三角形内切圆

3 2三角形的内切圆 确定圆的条件是什么 角平分线的定义 性质和判定都是什么 由于不共线三点确定一个圆 因此每一个三角形都有且只有一个外接圆 圆心是三边垂直平分线的交点 叫做三角形的外心 外心到三角形三个顶点的距离相等 三角形的外心可能在三角形内 锐角三角形 可能在三角形的一边上 直角三角形的外心是斜边的中点 可能在三角形外面 钝角三角形 如图是一块三角形木料 木工师傅要从中裁下一块圆形用料 怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢 三角形的外接圆在实际中很有用 但还有用它不能解决的问题 如 已知 ABC 如图 求作 和 ABC的各边都相切的圆 作法 1 作 ABC ACB的平分线BM和CN 交点为I I D 例1作圆 使它和已知三角形的各边都相切 分析 2 过点I作ID BC 垂足为D 3 以I为圆心 ID为半径作 I I就是所求的圆 D A E B C F O 1 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 内切圆的圆心叫做三角形的内心 这个三角形叫做圆的外切三角形 2 和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆 这个多边形叫做圆的外切多边形 读句画图 作直线m与 O相切于点D 作直线n与 O相切于点E 直线m和直线n相交于点A 以点O为圆心 1cm为半径画 O 作直线l与圆O相切于点F 直线l分别与直线m 直线n相交于点B C 1 如图1 ABC是 O的三角形 O是 ABC的圆 点O叫 ABC的 它是三角形的交点 外接 内接 外心 三边中垂线 2 如图2 DEF是 I的三角形 I是 DEF的圆 点I是 DEF的心 它是三角形的交点 外切 内切 内 三个角平分线 3 如上图 四边形DEFG是 O的四边形 O是四边形DEFG的圆 内切 外切 三角形内心的性质 1 三角形的内心到三角形各边的距离相等 2 三角形的内心在三角形的角平分线上 1 三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等 2 三角形的外心在三角形三边的垂直平分线上 三角形外心的性质 1 三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等 2 三角形的外心到三角形各边的距离相等 3 等边三角形的内心和外心重合 4 三角形的内心一定在三角形的内部 5 菱形一定有内切圆 6 矩形一定有内切圆 错 错 对 对 错 对 一判断题 如图 ABC的顶点在 O上 ABC的各边与 I都相切 则 ABC是 I的三角形 ABC是 O的三角形 I叫 ABC的圆 O叫 ABC的圆 点I是 ABC的心 点O是 ABC的心 外切 内接 内切 外接 内 外 二填空 2 若 A 80 则 BOC 度 3 若 BOC 100 则 A 度 解 130 20 1 点O是 ABC的内心 BOC 180 1 3 180 25 35 120 同理 3 4 ACB 70 35 1 2 ABC 50 25 理由 点O是 ABC的内心 1 3 ABC ACB 1 ABC 3 ACB 180 90 A 180 A 90 A 90 A 答 BOC 90 A 4 试探索 A与 BOC之间存在怎样的数量关系 请说明理由 在 OBC中 BOC 180 1 3 1 本节课从实际问题入手 探索得出三角形内切圆的作法 2 通过类比三角形的外接圆与圆的内接三角形概念得出三角形的内切圆 圆的外切三角形概念 并介绍了多边形的内切圆 圆的外切多边形的概念 3 学习时要明确 接 和 切 的含义 弄清 内心 与 外心 的区别 4 利用三角形内心的性质解题时 要注意整体思想的运用 在解决实际问题时 要注意把实际问题转化为数学问题 课堂小结 D 例2 如图 一个木摸的上部是圆柱 下部是底面为等边三角形的直棱柱 圆柱的下底面是圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆 已知直三棱柱的底面等边三角形边长为 cm 求圆柱底面的半径 A B C a b c r r a b c 2 例 直角三角形的两直角边分别是5cm 12cm 则其内切圆的半径为 r O 已知 如图 在Rt ABC中 C 90 边BC AC AB的长分别为a b c 求求其内切圆O的半径长 2 E D 图 1 图 2 说出下列图形中圆与四边形的名称 四边形ABCD叫做 O的外切四边形 四边形ABCD叫做 O的内接四边形 O B A 探讨3 设 ABC是直角三角形 C 90 它的内切圆的半径为r ABC的各边长分别为a b c 试探讨r与a b c的关系 C c b a F E D r 结论 已知 在 ABC中 BC 14 AC 9 AB 13 它的内切圆分别和BC AC AB切于点D E F 求AF BD和CE的长 A B C F D E x x 13 x 13 x 9 x 9 x 13 x 9 x 14 略解 设AF x 则BF 13 x 由切线长定理知 AE AF x BD BF 13 x DC EC 9 x 又 BD CD 14 解得x 4 答 AF 4BD 9CE 5 AF 4 BD 9 CE 5 如图 O是 ABC的内心 BAC与 BOC有何数量关系 试着作一推导 探讨1 结论 1 三角形的内切圆能作 个 圆的外切三角形有 个 三角形的内心在圆的 2 如图 O是 ABC的内心 则OA平分 OB平分 OC平分 2 若 BAC 100 则 BOC 填空 1 无数 内部 BAC 140 ABC ACB 探讨2 设 ABC的内切圆的半径为r ABC的各边长之和为L ABC的面积S 我们会有什么结论 解 AD AF BD BE CE CF L2AD 2BE 2CE L2AD L 2 BE CE AD C D E F 三角形面积 L为三角形周长 r为内切圆半径 r 作业 P101 102 10 12 例3如图 朱家镇在进入镇区的道路交叉口的三角地处建造了一座镇标雕塑 以树立起文明古镇的形象 已知雕塑中心M到道路三边AC BC AB的距离相等 AC BC BC 30米 AC 40米 请你帮助计算一下 镇标雕塑中心M离道路三边的距离有多远 雕塑中心M到道路三边的距离相等 点M是 ABC的内心 连结AM BM CM 设 M的半径为r米 M分别切AC BC AB于点D E F 则MD AC ME BC MF AB 则MD ME MF r 在Rt ABC中 AC 40 BC 30 AB 50 ABC的面积为AC BC 40 30 600 又 ABC的面积为 AC MD BC ME AB MF 20r 15r 25r 60r 60r 600 r 10答 镇标雕塑中心离道路三边的距离为10米 解 思考三条公路AB AC BC两两相交与A B C三点 如图所示 已知AC BC BC 3千米 AC 4千米 现想在 ABC内建一加油站M 使