09-2-2牛顿-分段线插值.doc

2009 2010学年第 一学期 计算方法 教案 计0701-0703 4h 第二章 插值法知识点：拉格朗日插值法，牛顿插值法，余项，分段插值。Newton插值法Lagrange插值多项式的一个缺点是没有承袭性质，增加插值节点时，需要重新计算所有插值基函数。牛顿插值多项式克服了这一缺点：增加一个节点时，可在原插值多项式基础上增加一项构成高一阶的插值多项式。（1）差商即其性质上的二在节点定义设函数y=f(x)在区间a,b上n+1个互异节点0 xj n处的值为：yi = f(xi)（i=0,1,2,n）-称jijijixxxfxfxxf-D)()(,为f(x)在节点xi,上的一阶差商；称 kikjjikjixxxxfxxfxxxf-D,为在节点阶差商；依次类推： 称nnnnxxxxxfxxxfxxxf-D-02111010,.,.,.,为上的n阶差商.商；xjf(x)xkxj,xi,f(x)x0,x1,xn).()()()()(,.,),.,2,1,0()(,.,11001010nnjjjnjnxxxxxxxxxfxxxfnjxfxxxfn-=ww其中的线性组合，即函数值是阶差商性质证 采用数学归纳法即证性质2差商与节点排列顺序无关。（2）线性牛顿插值设互异y0=f(x0)，y1=f(x1),构造线性插值函数的牛顿格式N1(x)使y0= N1 (x0)，y1= N1 (x1)。利用点斜式，构造N1(x)=a0+a1(x-x0)由f(x0)=N1 (x0)= a0)()(0101,10xxfxxxfxf=-a1= f(x1)= N1 (x1)= f(x0) +a1(x1-x0)得,10xxfN1 (x)= f(x0) + (x-x0)（3）二次牛顿插值设互异y0=f(x0)，y1=f(x1), y2=f(x2),构造二次牛顿插值多项式N2(x)使y0= N2(x0)，y1= N2(x1)，y2= N2(x2)。令N2(x)=a0+a1(x-x0) +a2(x-x0) (x-x1)因在构造N1 (x)过程中已得a0和a1，只要求出a2即可由a2=,210xxxf,10xxff(x2)=N2(x2)= f(x0) + (x2-x0)+a2(x2-x0)(x2-x1)得,210xxxf,10xxfN2(x2)= f(x0) + (x2-x0)+ (x2-x0)(x2-x1)(4)一般情况设互异yi=f(xi)，i=0,1,n。构造n次牛顿插值多项式Nn(x)使yi= Nn(xi)，i=0,1,n,。根据差商定义插值公式和余项。上的在节点分别为、其中Newton)()()()(,.,).()(.,)(,)()()(010110210101000ninnnnnxxfxR)(nxNxRxNxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxf+=-+-+-+=,.,)().()(10110nnnxxxxfxxxxxxxx-+-)(n+1xN)(nxN,.,)().()(10110n+1nnxxxfxxxxxxxx-+-=分段插值（1）高阶插值与龙格现象构造插值多项式时，根据误差表达式，是否多取插值点比少取插值点好？不一定！若被插函数是多项式，则多取插值点比少取插值点好。但对某些函数，有时插值点越多，效果越不理想。例如给定225x11=x)f(+x-1,1225x11,x(+ii)对-1，1作等距分割，取h=2/10=0.2，xi= -1+0.2i， ，i=0，1，10。构造10次插值多项式L10(x),在0点附近, L10(x)近似f(x)的效果好，但在x=-0.90,-0.70, 0.70, 0.90时，误差较大！插值多项式在插值区间内有激烈振荡，这种现象称龙格现象。P29图2-4。龙格现象揭示了插值多项式的缺陷，表明高次多项式的插值效果不一定优于低次多项式的插值效果。插值误差由截断误差和舍入误差组成，由插值节点和计算产生的舍入误差，在插值过程中可能被扩散或放大，造成插值不稳定，高次多项式的稳定性一般比较差。（2）分段线性插值加密插值节点不一定能使插值函数很好逼近被插函数，于是就有了分段线性插值的概念。基本思想：给定区间a，b，作分割a=x0x1xn=b，在每个小xi，xi+1上做f(x)的以xi,xi+1为节点的线性插值。然后，把每个小区间上的线性插值函数连接起来得到f(x)的分段线性插值函数p(x)。