圆中最值问题的求解方法.doc

圆中最值问题的求解方法 有关圆的最值问题，往往知识面广、综合性大、应用性强，而且情境新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，本文按知识点分类，以近几年中考题为例，归纳总结此类试题的解题方法 一、直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短 例1 （2012宁波）如图1，ABC中，BAC60，ABC45，AB2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画O分别交AB，AC于点E，F，连结EF，则线段EF长度的最小值为_分析 由垂线段的性质可知，当AD为ABC的边BC上的高时，直径AD最短 解 如图2，连结OE，OF，过O点作OHEF，垂足为H 在RtADB中， ABC45，AB2， ADBD2，即此时圆的直径为2 由圆周角定理，可知 EOHEOFBAC60， 在RtEOH中， EHOEsinEOH由垂径定理，可知EF2EH 点评 本题是一道融垂径定理、圆周角定理、解直角三角形于一体的综合应用题关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆 二、两点之间线段最短例2 （2014三明）如图3，在RtABC中，ACB90，ACBC2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是CD上的一个动点，连结AP，则AP的最小值是_ 分析 如图4，取BC的中点E，连结AE，交半圆于点P2，在半圆上取点P1，连结AP1，EP1，可得，AP1EP1AE，即AP2是AP的最小值再根据勾股定理求出AE的长，然后减掉半径即可解 如图4，取BC的中点E，连结AE，交半圆于点P2，在半圆上取点P1，连结AP1，EP1，可得，AP1EP1AE，P2E1AP2 即AP2是AP的最小值 点评 本题考查了勾股定理、最短路径问题，利用两点之间线段最短是解题的关键 三、利用轴对称，求直线上一点到直线同侧两点的线段之和最短例3 （2014张家界）如图5，AB、CD是半径为5的O的两条弦，AB8，CD6，MN是直径，ABMN于点E，CDMN于点F，P为EF上的任意一点，则PAPC的最小值为_ 分析A、B两点关于MN对称，因而PAPCPBPC，即当B、C、P在一条直线上时，PAPC的最小，即BC的值就是PAPC的最小值 解 如图6，连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于点H根据垂径定理，得到在RtBCH中，根据勾股定理得到 BC7，则PAPC的最小值为7 点评 正确理解BC的长是PAPC的最小值，是解决本题的关键例4（2014东营）如图7，在O中，AB是O的直径，AB8cm，M是AB上一动点，则CMDM的最小值是_cm 解析 如图8，作点C关于AB的对称点C，连结CD与AB相交于点M，根据轴对称确定最短路线问题，点M为CMDM的最小值时的位置，根据垂径定理可得，然后求出CD为直径，从而得解 CMDM的最小值是8cm 点评 本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，熟记定理并作出图形，判断出CMDM的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键 四、利用切线的性质求最小值 例5（2010苏州）如图9，已知A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，C的圆心坐标为（1，0），半径为1若D是C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则ABE面积的最小值是( )(A)2 (B)1 (C)2(D)2 解析 根据三角形的面积公式，ABE底边BE上的高AO不变，BE越小，则面积越小，可以判断当AD与C相切时，BE的值最小根据勾股定理求出AD的值，然后根据相似三角形求出OE的长度，代入三角形的面积公式进行计算即可求解 如图10，由题意知道当DA是圆C的切线时，OE最短，此时ABE面积最小AC213CD1故选C点评 本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形对应边成比例列式求出OE的长度是解题的关键 五、立体图形上两点之间最短距离 例6（2014兰州）如图11，有一个圆锥形的粮堆，其主视图是边长为6cm的正三角形，母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，求小猫经过的最短路程 解析 如图12，先确定扇形的圆心角，根据两点之间线段最短，再确定起点和终点，从而求解， ABC为正三角形 BC6 l236根据底面积圆的周长等于展开后扇形的弧长，得故n180，则BAC90，BP（米） 答：小猫所经过的最短路程是3米 点评 本题考查平面展开最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，根据勾股定理求解 以圆为载体的最值问题在中考试题中通常以选择、填空的压轴题频繁出现这类