2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价二十二棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积新人教A版必修2.docx

课时素养评价 二十二棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(25分钟50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.已知高为3的棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图，则三棱锥B-AB1C的体积为()A.14B.12C.36D.34【解析】选D.VB-AB1C=VB1-ABC=13SABCh=13343=34.2.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是面A1B1C1D1内任意一点，则四棱锥P-ABCD的体积为()A.16B.13C.12D.23【解析】选B.因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是面A1B1C1D1内任意一点，所以点P到平面ABCD的距离d=AA1=1，S正方形ABCD=11=1，所以四棱锥P-ABCD的体积为VP-ABCD=13AA1S正方形ABCD=1311=13.3.已知长方体两两相邻三个面的面积分别为x，y，z，则长方体的体积为()A.xyzB.xyzC.x2+y2+z2D.xy+yz+xz【解析】选B.设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，不妨设ab=x，bc=y，ca=z，所以a2b2c2=xyz，所以V=abc=xyz.4.如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF=2，动点Q在棱DC上，则三棱锥A-EFQ的体积()A.与点E，F的位置有关B.与点Q的位置有关C.与点E，F，Q的位置都有关D.与点E，F，Q的位置均无关，是定值【解析】选D.VA-EFQ=VQ-AEF=1312EFAAAD，所以其体积为定值，与点E，F，Q的位置均无关.二、填空题(每小题4分，共8分)5.已知三棱锥S-ABC的棱长均为4，则该三棱锥的体积是_.【解析】如图，在三棱锥S-ABC中，作高SO，连接AO并延长AO交BC于点D，则AO=32423=433.在RtSAO中，SO=42-4332=463，所以V=134633442=1623.答案：16236.(2019全国卷)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB=BC=6 cm，AA1=4 cm，3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g.【解析】S四边形EFGH=46-41223=12(cm2)，V=664-13123=132(cm3).m=V=0.9132=118.8(g).答案：118.8三、解答题(共26分)7.(12分)已知正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30，求正四棱锥的侧面积和表面积.【解析】如图，正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成RtPOE.因为OE=2，OPE=30，所以PE=2OE=4.因此S侧=412PEBC=41244=32，S表面=S侧+S底=32+16=48.8.(14分)在四面体ABCD中三组对棱分别相等，AB=CD=13，BC=AD=25，BD=AC=5，求四面体ABCD的体积.【解析】以四面体的各棱为对角线还原为长方体，如图.设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则x2+y2=13,y2+z2=20,x2+z2=25,所以x=3,y=2,z=4.因为VD-ABE=13DESABE=16V长方体，同理VC-ABF=VD-ACG=VD-BCH=16V长方体，所以V四面体ABCD=V长方体-416V长方体=13V长方体.而V长方体=234=24，所以V四面体ABCD=8.(15分钟30分)1.(4分)一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为()A.32B.74C.2D.94【解析】选D.因为E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，所以棱柱EFCB-E1F1C1B1的体积V=S梯形EFCB3=34SABC3=94SABC.设甲中水面的高度为h，则SABCh=94SABC，解得h=94.2.(4分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积的比为()A.11B.12C.13D.12【解析】选C.如图，三棱锥D1-AB1C的各面均是正三角形，其边长为正方体的面对角线.设正方体的棱长为a，则面对角线长为2a，S锥=412(2a)232=23a2，S正方体=6a2，故S锥S正方体=13.3.(4分)如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE、BCF均为正三角形，EFAB，EF=2，则该多面体的体积为_.【解析】该多面体不是规则几何体，不易直接求体积，应将其分割转化为规则几何体.分别过A、B作EF的垂线，垂足分别为G、H，连接DG、CH，则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱，棱锥高为12，棱柱高为1，AG=12-122=32.取AD的中点M，则MG=22，SAGD=12122=24，所以V=241+2132412=23.答案：234.(4分)如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是_.【解析】易知该几何体是正四棱锥.设正四棱锥为P-ABCD，连接BD，则PD=PB=1，BD=2，则PDPB.设底面中心为O，则四棱锥高PO=22，则其体积是V=13Sh=131222=26.答案：265.(14分)已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积.【解析】如图，E，E1分别是BC、B1C1的中点，O、O1分别是下、上底面正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，则O1O=12.连接OE，O1E1，则OE=12AB=1212=6，O1E1=12A1B1=3.过E1作E1HOE，垂足为H，则E1H=O1O=12，OH=O1E1=3，HE=OE-O1E1=6-3=3.在RtE1HE中，E1E2=E1H2+HE2=122+32=3242+32=3217，所以E1E=317.所以S侧=412(B1C1+BC)E1E=2(6+12)317=10817.1.用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是_.【解析】如图为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按如图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图所示，由图知正方形的边长为22，其面积为8.答案：82.若E，F是三棱柱ABC-A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E=CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥A-BEFC的体积.【解析】如图所示，连接AB1，AC1.设AA1=h，因为B1E=CF，所以梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积.又因为四棱锥A-BEFC的高与四棱锥A-B1EFC1的高相