高中数学圆锥曲线2.5圆锥曲线的几何性质学案北师大版.docx

5圆锥曲线的几何性质1.了解圆锥曲线的形成过程.2.理解圆锥曲线的统一定义.3.能用圆锥曲线的几何性质解决问题.基础初探教材整理圆锥曲线的统一定义抛物线、椭圆、双曲线都是平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e(离心率)的动点的轨迹，此时定点称为焦点，定直线称为准线.当e1时，轨迹为抛物线；当0e1时，轨迹为椭圆；当e1时，轨迹为双曲线.1.平面内若动点M到两定点F1，F2的距离和为定值m(m0)，则动点M的轨迹是() 【导学号：96990050】A.椭圆B.线段C.不存在D.以上都有可能【解析】当m|F1F2|时，轨迹为椭圆；当m|F1F2|时，轨迹为线段；当m|F1F2|时，轨迹不存在.【答案】D2.双曲线的两条准线把两焦点所连线段三等分，则它的离心率为()A.B.C.D.2【解析】由题意知，3，e.【答案】B质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型圆锥曲线的几何性质如图251所示，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆内部一点，且F1AF1F2，椭圆的长轴长为8，焦距为4，M为椭圆上任意一点，求AM2MF2的最小值.图251【精彩点拨】设法将AM,2MF2转化到一条直线上，才能利用所学的求最值的基本思路，否则不易求.【自主解答】如图所示，l1，l2为椭圆的准线，过M作MNl2于N.e，MF2eMNMN，AM2MF2AMMN，故AM2MF2的最小值为A到l2的距离，AF1F1F2，即求F1到l2的距离.延长F1F2交l2于Q，F1Qc210，故AM2MF2的最小值为10.1.本题求解的关键是把到焦点的距离转化为到定直线的距离，而转化的依据是圆锥曲线的统一定义.2.两线段和或差的最值问题一般转化成直线上的线段和、差的最值问题；曲面上(球面除外)的最值问题也是转化为平面上的最值问题.再练一题1.已知双曲线左右两个焦点分别为F1，F2，P是双曲线左支上一点，P点到左准线的距离为d，若d，PF1，PF2成等比数列，求双曲线离心率e的取值范围.【解】如图所示，由题知e，PF2ePF1，由PF2PF12a，PF1，根据PF1F1A，ca，(e1)22,1e1，又e1，1e1，即双曲线的离心率e的取值范围是1e1.圆锥曲线方程点M(x，n)与定点F(c,0)的距离和它到定直线l：x的距离的比是常数(ca0)，求点M的轨迹方程.【精彩点拨】表示出点M到定点F和定直线l的距离，直接列关系式求解.【自主解答】设d是点M到直线l的距离.根据题意，所求轨迹就是集合P，由此得.化简，得(c2a2)x2a2y2a2(c2a2).设c2a2b2，就可化为1(a0，b0).1.解答本题时化简是关键.2.平面直角坐标系也是解决几何问题的重要工具.通过平面直角坐标系可对几何元素进行定量的分析.再练一题2.在平面内，两个定点的距离为8，动点M到两个定点的距离的和为10，求动点M的轨迹方程.【解】以两点的连线段所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立直角坐标系.则由椭圆的定义知，所求动点的轨迹为椭圆.设所求椭圆方程为1，2a10,2c8，a5，c4，则b29，故所求椭圆的方程为1.利用Dandelin双球研究圆锥曲线问题一个顶角为60的圆锥面被一个平面所截，如图252所示，Dandelin双球均在顶点S的下方，且一个半径为1，另一个半径为5，则截线的形状是什么曲线？其离心率是多少？图252【精彩点拨】解答本题可先在所给的几何图形中找到椭圆的元素，再利用相应关系研究截线的性质.【自主解答】Dandelin双球均在顶点S的同侧，所以截线为椭圆.设A，B分别是该椭圆的长轴的两个端点，F1，F2分别是其焦点，O1，O2分别为Dandelin双球中小、大球的球心，C，D分别为截面圆与母线的切点.CSO130，O1C1，SC.同理SD5，则CD4.又BF1BF2BCBDCD，2aBF1BF24，即a2.再延长O1F1交O2D于点G，过O2作O2FF1G交F1G于点F，则O1Fr1r26.又CD4，DSO230，O1O28，在RtO1O2F中，FO22.即2cF1F2FO22，故c.所以，离心率e.1.解答本题时，先在图形中找出长轴与焦点，然后再求值.2.解决此类问题可先把空间图形转化为平面图形，然后利用圆锥曲线的定义及性质来解决.再练一题3.已知圆锥面S，其母线与轴线所成的角为30，在轴线上取一点C，使SC5，通过点C作一截面使它与轴线所成的角为45，截出的圆锥曲线是什么样的图形？求它的离心率及圆锥曲线上任一点到两个焦点的距离之和.【解】截得的曲线是椭圆.e.设圆锥曲线上任意一点为M，其两焦点分别为F1，F2，如图所示，MF1MF2AB.设圆锥面内切球O1的半径为R1，内切球O2的半径为R2.SO12R1，CO1R1，SC(2)R15，即R1.SO22R2，CO2R2，SC(2)R25，即R2.O1O2CO1CO2(R1R2)10，ABO1O2cos 30O1O25，即MF1MF25.探究共研型圆锥曲线的几何性质探究1你能列举几条椭圆的几何性质吗？【提示】(1)椭圆中有“四线”(两条对称轴、两条准线)，“六点”(两个焦点、四个顶点).注意它们之间的位置关系(如准线垂直于长轴所在的直线、焦点在长轴上等)及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为ac，到相应准线的距离为c等).(2)设椭圆方程1(ab0)上任意一点为P(x，y)，则|OP| .axa，x0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当xa时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处.(3)椭圆上任意一点P(x，y)(y0)与两焦点F1(c,0)，F2(c,0)构成PF1F2称之为焦点三角形，周长为2(ac).(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形的边长有a2b2c2.探究2由双曲线的特征三角形我们可得到什么？【提示】双曲线的特征三角形和椭圆类似，如图中OAB称为双曲线的特征三角形，它几乎包含了双曲线的所有基本特征量：|OA|a，|AB|b，|OB|OF2|c，cosAOB，OB所在的直线即为双曲线的渐近线yx，又F2在OB上的射影记作G，则|OG|a，|F2G|b(注意：OABOGF2).G的横坐标记作xG，则xG(由射影定理可得)，那么过G作y轴的平行线l，显然l为双曲线右焦点F2对应的准线.已知双曲线1的右焦点为F1，点A(9,2)不在双曲线上，试在这个曲线上求一点M，使|MA|MF1|的值最小，并求出最小值.【精彩点拨】根据双曲线的定义，结合化曲为直的思想，把|MA|与|MF1|的折线之和转化为共直线的两线段之和.【自主解答】如图所示，l为双曲线的右准线，M为双曲线上任意一点，作MNl于N，根据双曲线的定义，e.则|MN|MF1|，因此|MA|MF1|MA|MN|，当A，M，N三点共线时，即点M坐标为时，|MA|MF1|取最小值为|AN|9.构建体系1.如果方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是()A.(0，)B.(0,2)C.(1，)D.(0,1)【解析】将所给方程x2ky22转化为标准形式，即1，因为焦点在y轴上，所以有2，于是0k1.【答案】D2.平面内与圆C：(x2)2y21外切，且与直线x1相切的动圆圆心M的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【解析】由题意知动点M到定点(2,0)和到定直线x2的距离相等，故选D.【答案】D3.设P是椭圆上任意一点，F1为其左焦点，已知椭圆的长轴长10，焦距为6，则PF1的最小值为_. 【导学号：96990051】【解析】由题意知a5，c3，所以PF1的最小值为ac2.【答案】24.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF14PF2，则离心率的最大值为_.【解析】PF14PF2，又2a，3PF22a，PF2，又PF2ca，ca，ca，e.【答案】5.如图253所示，已知椭圆的左右两个焦点分别为F1，F2，且椭圆的长轴长为10，焦距为6，