高中数学第一章导数及其应用1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课件新人教A版

第一章 1 1变化率与导数 1 1 1变化率问题1 1 2导数的概念 1 了解导数概念的实际背景 2 会求函数在某一点附近的平均变化率 3 会利用导数的定义求函数在某点处的导数 问题导学 题型探究 达标检测 学习目标 知识点一函数的平均变化率 问题导学新知探究点点落实 假设如图是一座山的剖面示意图 并建立如图所示平面直角坐标系 A是出发点 H是山顶 爬山路线用函数y f x 表示 自变量x表示某旅游者的水平位置 函数值y f x 表示此时旅游者所在的高度 设点A的坐标为 x1 y1 点B的坐标为 x2 y2 思考1若旅游者从点A爬到点B 自变量x和函数值y的改变量分别是多少 答案 答自变量x的改变量为x2 x1 记作 x 函数值的改变量为y2 y1 记作 y 思考2怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度 答对山路AB来说 用可近似地刻画其陡峭程度 答观察图象可看出 表示曲线y f x 上两点 x1 f x1 x2 f x2 连线的斜率 答案 函数y f x 从x1到x2的平均变化率 答案 2 实质 的增量与增量之比 3 作用 刻画函数值在区间 x1 x2 上变化的快慢 4 几何意义 已知P1 x1 f x1 P2 x2 f x2 是函数y f x 的图象上两点 则平均变化率表示割线P1P2的 函数值 自变量 斜率 知识点二瞬时速度 答案 思考1物体的路程s与时间t的关系是s t 5t2 试求物体在 1 1 t 这段时间内的平均速度 思考2当 t趋近于0时 思考1中的平均速度趋近于几 怎样理解这一速度 答当 t趋近于0时 趋近于10 这时的平均速度即为t 1时的瞬时速度 答案 瞬时速度 1 物体在的速度称为瞬时速度 某一时刻 极限 知识点三导数的概念 答案 返回 类型一求函数的平均变化率 解析答案 题型探究重点难点个个击破 例1已知函数f x 2x2 3x 5 1 求当x1 4 x2 5时 函数增量 y和平均变化率 2 求当x1 4 x2 4 1时 函数增量 y和平均变化率 3 若设x2 x1 x 分析 1 2 题中的平均变化率的几何意义 反思与感悟 解f x 2x2 3x 5 y f x1 x f x1 2 x1 x 2 3 x1 x 5 2x 3x1 5 2 x 2 2x1 x 3 x 2 x 2 4x1 3 x 1 当x1 4 x2 5时 x 1 y 2 x 2 4x1 3 x 2 19 21 21 反思与感悟 解析答案 2 当x1 4 x2 4 1时 x 0 1 y 2 x 2 4x1 3 x 0 02 1 9 1 92 它表示抛物线上点P0 4 39 与点P2 4 1 40 92 连线的斜率 它表示抛物线上点P0 4 39 与点P1 5 60 连线的斜率 反思与感悟 2 x 4x1 3 19 2 求平均变化率的主要步骤 1 先计算函数值的改变量 y f x2 f x1 2 再计算自变量的改变量 x x2 x1 反思与感悟 跟踪训练1 1 如图 函数y f x 在A B两点间的平均变化率等于 A 1B 1C 2D 2 解析答案 B 解割线PQ的斜率即为函数f x 从1到1 x的平均变化率 2 过曲线y f x x2 x上的两点P 1 0 和Q 1 x y 作曲线的割线 已知割线PQ的斜率为2 求 x的值 解析答案 y f 1 x f 1 1 x 2 1 x 12 1 x x 2 割线PQ的斜率k 1 x 又 割线PQ的斜率为2 1 x 2 x 1 类型二求平均速度与瞬时速度 解析答案 例2若一物体运动方程如下 位移单位 m 时间单位 s 求 1 物体在t 3 5 内的平均速度 解 物体在t 3 5 内的时间变化量为 t 5 3 2 物体在t 3 5 内的位移变化量为 s 3 52 2 3 32 2 3 52 32 48 物体在t 3 5 上的平均速度为 2 物体的初速度v0 解求物体的初速度v0即求物体在t 0时的瞬时速度 物体在t 0附近的平均变化率为 3 t 18 物体在t 0处的瞬时变化率为 18 即物体的初速度为 18m s 解析答案 3 物体在t 1时的瞬时速度 解物体在t 1时的瞬时速度即为函数在t 1处的瞬时变化率 物体在t 1附近的平均变化率为 3 t 12 物体在t 1处的瞬时变化率为 12 即物体在t 1时的瞬时速度为 12m s 解析答案 反思与感悟 1 不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本题的常见错误 2 求运动物体瞬时速度的三个步骤 第一步 求时间改变量 t和位移改变量 s s t0 t s t0 第二步 求平均速度 第三步 求瞬时速度 当 t无限趋近于0时 无限趋近于的常数v即为瞬时速度 即v s t0 反思与感悟 跟踪训练2一质点M按运动方程s t at2 1做直线运动 位移单位 m 时间单位 s 若质点M在t 2s时的瞬时速度为8m s 求常数a的值 解析答案 解质点M在t 2时的瞬时速度即为函数在t 2处的瞬时变化率 质点M在t 2附近的平均变化率 类型三求函数在某一点处的导数 3f x0 a 解析答案 2 利用导数的定义求函数f x 在x 1处的导数 解析答案 反思与感悟 1 求函数y f x 在点x0处的导数的三个步骤 反思与感悟 简称 一差 二比 三极限 反思与感悟 2 瞬时变化率的变形形式 跟踪训练3已知f x 3x2 f x0 6 求x0 解析答案 返回 又f x0 6 6x0 6 即x0 1 1 如果质点M按规律s 3 t2运动 则在一小段时间 2 2 1 中相应的平均速度是 A 4B 4 1C 0 41D 3 解析答案 达标检测 1 2 3 4 B 5 A 9 8m s是物体从0s到1s这段时间内的速率B 9 8m s是1s到 1 t s这段时间内的速率C 9 8m s是物体在t 1s这一时刻的速率D 9 8m s是物体从1s到 1 t s这段时间内的平均速率 解析答案 解析由导数的定义可得 C 1 2 3 4 5 3 已知函数f x 2x2 1的图象上一点 1 1 及邻近一点 1 x 1 y 则等于 A 4B 4xC 4 2 xD 4 2 x 2 解析 y f 1 x f 1 2 1 x 2 1 1 2 x 2 4 x 2 x 4 C 1 2 3 4 5 解析答案 4 如图 函数y f x 在 x1 x2 x2 x3 x3 x4 这几个区间内 平均变化率最大的一个区间是 解析由平均变化率的定义可知 函数y f x 在区间 x1 x2 x2 x3 x3 x4 上平均变化率分别为结合图象可以发现函数y f x 的平均变化率最大的一个区间是 x3 x4 x3 x4 1 2 3 4 5 解析答案 5 已知函数f x 则f 1 1 2 3