高中数学第二章统计2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征课件必修

2 2 2用样本的数字特征估计总体的数字特征 1 理解平均数的意义 会用样本平均数估计总体平均数 会用样本标准差估计总体标准差 2 掌握几个数据的标准差及方差的计算方法 理解数据标准差的意义和作用 归纳总结因为方差与原始数据的单位不同 且平方后可能夸大了偏差的程度 所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的 但在解决实际问题时 一般多采用标准差 1 平均数 中位数 众数的区别与联系剖析 平均数在度量一组数据的集中化趋势的统计量中是应用最广泛的 计算平均数时全部数据都参加运算 因此 用它来反映一组数据的集中化趋势比较好 但是它也有缺点 主要的问题是平均数是根据一组数据中的全部数据来计算的 会受到数据中那些没有代表性的极端值的影响 因此 有时在计算平均数时 先剔除个别缺乏代表性的特殊值 所得到的结果可能会更具有代表性 中位数主要受一组数据中的中间位置上的数值的影响 用中位数来反映一组数据中各数据大小的一般水平并不很精确 但中位数计算简单 与平均数相比 中位数不受数据中极端值的影响 从这个意义出发 它可以作为数据平均指标的代表值 众数并没有通常意义上的 平均 的含义 但众数在数据中出现的次数最多 说明该数值在数据中最具有代表性 众数不会受到数据中极端值的影响 但并不是每一组数据都是具有众数的 对于分组数据而言 众数常常依赖于分组的情况 分组数改变时 众数可能就有较大的变化 稳定性较差 同时众数也可能是不唯一的 2 方差 极差和标准差的特点剖析 方差 极差和标准差从不同角度描述一组数据的离散趋势 它们各自的特点及应用如下 极差没有充分利用数据 不能提供更确切的信息 但由于只涉及两个数据 计算非常简便 所以极差在实际现场检查时经常利用 但极差没有考虑各中间值 方差充分利用了所得到的数据 提供了更确切的信息 在统计中 方差能够较好地区别出不同组数据的分散情况或程度 但方差的单位是原始观测数据的单位的平方 而标准差能够和方差一样区分数据的分散情况 且其单位与原始观测数据的单位相同 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思1 通常情况下 一组数据给出后 可根据平均数 中位数 众数的定义及其计算公式分别计算求值 2 求中位数时 必须先将数据按从大到小或从小到大的顺序排列 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思对于常用的平均数 方差 标准差的公式要能够熟练记忆 不能记错公式 造成计算上的失误 使得统计的结果失去真实的意义 另外 应用求得的标准差的结论时 要特别注意标准差较大 数据的离散程度较大 标准差较小 数据的离散程度较小 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练2 甲 乙两位同学参加数学竞赛培训 在培训期间他们参加了5项预赛 成绩记录如下 甲 78 76 74 90 82 乙 90 70 75 85 80 1 用茎叶图表示这两组数据 2 现要从中选派一人参加数学竞赛 从统计学的角度考虑 你认为选派哪位同学参加更合适 试说明理由 分析 分别计算两位同学的成绩的平均数 方差 从平均水平和稳定性方面作出判断 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 由统计图表估计总体的数字特征 例3 某学校为了了解高一新生上学所需时间的情况 从高一新生中随机抽取了部分同学 调查其上学所需时间 获得相应数据 制成了频率分布直方图 如图所示 1 试计算该校高一新生上学所需时间的平均数 中位数 众数 2 如果上学所需时间不少于1h的学生可申请在学校住宿 请估计该校1200名新生中大约有多少名学生可以申请在学校住宿 题型一 题型二 题型三 题型四 分析 1 按照频率分布直方图下各种数字特征的求法分别计算 2 先求上学所需时间不少于1h的频率 再求相应的人数 解 1 上学所需时间在 0 20 20 40 40 60 60 80 80 100 内的频率分别为0 0125 20 0 25 0 025 20 0 5 0 0065 20 0 13 0 003 20 0 06 0 003 20 0 06 因此平均数为10 0 25 30 0 5 50 0 13 70 0 06 90 0 06 33 6 min 众数为频率最大的一组的组中值 即为30min 设中位数为x 则有0 25 x 20 0 025 0 5 解得x 30 即中位数为30min 2 由频率分布直方图可知 新生上学所需时间不少于1h的频率为 0 003 0 003 20 0 12 因为1200 0 12 144 所以1200名新生中大约有144名学生可以申请在学校住宿 题型一 题型二 题型三 题型四 反思由于频率分布直方图中没有保留样本的原始数据 所以利用频率分布直方图求众数 中位数 平均数均为近似值 往往与实际数据得出的不一致 但它们能粗略估计其众数 中位数和平均数 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 随堂演练 即时巩固1能反映一组数据的离散程度的数字特征是 A 频数B 平均数C 标准差D 中位数解析 本题考查数据的基本特征量以及它们的含义 因为标准差反映数据的波动大小及离散程度 所以应选C 答案 C 2已知某赛季甲 乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如图 则 A 甲的中位数为21 乙的众数为26B 甲的众数为21 乙的中位数为25C 甲的中位数为21 乙的众数为31D 甲的众数为21 乙的中位数为31答案 C 3将某小区100户居民的月均用水量进行统计 得到样本的频率分布直方图如图 估计此样本的众数 中位数分别为 A 2 2 5B 2 25 2 02C 2 25 2 5D 2 5 2 25 答案 B 4已知一个样本数据是1 3 2 5 x 它的平均数是3 则这个样本的标准差是 5一组数据的每一个数据都减去80 得一组新数据 若求得新数据的平均数是1 2 方差是4 4 则原来数据的平均数和方差分别是 答案 81 24 4 6某校为了了解甲 乙两班的数学学习情况 从两班各抽出10名学生进行数学水平测试 成绩如下 单位 分 甲班