高中数学专题1.3.3函数的最大小值与导数试题新人教A版.docx

1.3.3 函数的最大（小）值与导数1函数的最值与导数一般地，如果在区间上函数的图象是一条_的曲线，那么它必有最大值与最小值2求函数最值的步骤求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求函数在内的_；（2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值K知识参考答案：1连续不断2极值K重点利用导数求函数最值的方法、函数最值的应用K难点函数的最大值、最小值与函数的极大值、极小值的区别与联系，恒成立问题K易错求最值时，易忽略函数的定义域求函数的最值求函数最值的步骤是：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值其中准确求出函数的极值是解题的关键需注意：（1）要在定义域（给定区间）内列表；（2）极值不一定是最值，一定要将极值与区间端点值比较，必要时需进行分类讨论已知函数，其中，为自然对数的底数设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值【答案】见解析【解析】由，有，所以因此，当时，当时，所以在区间上单调递增因此在上的最小值是；当时，令，得所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增于是，在上的最小值是综上所述，当时，在上的最小值是；当时，在上的最小值是；当时，在上的最小值是【名师点睛】（1）若所给区间是开区间，则函数不一定有最大值和最小值；（2）函数的最大（小）值最多只能有一个，而最大（小）值点却可以有多个函数最值的应用由函数的最值确定参数的问题一般采用待定系数法，由已知条件列出含参数的方程或者方程组，从而求得参数的值已知函数（1）求函数的单调递减区间；（2）当时，的最小值是，求实数的值【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1），当时，在上恒成立，则的单调递减区间为；当时，令，得，则的单调递减区间为当时，在上单调递减，在上单调递增，则，解得，舍去综上，得【名师点睛】本题中的参数对函数的单调性有影响，从而影响函数的最值，因此需要对进行分类讨论恒成立问题利用函数的最值解决不等式恒成立问题是函数最值的重要应用要使不等式在区间上恒成立，可先在区间上求出函数的最大值，只要，则上面的不等式恒成立同理，要使不等式在区间上恒成立，可先在区间上求出函数的最小值，只要，则不等式恒成立已知函数（1）求的极小值；（2）对恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）极小值为；（2）【解析】（1），令，得当变化时，与的变化情况如下表：则的极小值为（2）当时，恒成立令，则，令，得当变化时，与的变化情况如下表：则，故实数的取值范围是【名师点睛】对于由不等式恒成立求参的问题，可采用分离参数法，即将参数移至不等式的一端，化成或的形式，然后利用导数求出函数的最值，则由或即可求出参数的取值范围因未验根而致误已知在时有极值0，求常数a，b的值【错解】因为在时有极值0且，所以，即，解得或【错因分析】解出a，b的值后，未验证两侧函数的单调性而导致产生增根【正解】因为在时有极值0，且所以，即，解得或当，时，所以在上为增函数，无极值，故舍去当，时，当时，为增函数；当时，为减函数；当时，为增函数所以在时取得极小值，因此，【名师点睛】可导函数在处的导数为0是该函数在处取得极值的必要不充分条件，而并非充要条件，故由求出的参数需要检验，以免出错1定义在闭区间a，b上的函数yf(x)有唯一的极值点xx0，且y极小值f(x0)，则下列说法正确的是A函数f(x)有最小值f(x0)B函数f(x)有最小值，但不一定是f(x0)C函数f(x)的最大值也可能是f(x0)D函数f(x)不一定有最小值2函数f(x)x33x(|x|0，所以h(x)在1，1上单调递增，有最大值和最小值所以f(x)是既有最大值又有最小值的奇函数故选D5【答案】D【解析】令，得或，当时，当时，所以最大值在处取得，即，又，所以最小值为故选D6【答案】【解析】，所以在上单调递减，在上单调递增，从而函数在上的最小值是7【答案】【解析】由题知，则，可得在区间上，为增函数，在上，为减函数，故在处取得最大值8【答案】【解析】，令，得或或列表如下：0(0，1)1(1，2)20+00+增减增3由表可知，函数的最小值为9【答案】（1）（2）最大值为（2）由（1）得，其定义域为，所以，令，解得，令，得所以在上单调递增，在上单调递减，所以在上的最大值为10【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意知，当时，恒成立，在定义域上没有极值，符合题意；当时，因为，所以，解得或综上，实数的取值范围为（2）由题可得，因为，所以函数的递增区间为，递减区间为当时，所以在上的最大值等于中最大的一个，而，所以，因为在上恒成立，所以，即在上恒成立，所以故实数的取值范围为12【答案】D【解析】，令，得或，令，得，因此函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在时，函数取得极大值，在时，函数取得极小值，但是函数在上，既无最大值也无最小值，故选D13【答案】D【解析】当时，令得，令，得，则在上的最大值为欲使得函数在上的最大值为2，则当时，的值必须小于或等于2，即，解得，故选D14【答案】【解析】令，得或，当时，当时，所以在处取得最小值，即，所以，又，所以函数在1，5上的最大值为15【答案】【解析】，当时，当时，所以当时，取得最大值，16【答案】【解析】易知的最大值为，当时，减函数，当时，为增函数，所以的最小值为，使得成立，只需故实数的取值范围是17【答案】（1）单调递增区间为，单调减区间为；（2）当时，；当时，（2）由得，令得，令得，在上单调递增，在上单调递减当，即时，函数在区间1，2上是减函数，的最小值是当，即时，函数在区间1，2上是增函数，的最小值是当，即时，函数在上是增函数，在是减函数又，当时，最小值是；当时，最小值为综上，当时，；当时，18【答案】C当时，函数取得最小值，为设，当时，函数取得最小值，为，若，函数与函数没有交点；若，当时，函数与函数有一个交点，即，解得故选C19【答案】见解析【思路分析】证明，即证，而，所以需证，设，利用导数易得，即得证【解析】函数的定义域为，故若，则当时，；当时，故函数在上单调递增，在上单调递减所以在处取得最大值，最大值为所以等价于，即设g（x）=lnx-x+1，则当x（0,1）时，；当x（1，+）时，所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0，所以当x0时，g（x）0从而当a0时，即20【答案】（1）见解析；（2）【思路分析】（1）分，分别讨论函数的单调性；（2）分，分别解，从而确定a的取值范围若，则由得当时，；当时，故在单调递减，在单调递增（2）若，则，所以若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为从而当且仅当，即时，若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为从而当且仅当，即时综上，的取值范围为【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用：（1）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出，由的正负，得出函数的单调区间；（2）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数的极值或最值21【答案】（1）；（2）最大值为1；最小值为【思路分析】（1）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式中即可；（2）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调性求函数的最大值为，从而可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，再根据单调性求最值（2）设，则当时，所以在区间上单调递减所以对任意有，即，所以函数在区间上单调递减因此在区间上的最大值为，最小值为【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是()恒成立，这样就能知道函数的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断的单调性，最后求得结果22【答案】（1）；（2）见解析【思路分析】（1）根据题意结合导函数与原函数的关系可求得，注意验证结果的正确性；（2）结合（1）的结论构造函数，结合的单调性和的解析式即可证得题中的不等式成立【解析】（1）的定义域为当时，单调递增，所以是的极小值点，故综上，（2）由（1）知 ，设，则当 时， ；当 时，所以在上单调递减，在上单调递增又，所以在有唯一零点，在有唯一零点1，且当时，；当时，当时，因为，所以是的唯一极大值点由得，故由可得因为是在（0，1）的最大值点，由，得，所以【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的