2008年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析

2008年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）（2008重庆）复数=（）A1+2iB12iC1D3【考点】复数代数形式的混合运算菁优网版权所有【分析】利用复数i的幂的运算，化简复数的分母，即可【解答】解：故选A【点评】本题考查复数代数形式的运算，复数的幂的运算，是基础题2（5分）（2008重庆）设m，n是整数，则“m，n均为偶数”是“m+n是偶数”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断菁优网版权所有【专题】计算题【分析】先判断pq与qp的真假，再根据充要条件的定义给出结论；也可判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系【解答】解：m，n均为偶数，则m+n为偶数，即m，n均为偶数”“m+n是偶数”为真命题但m+n为偶数推不出m，n为偶数，如m=1，n=1“m，n均为偶数”是“m+n是偶数”的充分而不必要条件故选A【点评】判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系3（5分）（2008重庆）圆O1：x2+y22x=0和圆O2：x2+y24y=0的位置关系是（）A相离B相交C外切D内切【考点】圆与圆的位置关系及其判定菁优网版权所有【专题】计算题【分析】求出半径，求出圆心，看两个圆的圆心距与半径的关系即可【解答】解：圆O1：x2+y22x=0，即（x1）2+y2=1，圆心是O1（1，0），半径是r1=1圆O2：x2+y24y=0，即x2+（y2）2=4，圆心是O2（0，2），半径是r2=2|O1O2|=，故|r1r2|O1O2|r1+r2|两圆的位置关系是相交故选 B【点评】本题考查圆与圆的位置关系，是基础题4（5分）（2008重庆）已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（）ABCD【考点】函数的值域菁优网版权所有【专题】计算题【分析】函数问题定义域优先，本题要先确定好自变量的取值范围；然后通过函数的单调性分别确定出m与n即可【解答】解：根据题意，对于函数，有，所以当x=1时，y取最大值，当x=3或1时y取最小值m=2故选C【点评】任何背景下，函数问题定义域优先，建函数模型是求解函数最值问题有效手段之一5（5分）（2008重庆）已知随机变量服从正态分布N（3，2），则P（3）=（）ABCD【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义菁优网版权所有【专题】计算题【分析】由正态分布的图象规律知，其在x=左侧一半的概率为，故得P（3）的值【解答】解：服从正态分布N（3，2），曲线关于x=3对称，故选D【点评】本题主要考查正态分布的图象，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解6（5分）（2008重庆）若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（）Af（x）为奇函数Bf（x）为偶函数Cf（x）+1为奇函数Df（x）+1为偶函数【考点】函数奇偶性的判断菁优网版权所有【专题】计算题【分析】对任意x1，x2R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，考察四个选项，本题要研究函数的奇偶性，故对所给的x1，x2R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1进行赋值研究即可【解答】解：对任意x1，x2R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，令x1=x2=0，得f（0）=1令x1=x，x2=x，得f（0）=f（x）+f（x）+1，f（x）+1=f（x）1=f（x）+1，f（x）+1为奇函数故选C【点评】本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答7（5分）（2008重庆）若过两点P1（1，2），P2（5，6）的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段所成的比的值为（）ABCD【考点】线段的定比分点菁优网版权所有【专题】计算题【分析】本题考查的知识点是线段的定比分点，处理的方法一般是，由定比分点坐标公式转化为=，将已知的点的坐标代入，易得一个方程组，解方程组，即可求解【解答】解：由定比分点坐标公式得=不妨设点P（x，0），则，故答案选A【点评】由定比分点坐标公式转化可得：=，将已知的点的坐标代入，易得一个方程组，解方程组，即可求解8（5分）（2008重庆）已知双曲线的一条渐近线为y=kx（k0），离心率，则双曲线方程为（）A=1BCD【考点】双曲线的标准方程菁优网版权所有【分析】首先由焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=x，可得=k；然后根据双曲线的离心率e=k，可消去k得a、b、c的关系式；再结合双曲线的性质a2+b2=c2，即可整理出答案【解答】解：因为双曲线的一条渐近线为y=kx（k0），所以=k，又，所以c=b，且有a2+b2=c2，所以a2=4b2，所以双曲线的方程为故选C【点评】本题考查双曲线的标准方程与性质9（5分）（2008重庆）如图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点V1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（）ABCV1V2DV1V2【考点】组合几何体的面积、体积问题菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题；探究型【分析】根据题意推知小球半径是大球的一半，建立大球体积小球体积和阴影部分的体积的关系，可推知选项【解答】解：设大球的半径为R，则小球的半径为：，由题意可得：V=所以 0即：V2V1故选D【点评】本题考查组合体的体积，空间想象能力，逻辑推理能力，是难题10（5分）（2008重庆）函数的值域是（）AB1，0CD【考点】同角三角函数间的基本关系；函数的值域菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】特殊值法：根据特殊值代入法进行逐一排除直接法：由0x2，得f（x）0，由（32cosx2sinx）（1sinx）20，得1，由此能求出函数的值域【解答】解法一：特殊值法：sinx=0，cosx=1，则f（x）=，淘汰A，令，得，当时sinx=1时，所以矛盾f（x），淘汰C，同理，令，得cosx=，当sinx=1时，cosx=，不满足条件，淘汰D，故选：B解法二：直接法：0x2，sinx10，0，f（x）0，（32cosx2sinx）（1sinx）2=22cosxsin2x=（1cosx）20，1，函数的值域是1，0故选：B【点评】主要考查对任意角x满足sin2x+cos2x=1二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11（4分）（2008重庆）设集合U=1，2，3，4，5，A=2，4，B=3，4，5，C=3，4，则（AB）（UC）=2，5【考点】交、并、补集的混合运算菁优网版权所有【专题】计算题【分析】先求出（AB）和（CUC），再求它们的交集即可【解答】解：AB=2，3，4，5），又UC=1，2，5（AB）（UC）=2，5故填2，5【点评】本题考查了交集、并集、补集的运算，属于基础题12（4分）（2008重庆）已知函数f（x）=，点在x=0处连续，则=【考点】极限及其运算菁优网版权所有【专题】计算题【分析】由函数f（x）=在点x=0处连续，可得，解可得a=3由此能求出的值【解答】解：（2x+3）=3，f（0）=a点在x=0处连续，所以，即a=3，故故答案为：【点评】本题考查函数的极限和运算，解题时要认真审题，仔细解答13（4分）（2008重庆）已知（a0），则=3【考点】指数式与对数式的互化；换底公式的应用菁优网版权所有【专题】计算题【分析】将已知的等式两边同时进行次乘方，得到a的值，再把a的值代入要求的式子，利用对数的运算性质计算结果【解答】解：已知（a0），故答案为 3【点评】本题考查根指数的转化运算，以及利用对数的运算性质求对数式的值，体现了代入得思想14（4分）（2008重庆）设Sn是等差数列an的前n项和，a12=8，S9=9，则S16=72【考点】等差数列的前n项和菁优网版权所有【专题】计算题【分析】根据等差数列的性质，a1+a9=2a5，结合题意，由S9可得a5的值，而由等差数列的性质有a1+a16=a5+a12，将S16=（a1+a16）16中的（a1+a16）用 （a5+a12）代换并计算可得答案【解答】解：S9=（a1+a9）9=9，又有a1+a9=2a5，可得，a5=1，由等差数列的性质可得，a1+a16=a5+a12，则S16=（a1+a16）16=（a5+a12）16=72【点评】本题考查等差数列的前n项和，注意解题时，结合等差数列的有关性质来分析，寻找切入点15（4分）（2008重庆）直线l与圆x2+y2+2x4y+a=0（a3）相交于两点A，B，弦AB的中点为（0，1），则直线l的方程为xy+1=0【考点】直线的一般式方程；直线与圆相交的性质菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】求出圆心的坐标，再求出弦中点与圆心连线的斜率，然后再求出弦所在直线的斜率，由点斜式写出其方程，化为一般式【解答】解：由已知，圆心O（1，2），设直线l的斜率为k，弦AB的中点为P（0，1），PO的斜率为kop，则=1lPO，kkop=k（1）=1k=1由点斜式得直线AB的方程为：y=x+1故答案为：xy+1=0【点评】考查求直线的方程，本题已知弦中点的坐标，再根据弦与弦心距对应直线垂直求斜率k16（4分）（2008重庆）某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有216种（用数字作答）【考点】分步乘法计数原理菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】由题意知分3步进行，为A、B、C三点选三种颜色灯泡共有A43种选法；在A1、B1、C1中选一个装第4种颜色的灯泡，有3种情况；为剩下的两个灯选颜色，假设剩下的为B1、C1，若B1与A同色，则C1只能选B点颜色；若B1与C同色，则C1有A、B处两种颜色可选故为B1、C1选灯泡共有3种选法，即剩下的两个灯有3种情况，根据计数原理得到结果【解答】解：每种颜色的灯泡都至少用一个，即用了四种颜色的灯进行安装，分3步进行，第一步，A、B、C三点选三种颜色灯泡共有A43种选法；第二步，在A1、B1、C1中选一个装第4种颜色的灯泡，有3种情况；第三步，为剩下的两个灯选颜色，假设剩下的为B1、C1，若B1与A同色，则C1只能选B点颜色；若B1与C同色，则C1有A、B处两种颜色可选故为B1、C1选灯泡共有3种选法，得到剩下的两个灯有3种情况，则共有A4333=216种方法故答案为：216【点评】本题用到两个计数原理，用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析要完成的“一件事”是什么，可以“分类”还是需要“分步”三、解答题（共6小题，满分76分）17（13分）（2008重庆）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=60，c=3b求：（）的值；（）cotB+cot C的值【考点】正弦定理；余弦定理菁优网版权所有【专题】计算题【分析】（）先根据余弦定理求得a，b和c的关系式，再利用c=3b消去b，进而可得答案（）对原式进行化简整理得由正弦定理和（）的结论求得结果【解答】解：（）由余弦定理得（），由正弦定理和（）的结论得故【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用正弦定理和余弦定理是解三角形问题中常使用的方法，应熟练掌握18（13分）（2008重庆）甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立求：（）打满3局比赛还未停止的概率；（）比赛停止时已打局数的分别列与期望E【考点】离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有【专题】计算题【分析】（1）打满3局比赛还未停止即在三局比赛中没有人连胜两局，分析其可能情况，每局比赛的结果相互独立且互斥，利用独立事件、互斥事件的概率求解即可（2）的所有可能值为2，3，4，5，6，分别求出取每一个值的概率，列出分布列即可【解答】解：令Ak，Bk，Ck分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜（）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为（）的所有可能值为2，3，4，5，6，且，故有分布列 23456P从而（局）【点评】本题考查互斥、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识，同时考查利用概率知识解决问题的能力19（13分）（2008重庆）如图，在ABC中，B=90，AC=，D、E两点分别在AB、AC上使，DE=3现将ABC沿DE折成直二角角，求（）异面直线AD与BC的距离；（）二面角AECB的大小（用反三角函数表示）【考点】点、线、面间的距离计算；与二面角有关的立体几何综合题菁优网版权所有【专题】计算题【分析】（1）先依据公垂线的定义，证明DB为异面直线AD与BC的公垂线，再求DB之长，注意到它是AB长的倍，故先求出AB的长即可；（2）过D作DFCE，交CE的延长线于F，先证得AFD为二面角ABCB的平面角，再利用直角三角形中的边角关系求出其正切值即得【解答】解：（）在图1中，因，故BEBC又因B=90，从而ADDE在图2中，因ADEB是直二面角，ADDE，故AD底面DBCE，从而ADDB而DBBC，故DB为异面直线AD与BC的公垂线下求DB之长在图1中，由，得又已知DE=3，从而因（）在第图2中，过D作DFCE，交CE的延长线于F，连接AF由（1）知，AD底面DBCE，由三垂线定理知AFFC，故AFD为二面角ABCB的平面角在底面DBCE中，DEF=BCE，因此从而在RtDFE中，DE=3，在因此所求二面角AECB的大小为arctan【点评】本小题主要考查直线与平面平行、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力20（13分）（2008重庆）设函数f（x）=ax2+bx+c（a0），曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），且在点（1，f（1）处的切线垂直于y轴（）用a分别表示b和c；（）当bc取得最小值时，求函数g（x）=f（x）ex的单调区间【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有【专题】综合题【分析】（）把（0，2a+3）代入到f（x）的解析式中得到c与a的解析式，解出c；求出f（x），因为在点（1，f（1）处的切线垂直于y轴，得到切线的斜率为0，即f（1）=0，代入导函数得到b与a的关系式，解出b即可（）把第一问中的b与c代入bc中化简可得bc是关于a的二次函数，根据二次函数求最值的方法求出bc的最小值并求出此时的a、b和c的值，代入f（x）中得到函数的解析式，根据求导法则求出g（x）的导函数，将f（x）和f（x）代入即可得到g（x），然后令g（x）=0求出x的值，利用x的值分区间讨论g（x）的正负即可得到g（x）的增减区间【解答】解：（）由f（x）=ax2+bx+c得到f（x）=2ax+b因为曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），故f（0）=c=2a+3，又曲线y=f（x）在（1，f（1）处的切线垂直于y轴，故f（1）=0，即2a+b=0，因此b=2a（）由（）得，故当时，bc取得最小值此时有从而，g（x）=f（x）ex=（x2+x）ex，所以令g（x）=0，解得x1=2，x2=2当x（，2）时，g（x）0，故g（x）在x（，2）上为减函数；当x（2，2）时，g（x）0，故g（x）在x（2，2）上为增函数当x（2，+）时，g（x）0，故g（x）在x（2，+）上为减函数由此可见，函数g（x）的单调递减区间为（，2）和（2，+）；单调递增区间为（2，2）【点评】本题是一道综合题，要求学生会利用导数研究函数的单调性，会利用导数研究曲线上某点的切线方程做题时注意复合函数的求导法则21（12分）（2008重庆）如图，M（2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：|PM|+|PN|=6（）求点P的轨迹方程；（）若，求点P的坐标【考点】椭圆的标准方程；轨迹方程；椭圆的应用菁优网版权所有【专题】综合题；压轴题【分析】（1）先根据题意求出a，b，c的值，再代入到椭圆方程的标准形式中，可得到答案（2）先将转化为|PM|PN|cosMPN=|PM|PN|2的形式，再由余弦定理得到|MN|2=|PM|2+|PN|22|PM|PN|cosMPN，二者联立后再由点P在椭圆方程上可得到最后答案【解答】解：（）由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴b=，所以椭圆的方程为（）由，得|PM|PN|cosMPN=|PM|PN|2因为cosMP