.又A1C平面ACC1A1，ABA1C.EFA1C.(2)设直线BD与平面ABC所成的角为，直线BD与平面ABC所成角的正弦值为，tan ，又BC，CD3，DC11，FC1，EF，EC1.又SEFC1，VDEFC11.【类题通法】1.证明直线和平面垂直的常用方法方法一利用判定定理方法二利用平行线垂直于平面的传递性(ab，ab)方法三利用面面平行的性质(a，a)方法四利用面面垂直的性质2.当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任意一条直线，常用来证明线线垂直3斜线与平面所成的角，首先作出面的垂线，才得出斜线在面内的射影，才可得出斜线与平面所成的角，转化为直角三角形求解1(2014湖南省五市十校联考)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，ADC45，ADAC1，O为AC的中点，PO平面ABCD，PO2，M为PD的中点(1)证明：AD平面PAC；(2)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值证明：(1)因为ADC45，且ADAC1，所以DAC90，即ADAC，又PO平面ABCD，AD平面ABCD，所以POAD，而ACPOO，所以AD平面PAC.(2)取DO的中点N，连接MN，AN，因为M为PD的中点，所以MNPO，且MNPO1，由PO平面ABCD，得MN平面ABCD，所以MAN是直线AM与平面ABCD所成的角在RtDAO中，AD1，AO，所以DO，从而ANDO.在RtANM中，tanMAN，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.考向二平面与平面垂直的判定与性质(2014烟台四校达标检测)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，点P为DD1的中点(1)求证：平面PAC平面BDD1；(2)求证：PB1平面PAC.【审题视点】(1)利用AC面BDD1；(2)利用计算关系PB1PC，PB1PA.【典例精讲】(1)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，底面ABCD是正方形，ACBD.又DD1平面ABCD，AC平面ABCD，ACDD1.又BDDD1D，BD平面BDD1，DD1平面BDD1，AC平面BDD1，AC平面PAC，平面PAC平面BDD1.(2)连接B1D1，B1C，PC2CD2PD22，PBPDB1D3，B1C2BC2BB5，PC2PBB1C2，PB1C是直角三角形，PB1PC；同理可得PB1PA.又PAPCP，PA平面PAC，PC平面PAC，PB1平面PAC.【类题通法】面面垂直的关键是线面垂直两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”2(2014浙江省名校联考)如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，ABEF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直已知AB2，EF1.(1)求证：平面DAF平面CBF；(2)求直线AB与平面CBF所成角的大小解析：(1)证明：平面ABCD平面ABEF，CBAB，平面ABCD平面ABEFAB，CB平面ABEF.AF平面ABEF，AFCB，又AB为圆O的直径，AFBF，AF平面CBF.AF平面ADF，平面DAF平面CBF.(2)由(1)知AF平面CBF，FB为AB在平面CBF内的射影，因此，ABF为直线AB与平面CBF所成的角ABEF，四边形ABEF为等腰梯形，过点F作FHAB，交AB于H.已知AB2，EF1，则AH.在RtAFB中，根据射影定理得AF2AHAB，AF1，sinABF，ABF30.直线AB与平面CBF所成角的大小为30.考向三空间垂直的探索问题(2014朝阳区第一学期末)如图，在四棱锥SABCD中，平面SAD平面ABCD.四边形ABCD为正方形，且P为AD的中点(1)求证：CD平面SAD.(2)若SASD，M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN平面ABCD，并证明你的结论【审题视点】(1)由面SAD面ABCD性质得结论(2)试SC的中点，证明面DMN面ABCD.【典例精讲】(1)因为四边形ABCD为正方形，所以CDAD.又平面SAD平面ABCD，且平面SAD平面ABCDAD，所以CD平面SAD.(2)存在点N为SC的中点，使得平面DMN平面ABCD.连接PC、DM交于点O，连接PM、SP、NM、ND、NO，因为PDCM，且PDCM，所以四边形PMCD为平行四边形，所以POCO.又因为N为SC的中点，所以NOSP.易知SPAD，因为平面SAD平面ABCD，平面SAD平面ABCDAD，并且SPAD，所以SP平面ABCD，所以NO平面ABCD.又因为NO平面DMN，所以平面DMN平面ABCD.【类题通法】探索性问题，可采用试探存在某个点，看其是否适合条件也可以假设存在这个结论，根据其性质推导出点的位置3(2014山西大同调研)如图，AB是O的直径，点C是O上的动点，PA垂直于O所在的平面(1)证明：平面PAC平面PBC；(2)设PA，AC1，在平面PCB中确定一点D，使AD成为三棱锥APCB的高，并求其高解析：(1)证明：AB是O的直径，点C是O上的动点，ACB90，即BCAC.PA垂直于O所在的平面，PABC.又PAACA，BC平面PAC.又BC平面PBC，平面PAC平面PBC.(2)由(1)知，平面PAC平面PBC，平面PAC平面PBCPC，过A点作PC的垂线，垂足为D，则AD平面PBC.故D在线段上在RtPAC中，PA，AC1，PC2.由ADPCPAAC，得AD，PD，DC，故D点为线段上的点，且PD，三棱锥APBC的高为.对应学生用书P124空间平行与垂直的规范答题(2013高考全国新课标卷)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点(1)证明：BC1平面A1CD；(2)设AA1ACCB2，AB2，求三棱锥CA1DE的体积【审题视点】(1)运用直线与平面平行的判定定理进行求解；(2)求三棱锥的体积，应先找出三棱锥的高及底面积并求出，然后运用体积公式求解【思维流程】由中点想中位线，找平行线列举线面平行条件，得结论由垂直关系，确定CD面ABB1A1，即三棱锥CA1DE的高计算，求SADE和CD.计算体积(代入公式)【解答过程】(1)证明：连接AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是AB中点，连接DF，则BC1DF.3分因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.6分(2)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以AA1CD.由已知ACCB，D为AB的中点，所以CDAB.又AA1ABA，于是CD平面ABB1A1.8分由AA1ACCB2，AB2得ACB90，CD，A1D，DE，A1E3，故A1D2DE2A1E2，即DEA1D.10分所以V三棱锥CA1DE1.12分【规范建议】(1)证明BC1面A1CD的条件有：BC1DF，DF面A1CD，BC1面A1CD缺一不可，应写全面(2)CD是三棱锥CA1DE的高，要有证明过程，不能任空想象(3)为计算A1DE的面积，需要说明其特征，不能缺少“A1D2DE2A1E2，DEA1D”的内容1(2013高考广东卷)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A若，m，n，则mnB若，m，n，则mnC若mn，m，n，则D若m，mn，n，则解析：选D.本题可以依据相应的判定定理或性质定理进行判断，也可以借助于长方体模型，利用模型中的直线和平面进行判断如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，平面BCC1B1平面ABCD，BC1平面BCC1B1，BC平面ABCD，而BC1不垂直于BC，故A错误平面A1B1C1D1平面ABCD，B1D1平面A1B1C1D1，AC平面ABCD，但B1D1和AC不平行，故B错误ABA1D1，AB平面ABCD，A1D1平面A1B1C1D1，但平面A1B1C1D1平面ABCD，故C错误故选D.2(2013高考北京卷)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有()A3个B4个C5个 D6个解析：选B.画出几何图形，利用空间线面关系定理定性分析如图，取底面ABCD的中心O，连接PA，PC，PO.AC平面DD1B，又PO平面DD1B，ACPO.又O是BD的中点，PAPC.同理，取B1C与BC1的交点H，易证B1C平面D1C1B，B1CPH.又H是B1C的中点，PB1PC，PAPB1PC.同理可证PA1PC1PD.又P是BD1的三等分点，PBPD1PB1PD，故点P到正方体的顶点的不同距离有4个3(2012高考辽宁卷)已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形若PA2，则OAB的面积为_解析：将直四棱锥补成长方体如图：球O的直径2R4，R2.SOAB233.答案：34(2013高考辽宁卷)如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点(1)求证：BC平面PAC；(2)设Q